内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试(二)数学(文)含答案

机密★启用前
2024年高考适应性考试试题（二）
文科数学（答案在最后）
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间150分钟.
2做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上的答案无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合{}(
){
}2
0,1,2,|lg 3A B x y x x
===-+，则A B ⋂子集的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若复数()20241i
i i
a a +∈-R 为纯虚数，则a =（）
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）
A.
1
3
B.
34
C.
47
D.
711
4.函数()()22cos e e 1
x x
x f x +=
+的部分图像大致为（
）
A. B.
C. D.
5.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，AB 为底面圆的直径，M 为PB 中点，某同学用平行于母线PA 且过点M 的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高2PO =，底面半径2OA =，则该抛物线焦点到准线的距离为（
）
A.2
B.3
6.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()πf -的值是（）
B.1
C.-1
D.7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*
321,n n S a n =+∈N .若2024k S ≥，则正整数k 的最小值为（
）
A.11
B.12
C.13
D.14
8.已知,,,S A B C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC AB BC ⊥==若球O 的表面积
为4π，则SA =（）
A.
2
B.1
9.若实数,x y 满足不等式2x y +≤，则221x y +≤的概率为（）
A.
π8
B.
π6
C.
π4
D.
π3
10.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则
PQ =（
）
A.
23
B.
33
C.
34
D.
32
11.己知函数()()2
2π1552sin ,544
5log 1,4x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->
⎪⎩，若存在实数()12341234,,,x x x x x x x x <<<满足
()()()()1234f x f x f x f x m ====，则以下选项错误的是（
）
A.2
2
348
x x +< B.125
2
x x +=-
C.34340x x x x --=
D.02
m <<12.若0.111
1.1,ln e,e 10
a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）
A.b a c <<
B.a b c
<<C.b c a
<< D.a c b
<<二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C
a c A
+=
，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是__________.
14.点()3,P a 关于直线0x y a +-=的对称点在圆22(2)(4)13x y -+-=内，则实数a 的取值范围是__________.
15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,2,0A B -，点P 满足
3PA
PB
=，则PA PB ⋅ 的最小值为__________.16.已知关于x 的不等式2ln e x x x x ax -+≥-+在()0,∞+上恒成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17.（12分）
己知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n n =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）
如图，在正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点.
（1）若F 为PD 的中点，判断直线AF 与BE 的位置关系，并说明理由；
（2）正四棱锥P ABCD -的各棱长均为2，求直线BE 与底面ABCD 所成角的正弦值.19.（12分）
环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg /m ）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于
()(),1,2,3,,50i i x y i = 散点图，并用直线1500x =与100y =将散点图分成如图所示的四个区域I ､II ､III
､IV ，落入对应区域的样本点的个数依次为6,20,16,8.
（1）完成下面的22⨯列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于3100μg /m 与“汽车日流量不小于1500辆"有关；（2）
汽车日流量1500
x <汽车日流量1500
x ≥合计
PM2.5的平均浓度100y <PM2.5的平均浓度100
y ≥合计
（2）经计算得回归方程为ˆ0.1273.36y
x =-，且这50天的汽车日流量x 的标准差252x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =.
①求相关系数r ，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量x 满足50
281
1.210i
i x
==⨯∑，试推算这50天的PM2.5日均浓度y 的平均数y .（精
确到0.1）
参考公式：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
()
2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k
2.706
3.841
6.635
10.828
回归方程ˆˆˆy a bx
=+，其中()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑.
相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑0.75r ≥，则认为y 与x 有较强的线性相关性.
20.（12分）
已知函数()()ln 1f x ax x =-+.
（1）若()f x 的零点也是其极值点，求a ；
（2）若()0f x >对所有()0,x ∞∈+成立，求a 的取值范围.21.（12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点
P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l '过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B .
（1）求椭圆的方程；
（2
）试判断以AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,22,2
x y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2
2
12cos 3ρθ+=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若P 为曲线C 上到直线l 的距离最小的点，求点P 在平面直角坐标系中的坐标.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数()221f x x x =-++的最小值是m .（1）求m 的值；
（2）若0,0a b >>，且a b m +=，证明：+≤.
文科数学预测卷（二）答案
参考答案：
1.D
2.C
3.C
4.D
5.D
6.A
7.C
8.B
9.A 10.A 11.A 12.A
13.(
14.410
a <<15.-3
16.1
a ≤17.（1）()2
2
1,(1)1,2n n S n n S n n n -=-=---≥ ，两式相减得22,2n a n n =-≥，又当1n =时，110a S ==，满足上式，所以22n a n =-；
（2）由（1）得1
22
2n n n b a +==-，
()
23411222222n n n T b b b n +∴=+++=++++- (
)2
41222
24
12
n n n n +-=-=---18.（1）相交
由E F ､分别为侧棱PC PD ､的中点，
EF ∴∥CD 且1
2
EF CD =，
又AB ∥CD 且AB CD =，故EF
∥
AB 且1
2
EF AB =
，∴四边形EFAB 是梯形，因此直线AF 与BE 相交
.
（2）由E 为PC 的中点，得点E 到平面ABCD 的距离为正四棱锥高的一半，设AC BD O ⋂=，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，
由正四棱锥的各棱长均为12,2BO BD ∴===，
则PO =
=
，
∴点E 到平面ABCD 的距离为22
，又BE ==
设直线BE与底面ABCD所成角为α
，则
6
sin
6
α==，
故直线BE与底面ABCD
所成角的正弦值为
6
.
19.【详解】（1）22⨯列联表如下：
汽车日流量1500
x<汽车日流量1500
x≥合计
PM2.5的平均浓度100
y<16824
PM2.5的平均浓度100
y≥62026
合计222850
零假设0
H：“PM2.5平均浓度不小于33
100μg/m”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为()
2
2
50(162086)9.62 6.635,10.828
24262228
χ
⨯⨯-⨯
=≈∈
⨯⨯⨯
，
所以至少有
99%的把握（但还不能有99.9%的把握）认为“PM2.5平均浓度不小于3
100μg/
m”，与“汽车日流量不小于1500辆有关”.
（2）①因为回归方程为ˆ0.1273.36
y x
=-，所以
()()
()
50
1
50
2
1
ˆ0.12
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
==
-
∑
∑
，
36
==
，
所以()()
50
252
ˆ0.120.84.36
i
i
x x y y r b
--=
⋅⨯
∑.0.840.75,r y =>∴ 与x 有较强的相关性，∴该回归方程有价值
.
②
252x s ==
解得1528.56x ≈而样本中心点(),x y 位于回归直线ˆ0.1273.36y
x =-上，因此可推算(
)3
0.121528.5673.36110.1μ/m y g ≈⨯-=.
20.（1）()()()1
ln 1,1,1
f x ax x x f x a x =-+>=-'-+，若0a ≤，则()()1
0,1
f x a f x x <+'=-
在()1,∞-+单调递减，无极值点，不合题意；若()10,1ax a a f x x +-'>=+，则111,()0;,()0a a x f x x f x a a ''
---<<
<>>；故()f x 在11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a ∞-⎛⎫
+
⎪⎝⎭
上单调递增，故1()1ln a f x f a a a -⎛⎫
==-+
⎪⎝⎭
极小值因为()f x 的零点也是其极值点，则1ln 0a a -+=，设()()111ln (0),1a
g a a a a g a a a
-=-+>=-+
='，则01,()0;1,()0a g a a g a ''<<>><；故()g a 在()0,a 上单调递增，在(),a ∞+上单调递减，且易知()10g =，故()0g a =有唯一解1a =此时()f x 的零点和极值点均为0，符合题意；故1a =首先注意到()00f =，.
()()()11
ln 1,0,11
ax a f x ax x x f x a x x +-=-+>-
'==++，①若0a ≤，则()0f x '<在0x >时恒成立，故()f x 单调递减，则对所有()()0,00x f x f ><=，不满足题意，故舍去；
②若01a <<，则110,()0;,()0a a x f x x f x a a
''
--<<<>>；故()f x 在10,
a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a ∞-⎛⎫
+
⎪⎝⎭
上单调递增，则()min 1()00a f x f f a -⎛⎫
=<=
⎪⎝⎭
，不满足题意，故舍去；③若1a ≥，则()()1
101
f x ax a x '=
+->+在0x >时恒成立所以()f x 在()0,∞+上单调递增，则对所有()()0,00x f x f >>=，符合题意，该情况成立.
综上所述，a 的取值范围是[)1,∞+.21.（1）因为124,2c a a ==，
所以2,1,a c b ===
所以椭圆的方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：设点()()0000,0,0P x y x y ≠≠，直线l 的方程为()00y y k x x -=-，
代入221
43
x y +=，整理得()
()()222
00003484120k x k y kx x y kx ++-+--=，因为0x x =是方程的两个相等实根，所以()0002
8234k y kx x k -=-
+，解得0
34x k y =-
.所以直线l 的方程为()0
000
34x y y x x y -=-
-，令0x =，得点A 的坐标为22
00
0430,4y x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
.
又因为2200143
x y +=，所以22
004312y x +=.
所以点A 的坐标为030,
y ⎛⎫
⎪⎝⎭
.又直线l '的方程为()0
000
43y y y x x x -=
-，
令0x =，得点B 的坐标为00,3y ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
.所以以AB 为直径的圆的方程为00303y x x y y y ⎛
⎫⎛⎫⋅+-
⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.整理得22
003103y x y y y ⎛⎫++--= ⎪⎝⎭.令0y =，得1x =±，
所以以AB 为直径的圆恒过定点()1,0和()1,0-
.
解法二：设点()()0000,0,0P x y x y ≠≠，
根据切线方程可知直线l 的方程为00143x x y y +=，所以点A 的坐标为030,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又直线l '的方程为()000043y y y x x x -=-，令0x =，得点B 坐标为00,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以以AB 为直径的圆方程为00303y x x y y y ⎛
⎫⎛⎫⋅+-
⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得220003033y y x y y y ⎛⎫⎛⎫++-⋅+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，令0y =，得1x =±，所以以AB 为直径的圆恒过定点()1,0和()1,0-.
22.（1）对于直线l
的参数方程1,222,2x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
消去参数t 得3x y +=-，
即直线l 的普通方程为30x y ++=；
对于曲线C 的极坐标方程为()22
12cos 3ρθ+=，利用222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
变形得22223x y x ++=，即曲线C 的直角坐标方程为2
213
y x +=；（2）设与直线l 平行的直线方程为0x y c ++=，联立22013
x y c y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得224230x cx c ++-=令()
22Δ41630c c =--=得2c =或2c =-，当2c =时，直线20x y ++=与2
213
y x +=的交点为曲线C 上到直线l 的距离最小的点，解方程24410x x ++=得12x =-，此时13222
y =-=-即点P 在平面直角坐标系中的坐标为13,22⎛⎫-
- ⎪⎝⎭23.（1）当1x ≤-时，()()()22131f x x x x =---+=-+，此时()min ()14f x f =-=；
当11x -<<时，()()()2213f x x x x =--++=-+，此时()()12f x f >=；
当1x ≥时，()()()22131f x x x x =-++=-，
此时()min ()12f x f ==；
综上所述，函数()221f x x x =-++的最小值是2，即2
m =（2
≤，
即证22,
≤
即证28,
a b +++
因为0,0a b >>，且2a b m +==，
2=，
()()1122a b +++≤
=，当且仅当1a b ==时，等号成立，
故命题得证.。