利用球坐标计算三重积分

（2）若空间区域具有轮换对称性，即
(x, y, z) V , ( y, z, x), (z, x, y) V ,
也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f (x, y, z) f1(x, y, z) f1( y, z, x) f1(z, x, y)
f (x, y, z)dxdydz 3 f1(x, y, z)dxdydz.
0
0
h
1

2
d
h
r2 d z
4


2
2
0
[(1
h 1 2
4h) ln(1
(h 2 ) d
4 4h) 4h]
4
o x
y
例3. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中

为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时

f
(x,
y,
z)dxdydz

2
f
(x,
y,
，
z)dxdydz
V
V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz, zox 对称，且被积
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性
计算三重积分
（1）若空间闭区域关于平面 xoy 对称, 即
(x, y, z)V ,(x, y, z) V , 则当 f (x, y, z) f (x, y, z)
即被积函数关于z 为奇函数时, f (x, y, z)dxdydz 0
围成 ; 被积函数形式简洁, 或
球面坐标系 r 2 sin dr d d 变量可分离.
* 说明:
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f (x, y, z) dxdydz * F(u,v, w) J dudvdw
对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
因此有
f (x, y, z)dxdydz F(r, ,) r2 sin d r d d
d dr
r d
o
x
y
d
其中 F(r, ,) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
方法1 . 投影法 (“先一后二”)
找 及在 xoy面投影区域D。过D上一点 (x, y)“穿线”确定z
的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照 二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后 二“这一步。
解: 在柱面坐标系下
2 z R2 2
: 0 R
z rR
2
0 24 Nhomakorabea ( x2 y2 z2 )dxdydz
oy
2
d
0
R
2 dr R22 ( 2 z2) d z
0

x
1 R5(2 2)
注：这个式子虽容易写出，但是要 求积分结果非常难，我们能不能找
o

x
d

d

y
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
例1. 计算三重积分
z x2 y2 dxdydz 其中为由

柱面 x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
成半圆柱体.
k 1

vk
(k ,k , k )
定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) , 若对 作任意分割:
vk ( k 1 , 2 , , n), 任意取点 (k ,k , k ) vk ,
下列“乘积和式” 极限
n
记作
lim
0
k
1
f
( k
,k
,
k
)vk
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
1. 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
0 2cos z
解: 在柱面坐标系下 :
0



2
a
先二后一
0 z a
原式 z 2 d dd z

a
zdz

2 d
2cos 2 d
0
0
0
o y
2 x 2cos
4a2 2 cos3 d 8 a3
30
9
例2. 计算三重积分
2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
例5. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中

为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0




4
0 2

4
5
到更加简便的方法来研究这道题目
呢？
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
ZOM , 则(r, ,) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
z z
x rsin cos y r sin sin z r cos
回顾 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk

( x2 y2 z2 )dxdydz


2
d

4 sin d
Rr4 dr
oy x
0
0
0
dv r2 sin drd d
1 R5(2 2)
5
这种方法简单多了！
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 dxdydz
积分区域多由坐标面
柱面坐标系 d d dz

1
d xd yd x2
z y
2
,
其中由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
2 4
z

h
h
解: 在柱面坐标系下
02 h
0 2
1
h
原式 =
D
1 x2 y2
dxd y
r2 dz
4

2
2
d
V
V1
4. 设由锥面 z x2 y2 和球面 x2 y2 z2 4
所围成 , 计算 I (x y z)2 dv.
z 2
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv

4
利用对称性
oy
x
(x2 y2 z2 ) dv
该物体的质量为
f (x, y, z)d v
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
记作

bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxdy
z
d
z Dz
c
y
x
面密度≈
f (x, y, z) d z
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
坐标面分别为

0 r
0 2 0

rM
o
y x
r 常数
常数
球面
M (r, ,)
半平面
r sin z r cos
常数
锥面
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
z
d v r 2 sind rd d
利用对称性
关于 x为奇函
z

1 2

(
x2

y2
)d
数
xd yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
4
1
Dz
oy x
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
常数 常数
z 常数

0 0 2
z

圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
o
y
x
(x,
用球坐标


2
d
0
4 0
sin d 2r 4 d r 64 1
0
5
2 2

2. 计算 I
( x2 5xy2 sin x2 y2 ) d x d y d z,其中

由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我
们讲过极坐标的转化 面积微元为 d d d
体积微元 d v d dd z
z
d
因此 f (x, y, z)dxdydz
z
d
dz
F(, , z) d d dz
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
f (x, y, z)dv
d xd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1 ( x, y)
方法2. 截面法 (“先二后一”)

:
(x, y)

c

z

Dz d
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
Dz f (x, y, z) d x d y
yozzox对称且被积函数分别是的奇偶函数也有上述类似的结论一利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分2若空间区域具有轮换对称性即xyzvyzxzxyv????111fxyzfxyzfyzxfzxy????113
第三节 三重积分
换元法计算三重积分
一、柱面坐标求三重积分 二、球面坐标求三重积分