高考数学复习：正弦定理和余弦定理

正弦定理
(1)a=2Rsin A,b= _2_R_s_i_n__B_,c=_2_R_s_i_n__C_ (2)a∶b∶c=__s_i_n__A_∶_ 变形 _s_i_n__B_∶__s_i_n__C_ (3)asin B=bsin A,
bsin C=csin B,
asin C=csin A
余弦定理
a
2
2
因为b>a,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有
两个.
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
若B=2A,则 asin A 的取值范围是 ( )
b
A. 3 , 3 B. 3 , 3 C. 1 , 3 D. 3 , 1
62
42
22
62
【解析】选D.因为B=2A,
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.依题意得sin C<sin Bcos A,所以 sin (A+B)<sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin Asin Bcos A<0,所以cos Bsin A<0.又sin A>0,于是有 cos B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.
2 2x 3
解得x=3(x 1 舍).
3
答案:3
【规律方法】 1.利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而 进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一 确定,会出现两解、一解和无解三种情况.
在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表
又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, 所以bc=-2bccos A,即cos A 1 ,
2
由于A为三角形的内角,所以 A 2 .
3
对于已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,有2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+
(2sin C+sin B)sin C, 即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin Cs=in2 2 3 ,
2bc
24c 2
解得c=2.所以 S 1 bcsin A 1 4 2 sin 60 2 3.
2
2
答案: 2 3
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【题组练透】
1.在△ABC中,已知a=2,b= 6 ,A=45°,则满足条件的三 角形有 ( )
A.一个
源自文库
B.两个
C.0个
D.无法确定
【解析】选B.由正弦定理得 sin B bsin A 6sin 45 3 ,
世纪金榜导学号
【解析】 (1)选B.因为bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, 所以sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1, 所以 A ，所以三角形为直角三角形.
2
【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为： 建模板：选B.“由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,” ………………………………由正弦定理边化角
【解析】根据正弦定理可得a2+b2<c2, 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 0， 故C是钝角,
2ab
所以△ABC是钝角三角形.
答案:钝角三角形
2.若本例(1)条件改为“若2sin Acos B=sin C”,那么 △ABC的形状为____________.
【解析】方法一:由已知得2sin Acos B=sin C =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0, 因为-π<A-B<π,所以A=B. 所以△ABC为等腰三角形.
A. B. C. ?D.
3
4
6
12
【解析】选C.由2asin B=b可得:2sin Asin B=sin B, 故 sin A 1 , A .
26
3.已知锐角△ABC的面积为 3 3，BC=4,CA=3,则角C的大 小为 ( ) A.75° B.60° C.45° D.30°
【解析】选B.由三角形的面积公式,得 1 BC·CA·
34
又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,
所以sin Bsin C= 1 .从而有sin B=sin C= 1 .
4
2
因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,
所以B=C=， 所以△ABC是等腰的钝角三角形.
6
【互动探究】 1.若本例(1)条件改为“asin A+ bsin B<csin C”,那么△ABC的形状为__________.
3
62
2
即 asin A的取值范围是
b
( 3 , 1). 62
3.在△ABC中, B , AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积
3
为 3 3，则AC等于 ( )
4
A.2B. 7 C. 10D. 19
【解析】选B.由题意可知在△BCD中, B ,BD=1,
3
所以△BCD的面积 S 1 BC BDsin B 1 BC 3 3 3，
所以 AB2 25 1 2 51 ( 3) 32,所以AB 4 2.
5
3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知C=60°,b= 6 ,c=3,则A=________.
(源于必修5 P4 例2)
【解析】由题意:
b
c
，即sin B bsin C
6 3 2
第六节 正弦定理和余弦定理
(全国卷5年14考)
【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理
内容
正弦定理
b
c
a __si_n_B__ _s_i_n_C__ 2R
sin A
余弦定理 a2=_b_2_+_c_2_-_2_b_c_c_o_s__A b2=_a_2_+_c_2_-_2_a_c_c_o_s__B c2=_a_2_+_b_2_-_2_a_b_c_o_s__C
所以sin B=sin 2A=2sin Acos A,
由正弦定理得b=2acos A,
a 1 ,所以 asin A sin A 1 tan A.
b 2cos A
b 2cos A 2
因为△ABC是锐角三角形,
所以
0 0
A B
, 2 2A
2
,
解得 A ,
6
4
0
C
3A
2
,
所以 3 tan A 1,所以 3 1 tan A 1 .
所以cos A=0或sin A=sin B. 即 A 或 A=B.
2
………………………………得出内角的值或关系 故△ABC为等腰或直角三角形. ………………………………判断三角形的形状 答案：等腰或直角三角形
(2)由已知,结合正弦定理,
得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,
(3)S△ABC= 1 r(a+b+c)(r为内切圆半径).
2
【常用结论】 三角形中的必备结论 (1)a>b⇔A>B(大边对大角). (2)A+B+C=π(三角形内角和定理).
(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,
sin A B cos C ,cos A B sin C .
cos A b2 c2 a2 ;? 2bc
c2 a2 b2
cos B
;
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC= 1 a h (h表示a边上的高).
2
(2)S△ABC= 1 absin C 1 acsin B 1 bcsin A.
2
2
2
A为钝角 A为直角
A为锐角
a>b 一解 一解
一解
a=b 无解 无解
一解
a>bsin A 两解
a<b 无解 无解 a=bsin A 一解
a<bsin A 无解
2.利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角. (2)已知三边,求三个内角.
考点二 判断三角形的形状
所以b2+c2-a2≥bc,所以 cos A b2 c2 a2 1 .
2bc
2
因为y=cos x在 (0, ) 上为减函数.
2
故A的取值范围是 (0, ].
3
答案: (0, ]
3
题组二:走进教材
1.(必修5 P10 B组T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对的
边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为 ( )
sin B sin C
c
3
2 ，结合b<c 可得B=45° ,则A=180°-B-C=75°.
2
答案:75°
4.(必修5 P3 例1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC= 2 3，则△ABC的面积等于________.
【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由
题意及余弦定理得 cos A b2 c2 a2 c2 16 12 1，
2
2
24
解得BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得:
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=22+32-2×2×3× 1=7,所
2
以AC= 7.
4.如图所示,在平面四边形ABCD中, AB 2,BC 3, AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC=________.
【解析】设AC=x,AD=3x,
在Rt△ACD中,得 CD AD2 AC2 2 2x,
所以 sinCAD CD 2 2 ,
AD 3
在△ABC中,由余弦定理得
cosBAC AB2 AC2 BC2 x2 1，
2AB AC
2 2x
由于∠BAC+∠CAD=， 所以cos∠BAC=sin∠CAD,
即 x2 1 2
2 2 ,整理得3x2 8x 3 0,
2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中, cos C 5， BC=1,
25
AC=5,则AB=( ) (源于必修5P8练习T1)
A.4 2B. 30C. 29D.2 5
【解析】选A. cos C 2cos2 C 1 2 ( 5 )2 1 3，在
2
5
5
△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都 能解三角形. ( ) (3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是 A>B.( )
提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2) 是正确的. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2asin B =b, 则角A等于 ( )
“所以sin(B+C)=sin Asin A,” ………………………………三角恒等变形 “可得sin A=1,所以 A ,”
2
………………………………得出内角的值或关系 “所以三角形为直角三角形.” ………………………………判断三角形形状
套模板： 在△ABC中,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状 为________.
【典例】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,
c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
(2)在△ABC中,若2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 且sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
2
sin C= 3 3，即 1 43sin C 3 3，解得sin C 3，又因为
2
2
三角形为锐角三角形,所以C=60°.
4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的 取值范围是________.
【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,
2
2
2
2
(4)射影定理:bcos C+ccos B=a,bcos A+acos B=c,
acos C+ccos A=b.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已 知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( )
【解析】因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由正弦定 理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, ………………………………由正弦定理边化角
所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 故cos A(sin B-sin A)=0, ………………………………三角恒等变形