第一节 解线性方程组的消元法

其中 xr 1 , xr 2 ,, xn 在相应数域上可任意取值， 称为自由未知量，以下我们在实数域R上讨论，任意 给定自由未知量一组值：xr 1 k1 , xr 2 k 2 ,, xn k nr 代人可求得 x1 , x2 ,, xr 的相应值，把这两组数合 并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组 （3.1）有无穷多个解，其一般解为
（3.2）
同解，且其解有三种情形： 情形1，当 d r 1 0，即r ( A) r ( A)时，方程组（3.1）无解. 情形2，当 d r 1 0, r n ，即 r ( A) r ( A) r n 时， 方程组（3.1）有唯一解 x (d1 , d 2 ,, d n )T 11
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分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficient matrix)、 未知量矩阵和常数项矩阵. β O (0,0,,0)T 时，称 Ax O 为n元齐次线性方程组； 当 当 β O时，称 Ax β 为n元非齐次线性方程组. 并称
a11 a21 A (A,β) am 1 a12 a22 a1 n a2 n b1 b2 bm
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a11 x1 a12 x 2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0
(3wenku.baidu.com3)
即 Ax O ，显然有 r ( A) r ( A ) ，由定理3.1可得下述定理. 定理3.2 （1）n 元齐次线性方程组 Ax O 只有零解 的充要条件是它的系数矩阵 A 的秩 r ( A) n . （2）n元齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充要条 件是它的系数矩阵 A 的秩 r ( A) n. 推论3.2 （1）n 个方程的n元齐次线性方程组 Ax O 只有零解的充要条件是它的系数行列式 A 0. （2）n个方程的n元齐次线性方程组 Ax O 有非零 解的充要条件是它的系数行列式 A 0 . 15
或
x1 d1 xr d r xr 1 xn c1r !k1 crr 1k1 k1 kn r c1n kn r c1n kn r
(k1 ,, k nr R)
综上所述，我们可得以下重要定理.
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x1 d1 c1r 1 xr 1 c1n xn x d c x c x 2 2 2r 1 r 1 2n n （xr 1 , xr 2 ,, xn为自由未知量） xr d r crr 1 xr 1 crn xn
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定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 Ax β 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增 广矩阵 A ( A, β ) 等秩，即 r ( A) r ( A) r ( A, β ) 推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 Ax β 有唯一解的充要条件是 r (A) r (A,β) n . （2）n元线性方程组 Ax β 有无穷多解的充要条 件是 r (A) r (A,β) r n . 此时它的一般解中含 n r 个自由未知量. （3）n元线性方程组 Ax β 无解的充要条件 是 r ( A) r ( A, β ) . 由于上述讨论并未涉及常数项 b1 , b2 ,, bm 的 取值，因此对 b1 b2 bm 0 时的n元齐次线性 方程组
(8) ( 4) (9 )
x1
(8) (9) (4) (9)
9 x2 x3 1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6 7
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式： 8
r1 r2 r3 4 r2 1 r1 2 1 r3 3
1 0 0 9 r2 r3 0 1 0 1 0 0 1 6
r1 r3
所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6 即
x (9,1,6)T
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一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 1 0 0 c1r 1 c1n d1 0 1 0 c 2 r 1 cn d 2 0 0 1 c rr 1 c rn d r A 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩分别为
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例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 (1) 2 x 3 6 ( 2) 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 (3) 2 3 1 2 x1 x2 3 x3 1 ( 2) (1) ( 3) 2(1) x2 x3 5 解 原方程组 4 x2 x3 2
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§3.1
消元法
第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解 问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
2 1 3 1 r2 r1 2 1 3 1 r3 2r1 A 2 0 2 6 0 1 1 5 4 2 5 4 0 4 1 2
6 3 2 0 2 1 0 1 0 1 1 5 0 1 1 5 0 0 3 18 0 0 1 6
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r ( A) r
与
， r , 当d r 1 0时 r( A) r 1, 当d r 1 0时.
由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的 同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组
x1 c1r 1 xr 1 x2 xr c2 r 1 x r 1 crr 1 xr 1 crn xn 0 dr d r 1 c1n xn c2 n x n d1 d2
由于上述讨论并未涉及常数项的取值因此对元齐次线性方程组13推论方程组一定有解推论仅有零解唯一解推论存在非零解无穷多解14若n元齐次线性方程组中方程个数m小于未知量个数n则它必有非零解
第三章
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线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
情形3，当 d r 1 0, r n ，即 r ( A) r ( A) r n 时， 方程组（3.2）可变成
x1 d 1 c1r 1 x r 1 c1n x n x d c x c x 2 2 2 r 1 r 1 2n n x r d r c rr 1 x r 1 c rn x n
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有 一 r ( A) r ( Aβ ) n， 唯 解 有 穷 解 Ax β r ( A) r ( Aβ ) n， 无 多 解 判 的 定 r ( A) r ( Aβ )， 解 无 只 零 r ( A) n， 有 解 Ax O 有 零 r ( A) n， 非 解 解 法 消 法 ( Aβ ) 阶 阵 得 解 程 梯 ， 同 方 组 线性方程组求 方 ： 元 性 示 线 组 线 表 、 性 合 向 线 相 、 性 关 量 性 关 线 无 极 线 无 组 解 关 的 系 大 性 关 础 系 基 解 解 结 的 构 解 通
（3.1）
写成矩阵形式为 其中
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2
Ax β
a1n a2n am n
x1 b1 x2 b2 x , β x b n m
2 x1
(1) (4) (5) 4(4)
(1) ( 4) (5)
3 5 6
x2
2 x 3 6 ( 6) x3 5 ( 4) 3 x3 18 (7 )
x1
1 (6) 2 1 (7) 3
x2
x3 x3 x3
am 2 amn
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn可以使（3.1）中的每个等式都 x (c1 , c2 ,, cn )T 为线性方程组（3.1）的一个 成立，则称 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
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集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子.