小学奥数教程：长方体与正方体(一)全国通用(含答案)

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c
b
a H G
F E
D C
B A
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；
长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．
板块一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
左面
【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左
面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条)．
【答案】8个面，18条棱
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
例题精讲
长方体与正方体（一）
【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答
【解析】9个面，21条棱．
【答案】9个面，21条棱
【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【答案】600
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．
【答案】15000
【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．
【答案】12
【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【关键词】奥林匹克，初赛，10题
【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．
【答案】百分之八
【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．
【答案】120
【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．
【答案】3
【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体
小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1
2
厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法
和前两个相同为1
4
厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前
后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，1
2
⨯
1
2
⨯4=1(平方厘米)，
1 4⨯
1
4
⨯4=
1
4
(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816
++4+1+
1
4
=
1
29
4
(平方厘米).
【答案】
1 29
4
【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【关键词】小学生数学报
【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；
按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；
按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4
【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；
按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；
按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4
【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要
使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？
【答案】1252
【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的
表面积之和是 平方厘米．
6
8
7
6
6
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：
87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．
也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为
()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．
【答案】292
【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正
方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、
宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.
剩下的体积应是()
33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.
【答案】1107
【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4
小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，
6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．
【答案】18
【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
【答案】24
【巩固】一个表面积为2
cm．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛
【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2
563168(cm)
⨯=．
【答案】168
【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．
【答案】600
【例 13】 有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果
这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的
表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n 为多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，
从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．
所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以
(3096362)14421n =-⨯÷=．
【答案】21
【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的
面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.
【答案】502
【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【答案】54
【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分
【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=
【答案】26
【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

涂上红色的部分，面积是（ ）
平方厘米
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第12题
【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。

从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。

因此被染色的面有()
++⨯=个面
1067236
【答案】36
【例18】用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？
12
3
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2
⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，
(343334)266(cm)
宽为2，高为1，所以最大的表面积为2
⨯+⨯+⨯⨯=
(18118212)2112(cm)
(1)
【答案】112
【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【解析】教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10⨯2个7⨯5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7⨯5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3⨯5的面(衔接的面将不能成为表面积)，这样得到的长方体表面积最大．
同样要想最小，可把7⨯5面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5⨯7的面，减少了10个3⨯7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2⨯(7⨯15+15⨯10+10⨯7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．
【例 19】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
如何打包？
⑴当 b =2h 时，如何打包？
⑵当 b <2h 时，如何打包？
⑶当 b >2h 时，如何打包？
【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，
图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.
当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.
图3
图2图1h
b
a
【答案】当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；
当b <2h 时，按图2打包；
当b >2h 时，按图3打包.
图3
图2图1h
b
a
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.
第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034
.
【例20】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：。

【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第11题
【解析】体积比为3:8:13
【答案】3:8:13
【例21】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250
⨯⨯=(平方分米)，
⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214
++=(平方分米)．44464
【答案】214
【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是222
=
12421
++=平方米，从上面观察到的面积是2416平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21416100
⨯+=平方米．
【答案】100
【例22】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第7题，5分
【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：2222(1235)6396234+++⨯=⨯=(平方厘米)，
重叠部分的面积为：22222222213(221)(321)(321)39141440⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．
表面积为()3834252194++⨯=(平方厘米)．
【答案】194
【例 23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个
顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并
保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。

当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第18题，10分
【解析】 白色正方体的体积占总体积的93.75%，即占整个的1516
，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15，观察可知，每一层黑色正方体有4个，则白色正方体有60个，所以每一层共有64个正方体，则正方体的边长为1，则共有8层，所以一共用了4×8=32个小的黑色的正方体。

【答案】32
【例 24】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面
积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、
前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．
【答案】90
【巩固】按照上题的堆法一直堆到N 层(3N >)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是
多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)2
N N +个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到3(1)N N +个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N +是一个完全平方数，N 的最小值是几(3)N >？”因为N 和1N +互质，所以N 和1N +必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但1N +不能是平方数的3倍，因为如果1N +是平方数的3倍，设213,N n +=231N n =-此时N 被3除余2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3倍，1N +是完全平方数，开始试验：
当2313N =⨯=，不符合题意；
当23212N =⨯=，113N +=，不是完全平方数；
当23327N =⨯=，128N +=，不是完全平方数；
当23448N =⨯=，149N +=，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为23484984⨯⨯=.
【答案】48
【例 25】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形
的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个
上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
【答案】54
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第12 题
【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．
【答案】46
【例 26】 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为
3厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的
图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积．
例：
侧
前上
侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成的图形只有3层．
从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示．
从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米；
从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14平方厘米；
从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米；
隐藏着的面积有2平方厘米．
一共有181412246+++=(平方厘米)．
【答案】46
【例 27】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的
小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】清华附中，培训题
【解析】 长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；
所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．
【答案】78
【例 28】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂
成红色的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．
【答案】56
【例 29】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下
层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体
的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是________．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为22228⨯+⨯=，
它的每个侧面的面积应该超过()39847.75-÷=．
最底层的正方体的单个侧面面积为224⨯=，往上依次为2，1，12，14
，…… 前五层正方体的单个侧面面积和为114217.7524
++++=， 所以要想超过7.75，至少应该是6个．
【答案】6
【例 30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成
红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多
______ 块．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 三面涂上红色的小正方体有：425428⨯+⨯=个，两面涂上红色的小正方体有：341416⨯+⨯=个， 所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612-=块．
【答案】12
【例 31】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面
看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块．
图1
图2
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9题
【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其
实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．
【答案】23块
【例 32】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面
看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
图2图3
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7题
【解析】 这道题很多同学认为答案是31块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其
实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为26块．
图5
【答案】26块
【例 33】 右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方
体各有多少块？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；
一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．
【答案】52
【例 34】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等
距离切n 次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n 的取值是________．。