单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
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已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
就是点的纵坐标和横坐标都由唯一确定。由函数的定义可知，这两个对应关
系确定了两个函数。在弧度的意义下，有以下的两个函数：
任意角的正弦函数： = ， 任意角的余弦函数： = ，
2, 2 +
2、正弦函数值和余弦函数值的符号
（1）各象限内的正弦函数值和余弦函数值的符号
由三角函数的定义可知，三角函数值的符号主要取决于点的横坐标和纵坐标的
符号：
正弦函数：第一象限，第二象限，正；第三象限，第四象限，负
余弦函数：第一象限，第四象限，正；第二象限，第三象限，负
（2）终边在坐标轴上的正弦函数值和余弦函数值的符号
单位圆与任意角的三角函数
目 目
1 掌握单位圆中任意角的三角函数
输 入 标 题 名
1
2 单位圆与正弦/余弦函数的基本性质
输 入 标 题 名
2
3 掌握正弦函数值和余弦函数值的符号
输 入 标 题 名
3
4 培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 能 力
输 入 标 题 名
4
标 标
称
称
称
称
情 景 导 入
如图所示，在��∆中，∠ = ，你能写出，的表达式吗？
即
1
=
2 + 2
，
，又因为点和点在同一象限，因此
和的符号相同。因此可以得到： =
同理可以得到： =
=
2 + 2
，令 =
2 + 2
2 + 2，
则 = , = ，其中是终边上的点到角的端点的距离。
0
0
1
+题型一
6
1
2
3
2
4
3
2
2
2
2
3
2
1
2
2
1
0
2
6
3
3
6
2
6
3
1
1
1
3
3
3
0 − −
−1 −
0
−
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
−1
0
1
− −
−
−
2
2
2
2
2
2
二、正弦函数、余弦函数的基本性质（第二课时）
1、正弦函数、余弦函数的基本性质（在单位圆中处理， ∈ ）
（2）已知角的终边经过点 3 − 6, + 1 ，且 > 0, ≤ 0，求实数
的取值范围
课 堂 小 结
1、掌握任意角的三角函数的定义
及一般计算方式
2、熟记常见角度的三角函数值
3、掌握三角函数的基本性质
4、掌握三角函数题型的常用解法
课 后 分 层 作 业
A组
B组
课本 练习题1，2，
例4、正弦函数、余弦函数值域（最值的应用）
（1）若代数式 42 − 1有意义，求锐角的取值范围；（求的取值范围）
（2）设集合 = = 2 − 4 + ， = = −2 + 2 ，若 ∪
= ，求的取值范围
（3）求函数 = −2 + + 1 ∈ 的最大值
（2）若角的终边过点 230 , −230 ，求的值
26
（3）点从 1,0 出发，沿单位圆按照逆时针运动 弧长到达点，求点的坐标
3
例2、由角的终边坐在直线求正弦函数值和余弦函数值
（1）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边
落在直线 = − 3上，求4 − 2 的值
为了和其他的函数形式统一，一般都用来表示自变量，用或 来表示因变量。
即：正弦函数： = , ∈ ，余弦函数： = , ∈
归纳总结：单位圆中求解任意角的三角函数值实际上就是求解角的终边与单位圆
交点的坐标。
2、一般圆中（利用角终边上）的任一点的坐标计算角的三角函数
5、7
例1
课本 练习题2，4
C组
例2
例4
点击此处输入您的汇报内容，根
据您的实际情况调整文字大小。
下
节
再
见
例5、正弦函数余弦函数周期性的应用，求下列各式的值
25
23
（1） + −
（2）810 + 720 − 360
3
6
例6、正弦函数、余弦函数单调性的应用
（1）借助单位圆，讨论函数 = 在给定区间上的单调性
4
① − ,
②− ,
6
3
6
3
（2）借助单位圆，讨论函数 = 在区间
根据前面弧度制的学习，已经将角推广到任意实数，那么对于任意角，应
该如何表示 ， 呢？需要我们进一步的深入研究任意角的三角函数？
（本部分主要是正弦函数和余弦函数）
新 知 概 念
一、任意角的正弦函数和余弦函数
1、利用单位圆定义任意角的三角函数
（1）在平面直角坐标系中，设是一个任意角， ∈ ，它的终边与单位圆交于
3
6、判断105 ∙ 230 的正负
7、已知 ∙ < 0，判断角的终边所在的象限。
典 例 剖 析
题型一 利用正弦函数和余弦函数的定义求值
例1、依据角的终边上的点的坐标求解正弦函数值和余弦函数值
（1）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点 1, 3 ，求2 + 的值
角的终边位置
轴非负半轴
轴非正半轴
轴非负半轴
0
0
1
1
−1
0
轴非负半轴
轴
轴
−1
0
±1
0
±1
0
对 点 练 习
4、已知 > 0, < 0，判断角是第几象限角。
5、判断下列角的三角函数值的正负
2
（1）110
（2）
（3）4
（4） −60
最
值
单
调
性
函数
定义域
=
=
值域
−1,1
−1,1
= 2 +
最大值
2
= 2 −
最小值
2
最小正周期2
周期性
递增区间 − + 2, + 2
2
2
3
递减区间
+ 2ห้องสมุดไป่ตู้,
+ 2
2
2
= 2
= 2 +
最小正周期2
− + 2, 2
5
5
题型三 判断正弦函数值、余弦函数值的符号
例8、给定角判断三角函数值的符号，判断角的终边所在的象限
（1）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴的非负半轴为始边，
终边经过点 1, < 0 ，则下列各式恒大于0的是（ ）
A、
B、 −
C、
D、 +
（2）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线2 + =
0 > 0 上，求2 + 的取值
题型二 正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3、正弦函数余弦函数定义域的应用
（1）求函数 = −
2
2
+ 1 − 2的定义域；
（2）求函数 = 2 − 3的定义域
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
就是点的纵坐标和横坐标都由唯一确定。由函数的定义可知，这两个对应关
系确定了两个函数。在弧度的意义下，有以下的两个函数：
任意角的正弦函数： = ， 任意角的余弦函数： = ，
2, 2 +
2、正弦函数值和余弦函数值的符号
（1）各象限内的正弦函数值和余弦函数值的符号
由三角函数的定义可知，三角函数值的符号主要取决于点的横坐标和纵坐标的
符号：
正弦函数：第一象限，第二象限，正；第三象限，第四象限，负
余弦函数：第一象限，第四象限，正；第二象限，第三象限，负
（2）终边在坐标轴上的正弦函数值和余弦函数值的符号
单位圆与任意角的三角函数
目 目
1 掌握单位圆中任意角的三角函数
输 入 标 题 名
1
2 单位圆与正弦/余弦函数的基本性质
输 入 标 题 名
2
3 掌握正弦函数值和余弦函数值的符号
输 入 标 题 名
3
4 培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 能 力
输 入 标 题 名
4
标 标
称
称
称
称
情 景 导 入
如图所示，在��∆中，∠ = ，你能写出，的表达式吗？
即
1
=
2 + 2
，
，又因为点和点在同一象限，因此
和的符号相同。因此可以得到： =
同理可以得到： =
=
2 + 2
，令 =
2 + 2
2 + 2，
则 = , = ，其中是终边上的点到角的端点的距离。
0
0
1
+题型一
6
1
2
3
2
4
3
2
2
2
2
3
2
1
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6
2
6
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1
1
3
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0 − −
−1 −
0
−
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1
1
1
3
3
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0
1
− −
−
−
2
2
2
2
2
2
二、正弦函数、余弦函数的基本性质（第二课时）
1、正弦函数、余弦函数的基本性质（在单位圆中处理， ∈ ）
（2）已知角的终边经过点 3 − 6, + 1 ，且 > 0, ≤ 0，求实数
的取值范围
课 堂 小 结
1、掌握任意角的三角函数的定义
及一般计算方式
2、熟记常见角度的三角函数值
3、掌握三角函数的基本性质
4、掌握三角函数题型的常用解法
课 后 分 层 作 业
A组
B组
课本 练习题1，2，
例4、正弦函数、余弦函数值域（最值的应用）
（1）若代数式 42 − 1有意义，求锐角的取值范围；（求的取值范围）
（2）设集合 = = 2 − 4 + ， = = −2 + 2 ，若 ∪
= ，求的取值范围
（3）求函数 = −2 + + 1 ∈ 的最大值
（2）若角的终边过点 230 , −230 ，求的值
26
（3）点从 1,0 出发，沿单位圆按照逆时针运动 弧长到达点，求点的坐标
3
例2、由角的终边坐在直线求正弦函数值和余弦函数值
（1）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边
落在直线 = − 3上，求4 − 2 的值
为了和其他的函数形式统一，一般都用来表示自变量，用或 来表示因变量。
即：正弦函数： = , ∈ ，余弦函数： = , ∈
归纳总结：单位圆中求解任意角的三角函数值实际上就是求解角的终边与单位圆
交点的坐标。
2、一般圆中（利用角终边上）的任一点的坐标计算角的三角函数
5、7
例1
课本 练习题2，4
C组
例2
例4
点击此处输入您的汇报内容，根
据您的实际情况调整文字大小。
下
节
再
见
例5、正弦函数余弦函数周期性的应用，求下列各式的值
25
23
（1） + −
（2）810 + 720 − 360
3
6
例6、正弦函数、余弦函数单调性的应用
（1）借助单位圆，讨论函数 = 在给定区间上的单调性
4
① − ,
②− ,
6
3
6
3
（2）借助单位圆，讨论函数 = 在区间
根据前面弧度制的学习，已经将角推广到任意实数，那么对于任意角，应
该如何表示 ， 呢？需要我们进一步的深入研究任意角的三角函数？
（本部分主要是正弦函数和余弦函数）
新 知 概 念
一、任意角的正弦函数和余弦函数
1、利用单位圆定义任意角的三角函数
（1）在平面直角坐标系中，设是一个任意角， ∈ ，它的终边与单位圆交于
3
6、判断105 ∙ 230 的正负
7、已知 ∙ < 0，判断角的终边所在的象限。
典 例 剖 析
题型一 利用正弦函数和余弦函数的定义求值
例1、依据角的终边上的点的坐标求解正弦函数值和余弦函数值
（1）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点 1, 3 ，求2 + 的值
角的终边位置
轴非负半轴
轴非正半轴
轴非负半轴
0
0
1
1
−1
0
轴非负半轴
轴
轴
−1
0
±1
0
±1
0
对 点 练 习
4、已知 > 0, < 0，判断角是第几象限角。
5、判断下列角的三角函数值的正负
2
（1）110
（2）
（3）4
（4） −60
最
值
单
调
性
函数
定义域
=
=
值域
−1,1
−1,1
= 2 +
最大值
2
= 2 −
最小值
2
最小正周期2
周期性
递增区间 − + 2, + 2
2
2
3
递减区间
+ 2ห้องสมุดไป่ตู้,
+ 2
2
2
= 2
= 2 +
最小正周期2
− + 2, 2
5
5
题型三 判断正弦函数值、余弦函数值的符号
例8、给定角判断三角函数值的符号，判断角的终边所在的象限
（1）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴的非负半轴为始边，
终边经过点 1, < 0 ，则下列各式恒大于0的是（ ）
A、
B、 −
C、
D、 +
（2）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线2 + =
0 > 0 上，求2 + 的取值
题型二 正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3、正弦函数余弦函数定义域的应用
（1）求函数 = −
2
2
+ 1 − 2的定义域；
（2）求函数 = 2 − 3的定义域