考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词-2020年高考数学(文)考点一遍过

专题03 逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2．全称量词与存在量词
（1）理解全称量词与存在量词的意义.
（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
一、逻辑联结词
1．常见的逻辑联结词：或、且、非
∧，读作“p且q”；
一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q
∨，读作“p或q”；
用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q
⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p
2．复合命题的真假判断
“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
3．必记结论
含有逻辑联结词的命题的真假判断：
（1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.
二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词
2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.
3．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
考向一 判断复合命题的真假
1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.
典例1 已知命题p ：若实数,x y 满足3
3
0x y +=，则,x y 互为相反数；命题q ：若0a b >>，则11
a b
<.下列命题p q ∧，p q ∨，p ⌝，q ⌝中，真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由题意，知命题p 为真命题；
命题q ：当0a b >>时，
110b a a b ab --=<成立，所以11a b
<，所以命题q 为真命题， 所以命题p q ∧为真命题；p q ∨为真命题；p ⌝为假命题；q ⌝为假命题，
所以真命题的个数是2个，故选B.
【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.
1．若命题p ：0x ∃∈R ，2
0010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >，则下列命题中是真命题的是
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
考向二 判断全称命题与特称命题的真假
要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.
典例2 下列命题中是假命题的是
A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+
B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数
C ．m ∃∈R,使243
()(1)m m f x m x
-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减
D ．0a ∀>，函数2
()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B
【解析】对于选项A ，如当==0αβ时，sin()sin sin ,αβαβ+=+所以选项A 的命题为真命题； 对于选项B
cos2x =是偶函数，因此选项B 中的命题为假命题；
对于选项C ，如当2m =时，11
()=
f x x x
-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，则22111
ln ln (ln )244
a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，
函数2
()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.
【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.
2．若命题“x ∃∈R ，使2
1()10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为
A ．13a ≤≤
B ．13a -≤≤
C ．33a -≤≤
D ．11a -≤≤
3．若命题p ：x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题q ：[]01,1x ∃∈-，02x a >，若()q p ⌝∧为真命题，求实数a 的取值范围.
考向三 含有一个量词的命题的否定
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.
典例3 已知命题()3
1,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为
A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤：
B ．()3
1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：
C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：
D ．()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()3
0001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.
4．命题：存在实数0x ，使2
00ln 1x x <-的否定是
A ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x <-
B ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x ≥-
C ．不存在实数0x ，使2
00ln 1x x ≥-
D ．存在实数0x ，使2
00ln 1x x ≥-
1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是
A ．01x ∃≤，2
000x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2
000x x -≤
D ．1x ∀≤，20x x ->
2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈ D ．00,x M x N ∃∈∉
3．下列命题中的假命题是 A ．x ∃∈R ，lg 0x = B ．x ∀∈R ，20x > C ．x ∃∈R ，2
21
21x x
-
= D ．x ∀∈R ，20x >
4．已知命题p ：“,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x
x ∃<>”，则下列为真命题的是
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∨⌝
5．已知命题p ：x ∀∈R ，e 1x x ≥+；命题q ：0x ∃∈R ，00ln 1x x ≥-.则在命题：①p q ∧，②()p q ∧⌝，③()p q ⌝∧，④()()p q ⌝∧⌝中，正确的为 A ．① B ．② C ．③
D ．④
6．下面四个命题：
1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0
200,2n n n ∃∉≤N ”；
2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；
3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.
其中为真命题的是
A ．12,p p
B ．23,p p
C ．24,p p
D ．13,p p
7．已知命题2:,210p x x ax ∀∈-+>R ；命题2:,20q x ax ∃∈+≤R .若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞- C ．(],2-∞-
D ．[]1,1-
8．若命题“π0,3x ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，1tan x m +≤”的否定是假命题，则实数m 的取值范围是__________．
9．已知命题:P x ∀∈R ， (
)
2
2log 0x x a ++>恒成立，命题[]
0:2,2Q x ∃∈-，使得022x a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．
1．（2017山东文科）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是
A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝ 2．（2015湖北文科）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-
D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
1．【答案】C
【解析】对于命题p ，2
2
00013
1=()02
4
x x x -+-+>，所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q ，0x ∀<，x x >，是真命题. 所以()p q ⌝∧是真命题. 故选C.
【名师点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系再进行判断即可. 2．【答案】B
【解析】由题得，原命题的否定是“x ∀∈R ，2
1()10x a x ≥＋－＋”， 所以2
(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选B.
【名师点睛】本题考查原命题及其否定的真假关系，属于基础题.解答本题时，若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围. 3．【答案】24a ≤<.
【解析】由题意，命题2
:,10p x ax ax ∀∈++>R ， 当0a =时，不等式成立， 当0a ≠时，由题意知0
040a a >⎧⇒<<⎨<⎩
∆， 综上可知，04a ≤<.
由命题q 可知，当[]01,1x ∈-时，012,22x
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则2a <，
∴q ⌝：2a ≥，
由题意知：q ⌝与p 同时为真，则04
2a a ≤<⎧⎨≥⎩
，
∴24a ≤<.
【名师点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中根据二次函数的性质和指数函数的性质，分别求得当命题,p q 为真命题时，实数a 的取值范围是解答的关键，着重考查了
推理与运算能力，属于基础题. 4．【答案】B
【解析】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.
【名师点睛】本题考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题，属于基础题.利用特称命题的否定是全称命题的关系确定选项.
1．【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：
“01x ∃>，2
000x x -≤”，故选C.
【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确全称命题的否定是特称命题，即可得结果.
（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 2．【答案】B
【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．
【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项. 3．【答案】B
【解析】当1x =时，lg 0x =，所以A 正确； 当0x =时，20x =，所以x ∀∈R ，20x >不正确； 当1x =时，2
21
21x x
-
=，所以C 正确； 由指数函数的性质可知x ∀∈R ，20x >，所以D 正确，
故选B ．
【名师点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．解答本题时，利用特殊值判断选项的正确性，即可得到结果． 4．【答案】C
【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题. 对于命题q ，0
00,20x x ∃<>，如101
1,2=
0.2
x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.
【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.
（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假. 5．【答案】A
【解析】命题p ：设()e 1x
f x x =--，()e 1x
f x '=-，
当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 为单调递减函数； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 为单调递增函数； 所以()()00f x f ≥=，即x ∀∈R ，e 1x x ≥+，故命题p 正确. 命题q ：设()ln 1(0)g x x x x =-+>，()111x g x x x
-=
-='， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为单调递增函数； 当()1,+∞时，()0g x '<，所以()g x 为单调递减函数， 所以()()10g x g ≤=，即当x =1时，ln 1x x =-. 故命题q ：0x ∃∈R ，00ln 1x x ≥-，正确，
所以①p q ∧正确，②()p q ∧⌝，③()p q ⌝∧，④()()p q ⌝∧⌝均错误. 故选A.
【名师点睛】本题考查命题真假的判断，难点在于构造新函数，结合导数进行判断，考查分析推理，计算化简的能力，属中档题.解答本题时，先判定命题p 、q 的真假，再结合复合命题的判断方法进行判断.
6．【答案】B
【解析】对于1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题；
对于2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；
对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题；
对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题.
故答案为B.
【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.
7．【答案】A
【解析】∵p q ∨为假命题，∴,p q 均为假命题，
若命题p 为假命题，则0≥∆，即2440a -≥，解得1,1a a ≤-≥或；
若命题q 为假命题，则0a ≥，
∴实数a 的取值范围是1a ≥.
故选A.
【名师点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，是中档题．解答本题时，由已知可得p 与q 均为假命题，求出p 与q 均为假命题的a 的范围，取交集得答案．
8．【答案】)1⎡+∞⎣
【解析】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式1tan x m +≤对π0,3x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，又
1tan y x =+在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
为增函数，()max π1tan 1tan 13x ∴+=+=，即1m …即实数m 的取
值范围是：)
1⎡+∞⎣.
【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.解答本题时，先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数m 的取值范围.应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：
（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
9．【答案】5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】当P 为真命题时，21x x a ++>恒成立，所以()1410a --<，54
a >，当Q 为假命题时，Q ⌝为真命题，即[]2,2,22a x
x ∀∈->，所以2a >，又命题P Q ∧为真命题，所以命题,P Q 都为真命题，
524a <≤.故实数a 的取值范围是5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦.
1．【答案】B 【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；
由221(2),12<->-可知q 是假命题，所以p q ∧⌝是真命题，故选B.
【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．
2．【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C.
【名师点睛】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.。