2016-2017年江苏省苏州市工业园区九年级上学期期中数学试卷及答案

2016-2017学年江苏省苏州市工业园区九年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列方程中，一元二次方程是（）
A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．x2﹣2x=3D．x+=0
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）
A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（3分）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）
A．（3，﹣4）B．（3，4） C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）
5．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6cm，那么BC等于（）A．8cm B．cm C．cm D．cm
6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）
A．y=x2 B．y=x﹣1 C．D．
7．（3分）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（）
A．S=x（20﹣x）B．S=x（20﹣2x）C．S=x（10﹣x）D．S=2x（10﹣x）8．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）
与水平距离x（m）间的关系为y=﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2m B．8m C．10m D．12m
9．（3分）如图，一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c图象相交于A、B两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）
A．B．C．D．
10．（3分）已知抛物线y=a（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的a的值有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）方程x2=10x的根是．
12．（3分）将抛物线y=x2先向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=．14．（3分）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为．
15．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x=﹣1时，y的值为．
16．（3分）若m，n是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．17．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是．18．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．
三、解答题（共76分）
19．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144=0
（2）x2﹣4x﹣32=0
（3）x 2﹣3x+1=0
（4）（x﹣3）2=2x+5．
20．（5分）若a是方程x2+3x+1=0的根，求的值．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=，BC=12，求AD的长．
22．（6分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．
23．（6分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
24．（7分）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3、﹣3）和点P（t、0），且t≠0 （1）若抛物线的对称轴经过点A，如图所示，则此时y的最小值为；并写出此时t的值为；
（2）若t=﹣4，求a、b的值．
（3）直接写出使抛物线开口向下的一个t的值．
25．（7分）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
（参考数据：=1.1，=1.2，=1.3，=1.4）
26．（7分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F
不与A，B重合），过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
27．（10分）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
28．（10分）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角
为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
2016-2017学年江苏省苏州市工业园区九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在下列方程中，一元二次方程是（）
A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．x2﹣2x=3D．x+=0
【解答】解：
A、方程含有两个未知数，故不是；
B、方程的二次项系数为0，故不是；
C、符合一元二次方程的定义；
D、不是整式方程．
故选：C．
2．（3分）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）
A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3
【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，
x﹣2=0，x+3=0，
x1=2，x2=﹣3，
故选：D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
4．（3分）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）
A．（3，﹣4）B．（3，4） C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）
【解答】解：∵y=x2﹣6x+5，
=x2﹣6x+9﹣9+5，
=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．
故选：A．
5．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6cm，那么BC等于（）A．8cm B．cm C．cm D．cm
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6cm，
∴tanA=，
解得，BC=8，
故选：A．
6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）
A．y=x2 B．y=x﹣1 C．D．
【解答】解：A、二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；
B、一次函数y=x﹣1的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误；
C、正比例函数的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大；故本选项错误；
D、反比例函数中的1＞0，所以y随x的增大而减小；故本选项正确；
故选：D．
7．（3分）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（）
A．S=x（20﹣x）B．S=x（20﹣2x）C．S=x（10﹣x）D．S=2x（10﹣x）【解答】解：由题意得：S=x（10﹣x），
故选：C．
8．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）
与水平距离x（m）间的关系为y=﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2m B．8m C．10m D．12m
【解答】解：令函数式y=﹣（x﹣4）2+3，中，y=0，
0=﹣（x﹣4）2+3，
解得x1=10，x2=﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故选：C．
9．（3分）如图，一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c图象相交于A、B两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由图象知直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，且两交点的横坐标均为负数，
∴方程ax2+bx+c=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0有两个同为异号的实数根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象与x轴的负半轴有两个交点，
故选：B．
10．（3分）已知抛物线y=a（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的a的值有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：解法1：y=a（x+1）（x﹣）=（x+1）（ax﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC===，
点B坐标为（，0），
①a＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则，解得a=3，
若AC=AB，则+1=，解得a=，
若AB=BC，则+1=，解得a=；
②a＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得a=﹣，
所以，能使△ABC为等腰三角形的a的值有4个．
解法2：易得抛物线一定过两个定点：（﹣1，0），（0，﹣3），连接这两个定点，得到一条线段，以这条线段为底边可以在横轴上找一点构成等腰三角形，以这条线段为腰，分别以两个定点为顶点可以在横轴上找到三个点构成等腰三角形，所以共有四个点可以与定点构成等腰三角形，从而可以确定四个形状不同的抛物线，所以a有四个值．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）方程x2=10x的根是x1=0，x2=10．
【解答】解：x2﹣10x=0，
x（x﹣10）=0，
x=0或x﹣10=0，
所以x1=0，x2=10．
故答案为x1=0，x2=10．
12．（3分）将抛物线y=x2先向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=x2+2．【解答】解：∵将抛物线y=x2向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+2．
故答案是：y=x2+2．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=．
【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为：．
14．（3分）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为x1=5，x2=﹣1．
【解答】解：∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则﹣=﹣=2，
解得：b=﹣4，
∴x2+bx=5即为x2﹣4x﹣5=0，
则（x﹣5）（x+1）=0，
解得：x1=5，x2=﹣1．
故答案为：x1=5，x2=﹣1．
15．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x=﹣1时，y的值为﹣3．
【解答】解：∵x=﹣4，y=3，x=﹣2，y=3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==﹣3，
∵，
∴横坐标为﹣1的点与横坐标为﹣5的点关于x=﹣3对称，
∴当x=﹣1时，y=﹣3，
故答案为﹣3．
16．（3分）若m，n是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为2．【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，
∴m+n=﹣1，m2+m﹣3=0，
∴m2+m=3，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=3﹣1=2．
故答案为：2．
17．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（3+x）（4﹣0.5x）=15．
【解答】解：设每盆多植x株，可列出的方程：（3+x）（4﹣0.5x）=15，
故答案为：（3+x）（4﹣0.5x）=15．
18．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）②③⑤．
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，﹣=﹣1，
∴b=2a，c=﹣3a，
∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．
∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案为②③⑤．
三、解答题（共76分）
19．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144=0
（2）x2﹣4x﹣32=0
（3）x 2﹣3x+1=0
（4）（x﹣3）2=2x+5．
【解答】解：（1）（x+1+12）（x+1﹣12）=0，
所以x1=﹣13，x2=11；
（2）（x﹣8）（x+4）=0，
所以x1=8，x2=﹣4；
（3）△=（﹣3）2﹣4×1=5，
x=
所以x1=，x2=；
（4）x2﹣8x+4=0，
△=（﹣8）2﹣4×4=48，
x==4±2
所以x1=4+2，x2=4﹣2．
20．（5分）若a是方程x2+3x+1=0的根，求的值．
【解答】解：∵a是方程x2+3x+1=0的一个解，
∴x=a满足方程x2+3x+1=0，
∴a2+3a+1=0，
∴a2+3a=﹣1，
∵=（+）×=，
当a2+3a=﹣1时，
原式==﹣
故答案是：﹣．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=，BC=12，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=，cos∠DAC=，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴=，
∴AC=BD．
（2）解：在Rt△ADC中，，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD==5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=，
∴AD=12k=12×=8．
22．（6分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的图象可知c=3，把（1，0）代入y=﹣x2+bx﹣c得，b=﹣2，
所以b=﹣2，c=﹣3；
（2）由（1）可知y=﹣x2﹣2x+3，
∴y=﹣（x+1）2+4，
∴直线x=﹣1，y=4；
（3）由图象知，抛物线与x轴交于（1，0），对称轴为x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
∴x＞1或x＜﹣3．
23．（6分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
可得k﹣1≠0，
∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，
可解得且k≠1；
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，
∵x1+x2=0，
∴，
∴，
又∵且k≠1
∴k不存在．
24．（7分）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3、﹣3）和点P（t、0），且t≠0 （1）若抛物线的对称轴经过点A，如图所示，则此时y的最小值为﹣3；并写出此时t的值为﹣6；
（2）若t=﹣4，求a、b的值．
（3）直接写出使抛物线开口向下的一个t的值．
【解答】解：（1）如图所示：若抛物线的对称轴经过点A，则此时y的最小值为：﹣3；此时t的值为：﹣6；
故答案为：﹣3，﹣6；
（2）若t=﹣4，则二次函数图象经过A（﹣3，﹣3），P（﹣4，0），
则，
解得：；
（3）使抛物线开口向下的一个t的值可以为：1（t＞﹣3即可）．
25．（7分）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
（参考数据：=1.1，=1.2，=1.3，=1.4）
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2900（1+x）万元，2016年为2900（1+x）2万元．
则2900（1+x）2=3509，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）2018年该地区投入的教育经费是3509×（1+10%）2=4245.89（万元）．4245.89＜4250，
答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达
到4250万元．
26．（7分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F 不与A，B重合），过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y=；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
=AF•BE=×k（3﹣k），
∴S
△EFA
=k﹣k2
=﹣（k2﹣6k+9﹣9）
=﹣（k﹣3）2+
当k=3时，S有最大值．
S最大值=．
27．（10分）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），
=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
则S
△ACD
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4
=4；
（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴==，
∴==
∴AF=t，FQ=t•
∴Q（3﹣t，﹣t），
∵EQ=AP=t，
∴E（3﹣t﹣t，﹣t），
∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），
∴E（﹣，﹣）．
28．（10分）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
【解答】解：（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=﹣1或﹣，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣=4，
∴a=﹣．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y=﹣x+3．
（2）如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴=，
∵NE∥OB，
∴=，
∴AN=（4﹣m），
∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，
∴PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，
∴=，
解得m=2．
（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′•OB=×3=4，
∴OE′2=OM′•OB，
∴=，∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴==，
∴M′E′=BE′，
∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值=AM′==．。

赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60
°
60°
60°
45°
45°
45°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐
标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值
G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。