【K12教育学习资料】2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系模

2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何 7.3 空间点、直线、

平面之间的位置关系模拟演练理

[A级基础达标](时间：40分钟)

1．[2017·福州质检]已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.

2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )

A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC

答案 D

解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D不成立．

3．[2017·泉州模拟]设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥b

B．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥b

C．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α

D．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α

答案 C

解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，故D不正确，故选C.

4．[2017·温州模拟]如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是( )

答案 D

解析A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，故共面．

5．[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )

A.

3

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

1

3

答案A

解析如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角为60°，

其正弦值为

3

2

.选A.

6．[2017·福建六校联考]设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．

答案①

解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，

并不能说明a 与b “不在任何一个平面内”，故④错．

7.

如图，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则

EF 与CD 所成的角是________．

答案 30°

解析 取CB 的中点G ，连接EG ，FG ， ∵EG ∥AB ，FG ∥CD ，

∴EF 与CD 所成的角为∠EFG ， 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .

在Rt △EFG ，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝1

2，

∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.

8．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案③④

解析如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．

∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.

∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，

∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，

∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.

9.

如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π

2，AB ＝2，AC

＝23，PA ＝2.求：

(1)三棱锥P －ABC 的体积；

(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．

解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝1

3×23×2

＝43

3

.

(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线

BC 与AD 所成的角．

在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22

＋22

－22×2×2＝3

4

.

故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为3

4

.