(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A ．1440°
B ．1080°
C ．720°
D ．360°
2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，已知BE ＝4cm ，AB ＝6cm ，则AD 的长度是（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm 3．如图，作边长为4的等边11OA B ，延长11A B 至点2A ，使得121112
B A A B =，再以 12B A 为边作等边122B A B ．延长22A B 至点3A ，使得23B A ＝222A B ，再以23B A 为边作等边233B A B ，以此类推……．若点
C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，则2021CC 的长度为（ ）
A ．6058
B ．6060
C ．6062
D ．6064
4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，28ABE ∠︒＝，且CE BC ＝，AE DE ＝，则下列选项正确的为（ ）
A ．56BAE ∠=︒
B ．68AED ∠=︒
C ．112AEB ∠=︒
D ．122C ∠=︒
5．下列关于多边形的说法不正确的是（ ）
A ．内角和外角和相等的多边形是四边形
B ．十边形的内角和为1440°
C ．多边形的内角中最多有四个直角
D ．十边形共有40条对角线
6．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A ．AD//BC ，AB=CD
B ．∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB
C ．OA=OC ，OB=OD
D ．AB=AD ，CB=CD 7．在ABCD 中，6AB =，4=AD ，则ABCD 的周长为（ ）
A ．10
B ．20
C ．24
D ．12 8．如图，在ABCD 中，AD= 10，点M 、N 分别是BD 、CD 的中点，则MN 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．不能确定 9．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形（ ）
A ．A
B ∥CD ，AB ＝CD
B ．AB ∥CD ，AD ∥B
C C ．OA ＝OC ，OB ＝OD
D ．AB ∥CD ，AD ＝BC 10．在□ABCD 中，∠A ：∠B ＝7：2，则∠C 、∠D 的度数分别为（ ） A ．70°和20°
B ．280°和80°
C ．140°和40°
D ．105°和 30° 11．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN
的取值范围是（ ）
A ．14MN <<
B ．14MN <≤
C ．28MN <<
D ．28MN <≤ 12．在Rt ABC 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，点D 在BC 边上(不与点C ，B 重合)，点P 、点Q 分别是AC ，AB 边上的动点，当DPQ 的周长最小时，PDQ ∠的度数是( )
A ．70°
B ．90°
C ．100°
D ．120°
二、填空题
13．如图，AE 平分∠BAC ，DE 平分∠BDC ，已知∠B =10°，∠C =40°，则
∠E =____________．
14．如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，ABCD 的周长为40，则S ABCD 四边形为______．
15．一个正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的外角的度数为______． 16．如图，在OABC 中，对角线,AC BD 相交于点,O AE BD ⊥于点,E CF BD ⊥于点,F 连接,AF CE ，给出下列结论：;AF CE OE OF ==①②；DE BF =③；④图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是______．
17．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的
度数为______．
18．七边形的外角和为________．
19．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．
20．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：
DA=2：3，△AOB的周长为15cm，那么BC的长是_____________cm．
三、解答题
21．操作探究：
（1）现有一块等腰三角形纸板，BC为底边，量得周长为32cm，底比一腰多2cm．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；
（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点,A B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出平行四边形ABCD ，点C 和点D 均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD 的面积为12；
（2）在图中画出以AB 为腰的等腰直角ABE △，且点E 在小正方形的顶点上； （3）连接DE ，直接写出DE 的长．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 边上，且AE CF =． 求证：四边形BFDE 是平行四边形．
24．如图，五边形ABCDE 的内角都相等，EF 平分∠AED ．求证：EF ⊥BC ．
25．如图，平行四边形ABCD 中，分别过A 、C 两点作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接CE 、AF ．
（1）若4AB =，3EF =30ABD ∠=︒，求ABD △的面积；
（2）求证：AF CE =．
26．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜BC ．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE= ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
2．D
解析：D
【分析】
由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得
CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
【详解】
解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm ，
∴AD=BC=10cm ，
故选：D ．
【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD ．
3．C
解析：C
【分析】
由作法知两类等边三角形11OA B ，122B A B 边长分比为4，2,由点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，利用中位线可求
123452CC C C C C ==== 同理34564C C C C ===求出26CC =由此求出2k 6CC k =，利用相等线段关系2021202020202021110106CC CC C C CC =+=⨯+即可求出．
【详解】
由作法知11OA B ，233B A B ，455B A B ……都是边长为4的等边三角形,
122B A B ，344B A B ，566B A B ……都是边长为2的等边三角形,
∵点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，
∴CC 1=111OB =4=222
⨯=C 2C 3=C 4C 5=……， ∵1211111111=2=222B A A B B C B C =
⨯=， ∵23B A ＝222A B ，
∴232222=22B A B C A B =即2222B C A B =，
∴121224C C B B ==，
同理34564C C C C ===，
∴2112246CC CC C C =+=+=，
∴2242226k k CC C C C C +====，
∴422426CC CC C C =+=⨯，
∴644626636CC CC C C =+=⨯+=⨯，
∴2k 6CC k =，
∴20212020202020212110101010626062CC CC C C CC CC =+=+=⨯+=，
故选择：C ．
【点睛】
本题考查图形规律探究问题，从图形分布入手：由图形特点⇒找出特殊情况⇒推广到一般情况⇒总结规律．
4．B
解析：B
【分析】
解根据等腰三角形的性质得出∠EBC ＝∠BEC ，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴∠ABE ＝∠BEC ＝28°，
∵CE ＝BC ，
∴∠EBC ＝∠BEC ＝28°，
∴∠ABC ＝56°，
∴∠BAD ＝∠C ＝124°，∠DAE ＝56°，
∵AB ∥DC ，
∴∠BAE ＝∠AED ，
∵AE ＝ED ，
∴∠D ＝∠DAE ＝56°，
∴∠BAE ＝124°−56°＝68°，
∴∠AED ＝180°−56°−56°＝68°，
∴∠AEB ＝180°−68°−28°＝84°，
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC ＝∠BEC 解答． 5．D
解析：D
【分析】
根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．
【详解】
A 、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；
B 、十边形的内角和为()102180-⨯︒=1440°，正确；
C 、多边形的内角中最多有四个直角，正确；
D 、十边形共有
()101032⨯-=35条对角线，故错误；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质． 6．C
【分析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；
C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质得出ABCD的周长为：2AB+2AD，求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=4，
∴ABCD的周长为：2AB+2AD=2(6+4)=20，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
8．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=10，
∵点M、N分别是BD，CD的中点，
∴MN=1
BC=5，
2
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9．D
解析：D
【分析】
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】
根据平行四边形的判定，A、B、C均符合是平行四边形的条件，D则不能判定是平行四边形．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
10．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，又有∠A：∠B=7：2，可求得∠A=140°，∠B=40°，即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°
又∵∠A：∠B＝7：2
∴∠A＝140°，∠B＝40°，
∴∠C＝140°，∠D＝40°；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN的取值范围．
【详解】
连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ．
∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ，
∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5，
∴NG 是△BCD 的中位线，1522
NG CD ==， 在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即
53532222MN -<<+， ∴14MN <<，
当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形，
故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4．
故选B ．
【点睛】
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 12．B
解析：B
【分析】
作D 关于AC 的对称点E ，作D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AC 于P ，交AB 于Q ，则此时△DPQ 的周长最小，根据四边形的内角和得到∠EDF=135°，求得∠E+∠F=45°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
作D 关于AC 的对称点E ，作D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AC 于P ，交AB 于Q ，
则此时△DPQ 的周长最小，
∵∠AGD=∠ACD=90°，∠A=45°，
∴∠EDF=135°，
∴∠E+∠F=45°，
∵PE=PD，DQ=FQ，
∴∠EDP=∠E，∠QDF=∠F，
∴∠CDP+∠QDG=∠E+∠F=45°，
∴∠PDQ=135°-45°=90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．
二、填空题
13．15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣
∠BAC=50°根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC∠EDC=∠BDC再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠E
解析：15°
【分析】
根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得
∠EAC=1
2∠BAC，∠EDC=1
2
∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得
∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，∴∠BDC﹣∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠EAC=1
2∠BAC，∠EDC=1
2
∠BDC，
∴∠EDC﹣∠EAC==1
2∠BDC﹣1
2
∠BAC=25°，
设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，
∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，
∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，
∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，故答案为：15°．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．
14．48【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CDAD＝BC可得AB＋BC＝20再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF可得4AE＝6CD列出方程组求出平行四边形的各边长再求其面积【详解】解：设
解析：48
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S ABCD
四边形
＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组：
20 46
x y
x y
+
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
解得：
12
8 x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
15．60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720继而可求得答案【详解】解：设这个正多边形的边数为n∵一个正多边形的内角和为720°∴180（n-2）=72
解析：60°
【分析】
首先设这个正多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n ，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
16．①②③【分析】根据平行四边形的性质全等三角形的判定和性质及中心对称的性质进行判断即可【详解】解：在中于点于点四边形是平行四边形故①②正确即故③正确∵和是中心对称图形点是对称中心易证∴共10对全等三角
解析：①②③
【分析】
根据平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质及中心对称的性质进行判断即可．
【详解】
解：在OABC 中，,,AB CD AD BC ==
BD DB =，
()ABD CDB SSS ∴≌，
ABD CDB S ∴△△=S ，
AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，
1122
BD AE BD CF ∴=，//AE CF AE CF ∴=，
∴四边形AECF 是平行四边形，
,AF CE OE OF ∴== ，故①②正确，
OB OD =，
OD OE OB OF ∴+=+，即DE BF =，故③正确，
∵,,OA OC OB OD OE OF ===，
ABCD ∴和AECF 是中心对称图形，点O 是对称中心，
易证,,,ADC CBA ABD CDB AOB COD AOD COB △≌△△≌△△≌△△≌△ ，
,,,
△≌△△≌△△≌△△≌△，
AEF CFE AFC CEA AOF COE COF AOE
△≌△△≌△△≌△△≌△，
,,,
ABE CDF AFD CEB ABF CDE AED CFB
∴共10对全等三角形，故④错误；
故答案为：①②③
【点睛】
本题是平行四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，正确理解中心对称的性质是解本题的关键．
17．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得
∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得
∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO
解析：35°
【分析】
连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【详解】
解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查
了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36
解析：360°
【分析】
根据多边形的外角和等于360°即可求解；
【详解】
∵多边形的外角和都是360°，
∴七边形的外角和为360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键；
19．八【分析】首先设这个多边形的边数为n由n边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n根据题意得:180（n-2）=108
解析：八
【分析】
首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180 （n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．
【详解】
解:设这个多边形的边数为n,
根据题意得:180（n-2）=1080,
解得:n=8,
故答案为:八．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．
20．9【分析】根据平行四边形的性质先求出AB的长再根据所给比值求出AD 的长即可求得BC的长【详解】∵平行四边形ABCD∴OA+OB=(BD+AC)=9(cm)又∵△AOB的周长为15cm∴AB=CD=1
解析：9
【分析】
根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，即可求得BC 的长．
【详解】
∵平行四边形ABCD
∴OA+OB=1
(BD+AC)=9(cm)，
2
又∵△AOB的周长为15cm，
∴AB=CD=15-9=6(cm)，
又∵CD ：DA=2：3，
∴BC=DA=9(cm)，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，得出AB 的长是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）200或328或272或192.16
【分析】
（1）正确画出图形；
（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）设AB =AC =xcm ，则BC =（x +2）cm ，
由题意得（x +2）+2x =32，解得x =10cm ．
因此AB =AC =10cm ，则BC =12cm ，
过点A 作AD ⊥BC 于D ，
∴BD =CD =6cm ，
∴AD =8cm ．
可以拼成四种四边形，如上图所示．
如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；
如图2，AC 2=()22483+，
∴两对角线长的平方和为()2224836328++=；
如图3，BC 2=22128+，
∴两对角线长的平方和为2221288272++=；
如图4，∵12×AB ×CO ＝12
×AC ×BC ， 10CO =6×8．
∴CO =4.8cm ，CD =9.6cm ．
∴两对角线长的平方和为229.610192.16+=．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）5DE =
【分析】
（1）由平行四边形ABCD 的面积为12，把,A B 分别往右平移3个单位长度，对应点分别为,,D C 从而可得答案；
（2）如图，取格点,P 满足90,APB ∠=︒ 把APB △绕点A 逆时针旋转90,︒ ,P B 的对应点分别为,,H E 则ABE △即为所求作的等腰直角三角形；
（3）利用勾股定理直接计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，把,A B 分别往右平移3个单位长度，对应点分别为,,D C 则四边形ABCD 即为所求作的平行四边形．
理由如下：由平移的性质可得：//,,AB CD AB CD =
∴ 四边形ABCD 是平行四边形，3412.ABCD S =⨯=
（2）如图，取格点,P 满足90,APB ∠=︒ 把APB △绕点A 逆时针旋转90,︒ ,P B 的对应点分别为,,H E 则ABE △即为所求作的等腰直角三角形，
理由如下：由旋转可得：,90,AB AE BAE PAH =∠=∠=︒
ABE ∴是以AB 为腰的等腰直角三角形．
（3）由勾股定理得：2212 5.DE =+
【点睛】
本题考查的是平行四边形的作图与判定，平移的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的定义，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23．证明见解析．
【分析】
欲证明四边形BFDE 是平行四边形，只要证明BE=DF ，BE ∥DF 即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB = CD ，
∵AE=CF ，
∴AB-AE= CD-CF ，
即BE=DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 24．证明见详解
【分析】
根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用四边形DFBC 内角和计算出∠EFC 的度数即可证明．
【详解】
解：解：∵五边形ABCDE 的内角都相等，
∴∠C=∠D=∠AED=180°×（5-2）÷5=108°，
又 EF 平分∠AED ∴°1542
FED AED ∠=∠= ∴在四边形DFBC 中°=360-D-C-FED EFC ∠∠∠∠=90°
∴EF ⊥BC
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．
25．
(1)；(2)证明见解析
【分析】
(1)由平行四边形的性质得AB=CD ，AB ∥CD ，由平行线的性质得∠ABE=∠CDF ，由AAS 证得△ABE ≌△CDF ，得BE=DF ，在Rt △ABE 中，由含30°角直角三角形的性质得
122
AE AB ==，再由勾股定理求出BE ，进而得到BD 的长，进而求出ABD △的面积； (2)由(1)得△ABE ≌△CDF ，则AE=CF ，易证AE ∥CF ，得出四边形AECF 是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE=∠CDF ，
又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE 和△CDF 中：
ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CDF （AAS ），
∴BE=DF ，
∵在Rt △ABE 中，∠ABD=30°， ∴122AE AB ==， 由勾股定理得：22224223BE AB AE =
-=-=， ∴2223353BD
BE EF ， ∴112535322
ABD S AE BD ， 故答案为：53；
(2) 由(1)得：△ABE ≌△CDF ，∴AE=CF ，
∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF=CE ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）3．
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A 的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD ∥BC ，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA ，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．
【详解】
（1）如图所示：E 点即为所求．
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵AE 是∠A 的平分线，
∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴BE=BA=5，∴CE=BC ﹣BE=3．
考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质。