三角函数总结经典例题

第三章 三角函数
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r
l
=
α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：rad π2360=
；rad 1745.01801≈=π
；1
30.57180≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的
大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度
()
不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2
1
21r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是
)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是
y
r
x r y x x y r x r y ======
ααααααc s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,s i n .这六个函数统称为三角函数.
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为
正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
（2）与α角终边相同的角的集合表示.
{}
Z k k ∈+⋅=,360
αββ
，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无
数多个，它们相差
360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法
“0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为{
}
Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360
θθ；“小于90
的
角”可表示为{
}
90<θθ. 3．在弧度的定义中
r
l
与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=
β的
同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2
(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）
①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <
A ．1 B.2 C.3 D.4
错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>
法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴
2
2
π
β
α=
++πk 2，（)z k ∈
错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称.
正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴
)(,2
2
Z k k ∈+=
+ππ
β
α即)(,2z k k ∈+=+ππβα
说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα
（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ
[例3] 已知54
2cos ,532sin
-==θθ
，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2
θ
是第二象限角，即
.,22
2z k k k ∈+<<
ππθ
π
从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ
故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.
错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由054
2cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定， 而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ
的大小，即可进
一步缩小2
θ
所在区间.
正解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2
θ
是第二象限角，
又由43sin 22532
sin
πθ
=<=
知z k k k ∈+<<+,22
432ππθππ z k k k ∈+<<+
,242
34ππθπ
π，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=
∴=-=
3
434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===
∴a a a a a a a a αααα
错因：在求得r 的过程中误认为a >0
正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限
3
434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===
∴a a a a a a a a αααα
若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限
3
4
34cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=
∴a a a a a a a a αααα 说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则
2
α
是第 象限角，α2是第 象限角； （2）若4-=α，则α是第 象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+
<<+,2
3
22ππαππ
Z k k k ∈+<<
+
∴,4
3
22ππα
ππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ
当k 为偶数时，2α
为第二象限角
当k 为奇数时，2
α
为第四象限角
而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. （2）因为ππ
-<-<-
42
3，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，
2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2
α
为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=
扇形的面积25)5()220(2
1
2+--=⋅-=
r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===r
l cm l α时2
max 25cm S =.
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. [例7]已知α是第三象限角，化简
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

解：原式＝α
ααα2
222sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(----+＝αα
αααcos sin 2cos sin 1sin 1=+-+ 又α是第三象限角，0cos <∴α 所以，原式＝αα
α
tan 2cos sin 2-=-。

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能 使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简. [例8] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四
解：αααααααααα⇔⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨
⎧<-<0
cos 0
sin sin cos 0cos sin 0sin cos 02sin 角在第二象限.故选B.
[例9] 已知θθcos cos -=，且0tan <θ.
（1）试判断
)
cos(sin )
sin(cos θθ的符号；
（2）试判断)cos lg(sin θθ-的符号.
解：（1）由题意，0cos 1<<-θ，0sin 1>>θ
0)cos(sin ,0)sin(cos ><∴θθ，所以
0)
cos(sin )
sin(cos <θθ.
（2）由题意知θ为第二象限角，1cos sin >-θθ，所以0)cos lg(sin >-θθ. 四、典型习题导练
1．已知钝角α的终边经过点()θθ4sin ,2sin P ，且5.0cos =θ，则α的值为 ）
A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-
21arctan B ．()1arctan - C ．21arctan
-π D ．4
3π 2．角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则β为（ ）
A.-α
B.л-α
C.（2k л+1）л-α(k ∈Z)
D.k л-α（k ∈Z ） 3.若sin αtg α≥0,k ∈Z ，则角α的集合为（ ）
A ．[2k π－
2π，2k π +2π] B.( 2k π－2π,2k π+2π) C.( 2k π－2π，2k π+2
π
)∪}{ππ-k 2 D.以上都不对
4．当0＜x ＜π时,则方程cos (πcosx)=0的解集为( )
A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ
B.⎭⎬⎫
⎩⎨⎧32,3ππ C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π D.⎩
⎨
⎧⎭⎬⎫32π 5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine
B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3
D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3 6．已知x ∈(0,
2
π
),则下面四式: 中正确命题的序号是 . ①sinx ＜x ＜tgx ②sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx) ③sin 3x+cos 3x ＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1)k π+
π2；(2)k π-π2；(3)2k π±π2；(4)-k π+π
2
(k ∈z)其中终边相同的是（ ）
A.(1)和(2)
B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4)
D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sin α等于（ ）
A. 12
B.－ 12
C.－32
D.－33
9．函数y=1)3
cos(2--
π
πx 的定义域是______,值域是______.
3.2三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：1cos sin 2
2
=+αα；商数关系：α
α
αcos sin tan =
；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示
（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；
（3）每个三角函数为相邻两函数的积.
诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型
（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐
含着平方关系式1cos sin 2
2
=+αα）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲
[例1]已知=∈=
+θπθθθcot 05
1
cos sin ），则，（，__________ 错解：两边同时平方，由，
与5
1
cos sin 2512cos sin =+-=⋅θθθθ得5
7cos sin 25
49
cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±
=-∴=-+=-+⋅+=-θθθθθθθθθθθθθθ
∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==
解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：3
4
cot -=θ
错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.
正解： ），
，（，πθθθ05
1
cos sin ∈=
+ 两边同时平方，有联立，
与5
1
cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，
，53cos 54sin -==θθ∴4
3
cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值
错解：由⎩⎨⎧== ②
①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=b a
tan B
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示 正解：由⎩⎨
⎧== ②
①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1
∴cos 2
B=2221b a a -- ∴sin 2
B=2
221b a b -- ∴tan 2B=1122--a b ∵B 为锐角 ∴tan B=112
2
--a b ②①得tan A=b
a
tan B =1122--a b b a
[例3]若函数)2
cos(2sin )
2
sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=
ππ
的最大值为2，试确定常数a 的值.
.
15,.
44
4111
sin ),sin(441sin 2
cos 212cos
2sin cos 4cos 2)(:2
222±==++=
++=
+=+=a a a
x a x a
x x
x a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ 点评：本试题将三角函数“
απαπ
-+,2
”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要
求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4]已知tan 2
α
=2，求
（1）tan()4
π
α+
的值； （2）
6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
解：（1）∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2
α
αα⨯=
==---; 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23
-+=--.
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()4
1
4cos()414sin(
z n n n ∈-++--απαπ
错解：原式)]4
(
cos[)]4
(
sin[απ
παπ
π-+++-=n n
)4cos()4sin(απαπ--+=)4cos()]4(2sin[απ
αππ----=
0)4
cos()4cos(=---=απ
απ 错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4
(
cos[)]4
(
sin[απ
παπ
π-+++-=n n
（1）当)(12z k k n ∈+=，时 原式)]4
(
2sin[απ
ππ+-+=k +)]4
(
2cos[απ
ππ-++k
)4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4
cos(απ
--=0
（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4
(
2sin[απ
π+-=k +)]4
(
2cos[απ
π-+k
)]4sin(απ+-=+)4
cos(απ
-=0 [例6]若316sin =⎪⎭⎫
⎝⎛-απ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-
B ．31-
C ．31
D ．9
7 错解：⎪⎭⎫
⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=)23cos(απ-=1—2)6(sin 2απ-=97
错因：诱导公式应用符号错. 正解：⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--
=—)23cos(απ-=—1+2)6
(
sin 2
απ
-=—
97
.故选A.
[例7]．已知5
1
cos sin ,02=+<<-x x x π.
（1）求sin x －cos x 的值；
（2）求
x
x x
x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322
++-的值. 解法一：（1）由,251
cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得
即 .25
49
cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x
又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .5
7
cos sin -=-x x
（2）x
x x x x x x
x x x x x sin cos cos sin 1
sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222+
+-=++-
125
108)512()2512()
sin cos 2(cos sin -=-⨯-
=--=x x x x
解法二：（1）联立方程⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x
由①得,cos 5
1
sin x x -=
将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=∴<<-=
-=∴.
54c o s ,53s i n ,02.5
4c o s 5
3
c o s x x x x x π 或 故 .57cos sin -=-x x
（2）
x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322
++- x x
x x x x
sin cos cos sin 1
sin 2sin 22+
+-=
125
108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -
=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能
力. [例8] (1)化简： sin 2αsec 2α－1＋1csc cos 22-αα
+cos 2αcsc 2α (2)设sin(α+
π2)=－1
4
,且sin2α＞0 求sinα,t an α
解：原式=sin 2αtan 2α＋cos 2α
cot 2
α
+cos 2αcsc 2α =cos 2α+sin 2α+cos 2αcsc 2α =1+cot 2α =csc 2α (2)解：由sin(α+π2 )=-14 ∴cos α=- 1
4
∵sin2α＞0∴2k π＜2α＜2k π+π kπ＜α<kπ+
π
2
(k ∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角 ∵cosα=- 1
4＜0 ∴α为第三角限角
sinα=-1－cos 2α＝
15
4 tan α= sin αcos α
= 15
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的
探讨.
①②
点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例9] 已知)3
tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-
α及求. 解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
)cos (sin 2
2)4sin(1027α-α=π-α= 即5
7
cos sin =
α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得
)sin (cos 5
7
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α= 故5
1
sin cos -=α+α ②
由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，4
3
tan -=α，由两角和的正切公式
.11325483
343344
331433tan 313tan )4tan(-=+-=+
-
=α-+α=π+α 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
α-=α=2sin 212cos 257解得5
3sin ,259sin 2±=α=α即 由5
7
cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-
α可得 由于05
7
sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=
α且， 故α在第二象限，于是5
3
sin =α.
从而5
4
57sin cos -=-α=α（以下同解法一）.
点评：ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系
式1cos sin 2
2
=+αα），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练
1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,
6лл B.⎭⎬
⎫⎩⎨⎧32
,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫32л
2．在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan
=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A
② 2sin sin 0≤
+<B A
③ 1cos sin 22=+B A
④ C B A 222sin cos cos =+
其中正确的是 A ．①③
B.②④
C.①④
D.②③
3．设02x π≤≤,
sin cos x x =-,则
A. 0x π≤≤
B.
744x π
π≤≤
C. 544x ππ≤≤
D. 322x ππ
≤≤
4．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线2
1
=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依
次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π
5．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1) 求f (
4π
)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2
α)
＝2，求sin α的值．
6．已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，
sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 7．已知
310,tan cot 43παπαα<<+=- （1）求tan α的值；
（2
）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭的值。

3.3三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1） 两角和与差的三角函数公式
βαβαβαc o s c o s s i n s i n )s i n (±=± βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±
β
αβ
αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n ( ±=
±
（2） 二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2
2
2
2
sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
（3） 半角公式
2cos 12sin
2
αα
-=
， 2c o s 12c o s 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= α
α
αααsin cos 1cos 1sin 2tan -=
+= 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除
等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题. 2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如αααcos sin 22sin =成立的条件是“α是任意角，αα是2的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±、22cos 1sin 2
αα-=
、2
2cos 1cos 2
αα+=等. 4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2βαβαα-++=、ββαα-+=)(、
2
2
β
αβ
αβ+-
+=
，
)2
(
)2
(2
βα
β
αβ
α+--
=-等，注意到倍角的相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.
三、典型例题导讲
[例1] 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
6
π或π65
D ．
3π或3
2π
错解：C
错因：求角C 有两解后未代入检验. 正解：A
[例2] 已知tan α tan β是方程x 2
+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2
,2π
π)，则α+β=（ ）
A ．
3
π
B ．
3
π或-π32
C ．-
3
π或π32
D ．-π3
2
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围. 正解：D.
[例3] △ABC 中，已知cosA=135，sinB=5
3
，则cosC 的值为（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.65
16
-
错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘. 正解：A
[例4] 已知53sin +-=
m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ
<<2
），则=θtan （ ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、12
5- D 、12543--或
错解：A
错因：是忽略1cos sin 2
2
=+θθ，而解不出m
正解：C
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=}{
R
x x x y y ∈+=,cos sin ，N=}{R x x x y y ∈=,cos sin π则MUN 等于（
）
A ．M B.N C.ф D.}{
22≤≤-y y
2.若sin α+cos α=2,则tan α+cot α=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2 3.已知
2л＜α＜л＜,sin α=54,则cos 2
α
的值为( ) A.
25或-55 B.- 55 C. 5
5 D.以上都不对
4.已知θ=
5л,则`34an 3an 334an 3t θ
θθθt t t an ++= . 5.计算sin 10лsin 10
13л
= .
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ） A ．22-
B ．
2
2
C ．22±
D ．21
±
7．已知角A 是△ABC 的一个内角，且3
2
cos sin =
+A A ，则△ABC 是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．形状不确定 8.已知向量.5
5
2||),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b ββαα （1）求)cos(βα-的值； （2）若αββπ
π
αsin ,13
5
sin ,02
,2
0求且-
=<<-
<
<的值. 3.4三角函数的图像与性质
一、知识导学
1.三角函数线.设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 做x PM ⊥轴于M ，过点)0,1(A 做单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T ，则有向线段AP OM MP ,,分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图像
（1）x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====四种图像 （2）函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析
1.)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.
如：x y 2sin =向右平移
6
π
个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y
2.用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，ππ
π2,2
3,来求相应的x
值及对应的y 值，再描点作图.
3.,cos ,sin x y x y ==)sin(ϕω+=x A y 的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而x y tan =图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 的各个参数.
4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型.一类是x b x a y cos sin +=型，这要变形成)sin(22ϕ++=
x b a y ；二是含有
三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.
6.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由
2
2π
π-
k ≤ϕω+x ≤)(2
2z k k ∈+
π
π解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.
7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.
三、典型例题导讲
[例1] 为了得到函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移
6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3
π 错解：A
错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解：B
[例2] 函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为( )
A
π B π2 C
2
π D 23π
错解：A
错因：将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解：B
[例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π
,0)为中心对称的三角函数有（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
错解：B
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解：D
[例4]函数]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )
A. ]3
,
0[π
B. ]12
7,
12
[
π
π
C. ]6
5,
3
[
π
π
D. ],6
5[
ππ
错解：B
错因：不注意内函数的单调性. 正解： C
[例5]已知定义在区间]3
2
,
[ππ-上的函数)(x f y =的图像关于直线 6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)
,0,0()sin()(π
ϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，
其图像如图所示.
（1）求函数)(x f y =在]32
,[ππ-的表达式；
（2）求方程2
2
)(=x f 的解.
x
解：（1）当],[326ππ-∈x 时，函数),0,0()sin()(22ππϕωϕω<<->>+=A x A x f ，观察图像易得：
3,1,1π
ϕω===A ，即时，函数
)sin()(3π+=x x f ， 由函数)(x f y =的图像关于直线
6
π
-=x 对称得，],[π
π--∈x 时，
函数x x f sin )(-=. ∴⎪⎩
⎪⎨
⎧--∈--∈+=),[sin ],[)
sin()(6
3
26
3πππππx x x x x f .
（2）当],[32
6ππ-∈x 时，由22
3)sin(=+πx 得， 125124343πππππ=-=⇒=+x x x 或或；
当
],[6ππ--∈x 时，由
2
2
sin =-x 得，44
3ππ-=-=x x
或.
∴方程22
)(=x f 的解集为},,,{12512443ππππ---
3.5解三角形及三角函数的应用 一、知识导学
1.解三角形的的常用定理:
(1) 内角和定理:π=++C B A 结合诱导公式可减少角的个数.
(2) 正弦定理:
R C c
B b A a 2sin sin sin ===（R 指△AB
C 外接圆的半径） )sin 2
1
sin 21sin 21(B ac A bc C ab S ===
(3) 余弦定理: 222cos 2c C ab b a =-+及其变形. (4) 勾股定理: 2
2
2
c b a ABC Rt =+∆中
2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论. 二、疑难知识导析
1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.
3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构. 三、经典例题导讲
[例1]已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ， 且α、∈β ⎝⎛-
2π,⎪⎭
⎫
2π，则2tan βα+的值是_________________. 错解： βαt a n ,t a n 是方程01342=+++a ax x 的两个根
∴a 4tan tan -=+βα，13tan tan +=⋅a βα
由tan ()βα+=
βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34
可得.22
tan ±=+βα
错因：忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根，从而导致错误. 正解：1>a ∴a 4t a n t a n -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα ∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根 又⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫
⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=
βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22
tan -=+β
α
答案: -2 .
[例2]在ABC ∆中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则 ①若b a >，则x B A x f ⋅-=)sin (sin )(在R 上是增函数； ②若2
2
2
)cos cos (A b B a b a +=-，则∆ABC 是∆Rt ；
③C C sin cos +的最小值为2-； ④若B A 2cos cos =，则A=B ；
⑤若2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则π4
3
=+B A ，其中错误命题的序号是_____. 错解：③④⑤中未考虑π<<C 0. 错因：④中未检验. 正解：错误命题③⑤.
① 0sin sin ,sin sin >-∴>⇔>B A B A b a
上是增函数。

在R )sin (sin )(x B A x f -=∴
②∆∆+==-Rt ABC c b a c b a 是则,,2
2
2
2
2
2
.
③,1)4
sin(),4
sin(2cos sin -=+
+
=
+π
π
c c c c 当时最小值为2-.
显然,0π<<c .得不到最小值为2-. ④B A B A i B A ==>⇒=,222cos 2cos
或πππ=+-=-=B A B A B A ,,222(舍) ，B A =∴.
⑤B A B A B A B A tan tan tan tan 1,2tan tan tan tan 1+=⋅-=⋅+++
41)tan(1tan tan 1tan tan π
=
+∴=+=⋅-+∴
B A B A B A B A ，，即
∴错误命题是③⑤.
[例3]函数f(x)=x
x x
x cos sin 1cos sin ++的值域为______________.
错解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---
2122,2122 错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而12
1
)(-≠-=t t g
正解：⎥⎦⎤
⎝
⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---
2122,11,2122 [例4] ︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解：︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot
＝0
0000040cos 270cos 70sin 10sin 320sin 10cos 20cot -+ ＝00
00040cos 220
sin 20cos 10sin 310cos 20cos -+
00000000
00000
2cos 40
2cos 20(cos10sin 30sin10cos30)2cos 40sin 202cos 20sin 402sin 20cos 40sin 202
=+=--=
= 【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所
有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换
一下名称,就可以使用.
[例5] 在锐角△ABC 中，A ＜B ＜C,且B=60°,
)2cos 1)(2cos 1(C A ++=
2
1
3-,求证：a+.22c b = 解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-
2
1 又由已知C A 2
2cos 2cos 2⋅=
2
1
3- ∵锐角△ABC 中，cosA ＞0，cosC ＞0， ∴cosAcosC=
413- sinAsinC=41
3+ ∴cos(C －A)=
2
3
即C －A=30° ∴A=45° B=60° C=75°
∴a+2b=2R(sin45°+2sin60°)=2·2R
4
6
2+=2·2Rsin75°=2c [例6]如图,在平面有点A 、B 、P 、Q ，其中3=AB ，,1===QB PQ AP 设△APB 与△PQB 面积为S 、T ，求
S 2+T 2的取值范围. 解：设∠BAP=α α∈[0,
2
л] ∠BQP=β,在△PAB,△PBQ 中 由余弦定理cos β=cos α-1 ∴S 2
+T 2
＝(
23sin α)2+(2
1sin β)2
＝－
23
(cos α－3
21)2+87 ∴当cos α=1时，S 2
+T 2
有最小值
4
3
32- 当cos α=
3
21时，S 2+T 2有最大值
8
7 [例7]已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ)，x ∈R ，(其中ω>0)的图像与x 轴在原点右侧的第一个交点为N （6,0）,又f (2+x )=f(2－x ),f (0)<0,求这个函数的解析式.
解： f(2+x)=f(2-x) ∴ f(x)关于x=2对称，又x 轴在原点右侧的第一个交点为N （6,0） ∴ 4T =6-2=4，即T =16，∴T πω2==8π. 将N （6,0）代入f(x)=sin(8πx+ϕ)得：sin(43π+ϕ)=0， 得：ϕ=2k π+4π或ϕ=2k π+45π(k ∈Z ), f(0)<0,∴ ϕ=2k π+45π(k ∈Z),满足条件的最小正数ϕ=45π, ∴所求解析式f(x)=sin(8πx+4
5π). [例8] 已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列，求
（1）△ABC 的面积S 的最大值；
（2）⋅的取值范围. 解 设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b ²=ac ， 由余弦定理得2222221cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=,
故有03B π<≤，又6,22
a c
b b +-=≤=从而02b <≤
（1）所以22111sin sin 2sin 2223
S ac B b B π==≤⋅⋅=max S = （2）所以2
2)(2cos 2
2222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅ 22
2(6)3(3)272
b b b --==-++ 182,20<⋅≤∴≤<b ，
四、典型习题导练
1.在Rt △ABC 中,C=90°,则sinAcos2(45°－2B )-sin 2A cos 2
A A.有最大值41和最小值0 B.有最大值4
1但无最小值 C.即无最大值也无最小值 D.有最大值2
1但无最小值 2.要得到y=sin2x 的图像,只需将y=cos(2x-
4л)的图像 ( )
A.向右平移8л
B.向左平移8л
C.向右平移4л
D.向左平移4
л 3．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数
I=)0,0)(6
sin(≠>+⋅ωπ
ωA t A 的图像如图 所示，则当50
1=t 秒时，电流强度是 安.
4.在△ABC 中,sin 2sin 2sin 2C B A =81,则△ABC 的形状为 ．
5.直角三角形的周长为定值2l ,则斜边的最小值是 .
6．如果方程x 2-4xcos θ+2=0与方程2x 2+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求θ值， 其中0＜θ＜π.
7. 如图，已知一半径为1，圆心角为
3π的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD ， 求该矩形的最大面积.
8．在∆ABC a b c 中，、、分别是角A 、B 、C 的对边，设a c b A C +=-=
23，π，求sinB 的值.。