九年级上数学专题复习一：待定系数法求二次函数表达式(含答案)

专题复习一 待定系数法求二次函数表达式
二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.
1.一抛物线和抛物线y=-2x 2
的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).
A.y=-2(x-1)2+3
B.y=-2(x+1)2+3
C.y=-(2x+1)2+3
D.y=-(2x-1)2+3
2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).
A.y=x 2+2
B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x+2)2-2
(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)
3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-
21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-2
1
x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-
x
8
的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).
A.y=x 2-x-2
B.y=x 2-x+2
C.y=x 2+x-2
D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．
6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 ．
7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ． 8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-6
7
x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.
(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-
21,2
3
,与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．
(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x+
21）（x-2
3）.把点（0，-5）代入，得a ×21×（-23）=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x 2-3
20x-5.
(2)设抛物线的函数表达式为y=a （x-k ）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得()()⎪⎩⎪
⎨⎧-=---=-8
1222
2
k a k a ,
解得⎪⎩
⎪⎨⎧
=-
=592k a ,或⎩⎨
⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2.
（第10题）
10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.
(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G(包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.
【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ，得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=2
4
n m .
∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2，对称轴为直线x=1.
（第10题答图）
(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为
y=kx+b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩
⎪⎨⎧
==
034b k .∴直线BC 的表达式y=34
x.当x=1时，y=
34，∴t 的取值范围是-4≤t ≤3
4
.
11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).
A.(2，3)
B.(2，1)
C.(-2，1)
D.(2，-1)
12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.
2 D.±2
13.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a ＞0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0)
14.如图所示，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．
(第14题) (第16题)
15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=
21x 2
+2x 或y=-61x 2+3
2x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y=2
1
x 2-2x+2 ．
（第17题）
17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA=2，AB=1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y=-
6
5x 2
+bx+c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.
(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.
【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD=AB=1，OC=OA=2.
则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x 2+bx+c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26
512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==3102
1c b .
∴二次函数的表达式为y=-
65x 2+21x+3
10
.
（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB=OD ，∴DQ=BQ ，即点Q 为BD 的中点，D(-1，2).∴点Q 坐标为（21，2
3
）.设直线OP 的表达式为y=kx ，将点Q 坐标代入，得
21k=2
3
，解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩
⎪
⎨⎧++-==310216532x x y x
y 得⎩⎨
⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(-4，-12).
（第18题）
18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.
(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y=-
2
1
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，求b 的取值范围.
【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩
⎪⎨⎧
-==
121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.
(2)如答图所示，∵y=
21x 2-x+2=21
(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，2
3），对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B （-2，6），C （2，2）代入，得⎩
⎨
⎧=+=+-226
2b k b k ,
解得⎩⎨
⎧=-=4
1
b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3).∴S △BDC
=S
△BDH
+S △DHC =
21×23×3+21×2
3×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=22
12
12x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，
解得b=8
15.当直线y=-21x+b 经过点C 时，b=3，当直线y=-21
x+b 经过点B 时，b=5.∵直线
y=-
2
1
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴8
15
＜b ≤3.
（第19题）
19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).
A.y=(x-1)2+1
B.y=(x+1)2+1
C.y=2(x-1)2+1
D.y=2(x+1)2+1
20.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.
(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A
与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-()12-⨯m
=-1，()()
14142-⨯--⨯m n =1或9，
解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.
(2)①当y1=-x 2-2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得⎩⎨
⎧=+-=+-0
25
b k b k ,解得
⎩⎨
⎧==10
5
b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时，令-x 2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)
代入
得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==320
3
5b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.
21.如图所示，直线y=-
2
1
x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．
(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．
(第21题) 图1 图2
（第21题答图）
【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.
(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,
解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.
(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21
(x-23)2+8
25，∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C （0，2），∴OC=2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD=2
5
.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三
角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x=2
3
于点H ，∴HP 1=HD=2
，
∴DP 1=4.∴P 1(
23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，-2
5). (4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21
a 2+2
3a+2），∴EF=-21a 2+2
3a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =
21
BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21
a 2+2a ）=-a 2+4a+2
5=-（a-2）
2+213，∴当a=2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为2
13，此时点E 坐标为（2，1）.。