2021高考数学一轮复习统考第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课时作业含解析北师大版

等差数列及其前n 项和
课时作业
1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3
答案 B
解析 由题意可得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋d ＝2，7a 1＋7×6
2d ＝56，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝2，
a 1＋3d ＝8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝3，选B.
2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48
答案 D
解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，
∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8
＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7
4
×11＝15.故选A.
4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )
A ．50
B ．45
C ．55
D ．40 答案 B
解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)
2
＝45.
5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．36
答案 C
解析 由等差数列的通项公式及性质，可得
S 9＝
9(a 1＋a 9)
2
＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54
答案 D
解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9)
2
＝9a 5＝54.故选D.
7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( )
A ．S 9＝0
B ．S 5最小
C ．S 3＝S 6
D ．a 5＝0 答案 B
解析 由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×4
2d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5
＝0，故选B.
8．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20
b 7＋b 15
＝( )
A.107
24 B.724
C.14912
D.1493
答案 A 解析 由题知，
a 2＋a 20
b 7＋b 15＝S 21T 21＝107
24
. 9．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
答案 C
解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1
＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.
10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12
＝( )
A.3
10
B.13
C.18
D.19
答案 A
解析 令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴
S 6S 12＝3
10
.故选A. 11．已知数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )
A ．d <0
B ．a 7＝0
C ．S 9>S 6
D ．S 6，S 7均为S n 的最大值
答案 C
解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *
，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.
又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝
m (a 1＋a m )2
＝
m (a 1＋2)
2
＝0，
∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.
13．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2
n ＝a 2
n ＋1＋a 2
n －1(n ∈N *
，n ≥2)，则a 7＝________. 答案
19
解析 由2a 2
n ＝a 2
n ＋1＋a 2
n －1(n ∈N *
，n ≥2)，得数列{a 2
n }是等差数列，公差d ＝a 2
2－a 2
1＝3，首项a 2
1＝1，所以a 2
n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.
14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
(n ∈N *
)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝
________.
答案 676
解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0，n 为奇数，
2，n 为偶数，
∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为
首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25×2＋
25×242×2＝676. 15．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若abn ＝3n －1，则b 2019
＝________.
答案 2020
解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－2
2＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n ＋1
＝3n －1.又由数列{a n }的公差大于0，知数列{a n }为递增数列，所以结合abn ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.
16．(2020·武汉模拟)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *
)，数列{b n }满足b n ＝
1
a n －1
，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．
答案
3n －13n －4 －1
3
解析 由题意知，a n ＝2－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *
)，∴b n ＝
1
a n －1＝1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－1a n －1－1
＝a n －1
a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋
b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *
)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首
项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13<0，b 2＝23>0，
∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－1
3
.
17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．
解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2
－8n ＝(n －4)2
－16.
所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
18．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝
n (n －9)d
2
.
由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2
－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．
19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2
n ＋1
.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 是等差数列；
(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *
恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22
，得a 1＝4.
S n ＝2a n －2n ＋1，
当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n
，两式相减得
a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，
所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知a n
2
n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n
.
因为a n >0，所以不等式2n 2
－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .
记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －1
2n ＋1
2n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝3
2
，即b 3>b 2，又
显然当n ≥3时，
b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<37
8
. 20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n
2n －1
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2，∴a n ＝2n －1.
(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n
2n －1
，
∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 3
5＋…＋b n －1
2n －3(n ≥2，n ∈N *
)， 两式相减，得b n
2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *
)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *
)， 当n ＝1时，b 1＝1，
∴b n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，n ＝1，4n －2，n ≥2，
∴当n ≥2时，S n ＝1＋(n －1)(6＋4n －2)2＝2n 2
－1.
又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， ∴S n ＝2n 2
－1.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。