2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题(2013年江苏省高考数学)

2013年普通高等学校招生全国统一考试
江苏卷数学试题 数学Ⅰ试题
参考公式：
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1
n (x i ﹣x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1
n
x i .棱锥的体积公式：V ＝1
3Sh ，其中S 是锥体
的底面积，h 为高.棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．
1.函数y ＝3sin (2x ＋π
4)的最小正周期为__________. 答案：π
解析：函数y ＝3sin (2x ＋π
4)的最小正周期T ＝2π
2＝π.
2.设z ＝(2﹣i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________.
答案：5
解析：|z|＝|(2﹣i)2|＝|4﹣4i ＋i 2|＝|3﹣4i |＝√32＋(﹣4)2＝5.
3.双曲线x 216−y 2
9＝1
的两条渐近线的方程为__________.
答案：y ＝±3x
解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34
x.
4.集合{﹣1，0，1}共有__________个子集. 答案：8
解析：由于集合{﹣1，0，1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5.下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________.
答案：3
解析：第一次循环后：a ←8，n ←2;
第二次循环后：a ←26，n ←3; 由于26>20，跳出循环， 输出n ＝3.
6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________. 答案：2
解析：由题中数据可得x 甲＝90，x 乙＝90.
于是s 甲2＝15[(87﹣90)2＋(91﹣90)2＋(90﹣90)2＋(89﹣90)2＋(93﹣90)2]＝4，s 乙2
＝1
5[(89﹣90)2＋(90﹣90)2
＋(91﹣90)2＋(88﹣90)2＋(92﹣90)2]＝2，
由s 甲2>s 乙2，可知乙运动员成绩稳定.故应填2.
7.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________. 答案：20
63
解析：由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7;n 的可能取值为1，2，3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况;同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种.若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5＝20种.故所求概率为2063
.
8.如图，在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.
答案：1∶24
解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S ∶ADE ∶S ∶ABC ＝1∶4.
因此
V 1∶V 2＝1
3AF ·S △AED
2AF ·S △ABC
＝1∶24. 9.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ，y )是区
域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________. 答案：[﹣2，1
2]
解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ﹣1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：
当直线x ＋2y ＝0平移到过点A (12，0)时，x ＋2y 取得最大值12
. 当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，﹣1)时，x ＋2y 取得最小值﹣2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为[﹣2，1
2].
10.设D ，E 分别是∶ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝1
2AB ，BE ＝2
3BC ．若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________. 答案：1
2
解析：
由题意作图如图.∶在∶ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23
(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝﹣16
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∶λ1＝﹣16，λ2＝2
3
. 故λ1＋λ2＝1
2.
11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f (x )＝x 2﹣4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为
__________.
答案：(﹣5，0)∶(5，＋∞)
解析：∶函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2﹣4x ，则f(x)＝{
x 2﹣4x ，x >0，
0，x ＝0，
﹣x 2﹣4x ，x <0，
∴∶原不等式等价于
{
x >0，x 2
﹣4x >x ，
或{
x <0，
﹣x 2
﹣4x >x .
由此可解得x>5或﹣5<x<0. 故应填(﹣5，0)∶(5，＋∞). 12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C
的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>0，b>0)，右焦点为
F ，右准线为l ，短轴
的一个端点为B ．设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝√6d 1，则椭圆C 的离心率为__________. 答案：√3
3
解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为x
c ＋y
b ＝1，即bx ＋cy ﹣b
c ＝0.于是可知
d 1＝
√b ＋c 2
bc a ，d 2＝a 2c ﹣c ＝a 2﹣c 2c ＝b 2
c . ∶
d 2＝√6d 1，∶b 2c ＝√6bc
a ，即
ab ＝√6c 2.
∶a2(a2﹣c2)＝6c4.∶6e4＋e2﹣1＝0.∶e2＝1
3
.
∶e＝√3
3
.
13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1
x
(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为__________.
答案：﹣1，√10
解析：设P点的坐标为(x，1
x )，则|PA|2＝(x﹣a)2＋(1
x
﹣a)
2
＝(x2＋1
x2
)﹣2a(x＋1
x
)＋2a2.令t＝x＋1
x
≥2，则
|PA|2＝t2﹣2at＋2a2﹣2＝(t﹣a)2＋a2﹣2(t≥2).
结合题意可知
(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值.此时(2﹣a)2＋a2﹣2＝8，解得a＝﹣1，a＝3(舍去).
(2)当a>2，t＝a时，|PA|2取得最小值.此时a2﹣2＝8，解得a＝√10，a＝﹣√10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为√10，﹣1.
14.在正项等比数列{a n}中，a5＝1
2
，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为__________.
答案：12
解析：设正项等比数列{a n}的公比为q，则由a5＝1
2
，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是a n＝2n﹣6，
则a1＋a2＋…＋a n＝1
32(1﹣2
n)
1﹣2
＝2n﹣5﹣1
32
.
∶a5＝1
2
，q＝2，
∶a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a62＝1.
∶a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27﹣1
32
>a1a2…a11a12＝a12＝26成立;当n取13时，a1＋a2
＋…＋a13＝28﹣1
32
∴<a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n>13时，随着n增大a1＋a2＋…＋a n将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a﹣b|＝√2，求证：a∶b;
(2)设c＝(0，1)，若a﹣b＝c，求α，β的值.
(1)证明：由题意得|a﹣b|2＝2，即(a﹣b)2＝a2﹣2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2﹣2a·b＝2，即a·b＝0.
故a∶B．
(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以{cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，
由此得cos α＝cos (π﹣β).由0<β<π，得0<π﹣β<π，又0<α<π，故α＝π﹣β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝1
2，而α>β，所以α＝5π
6，β＝π
6.
16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SAB∶平面SBC ，AB∶BC ，AS ＝AB ．过A 作AF∶SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.
求证：(1)平面EFG∶平面ABC; (2)BC∶SA ．
证明：(1)因为AS ＝AB ，AF∶SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点，所以EF∶AB ．
因为EF∶平面ABC ，AB∶平面ABC ， 所以EF∶平面ABC ．
同理EG∶平面ABC ．又EF∩EG ＝E ， 所以平面EFG∶平面ABC ．
(2)因为平面SAB∶平面SBC ，且交线为SB ，又AF∶平面SAB ，AF∶SB ，所以AF∶平面SBC ．因为BC∶平面SBC ，所以AF∶BC ．
又因为AB∶BC ，AF∩AB ＝A ，AF ，AB∶平面SAB ，所以BC∶平面SAB ． 因为SA∶平面SAB ，所以BC∶SA ． 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x ﹣4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.
设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
由题意，
√k ＋1
＝1，解得k ＝0或﹣3
4，
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y ﹣12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x ﹣4上，所以圆C 的方程为(x ﹣a)2＋[y ﹣2(a ﹣2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，
所以√x 2＋(y ﹣3)2＝2√x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y ﹣3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，﹣1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤CD≤2＋1，
即1≤√a 2＋(2a ﹣3)2≤3. 由5a 2﹣12a ＋8≥0，得a ∶R ;
由5a 2﹣12a≤0，得0≤a≤12
5
.
所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125
]. 18.(本小题满分16分)
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝12
13
，cos C ＝35
.
(1)求索道AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 解：(1)在∶ABC 中，因为cos A ＝12
13，cos C ＝3
5，所以sin A ＝5
13，sin C ＝4
5.
从而sin B ＝sin [π﹣(A ＋C)]＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝63
65
. 由正弦定理
AB sinC ＝AC
sinB
，得AB ＝
AC sinB
×sin C ＝1260
6365
×45
＝1040(m ).
所以索道AB 的长为1040m .
(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2﹣2×130t×(100＋50t)×1213
＝200(37t 2﹣70t ＋50)， 因0≤t≤1040
130，即0≤t≤8，故当t ＝35
37(min )时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BC
sinA ＝AC
sinB ，得BC ＝AC
sinB ×sin A ＝
12606365
×5
13＝500(m ).
乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m )，还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得﹣3≤
500v −71050≤3，解得125043≤v≤625
14
，所以为使两位游客在C 处互
相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[
125043，625
14
](单位：m/min )范围内. 19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和.记b n ＝nS n
n 2＋c
，n ∶N *，
其中c 为实数.
(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∶N *); (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明：由题设，S n ＝na ＋
n (n ﹣1)
2
D ． (1)由c ＝0，得b n ＝S
n
n ＝a ＋
n ﹣1
2
D ．又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，
即(a ＋d 2)2＝a (a ＋3
2d)，化简得d 2﹣2ad ＝0.因为
d≠0，所以d ＝2A ．
因此，对于所有的m ∶N *，有S m ＝m 2A ．
从而对于所有的k ，n ∶N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，即
nS n n 2＋c ＝b 1＋(n ﹣1)d 1，n ∶N *，代入S n 的表达式，整
理得，对于所有的n ∶N *，有(d 1﹣1
2d)n 3＋(b 1﹣d 1﹣a ＋1
2d)n 2＋cd 1n ＝c (d 1﹣b 1).
令A ＝d 1﹣12d ，B ＝b 1﹣d 1﹣a ＋12
d ，D ＝c (d 1﹣b 1)，则对于所有的n ∶N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D ．(*) 在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有{7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1
＝0，①②③
由②，③得A ＝0，cd 1＝﹣5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1﹣12
d ＝0，b 1﹣d 1﹣a ＋12
d ＝0，cd 1＝0.
若d 1＝0，则由d 1﹣1
2d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.
又因为cd 1＝0，所以c ＝0.
20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x ﹣ax ，g (x )＝e x ﹣ax ，其中a 为实数.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围; (2)若g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论. 解：(1)令f'(x)＝1x
﹣a ＝
1﹣ax
x <0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a ﹣1，即f(x)在(a ﹣
1，
＋∞)上是单调减函数.同理，f(x)在(0，a ﹣
1)上是单调增函数.由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋
∞)∶(a ﹣1，＋∞)，从而a ﹣
1≤1，即a≥1.令g'(x)＝e x ﹣a ＝0，得x ＝ln A ．当x<ln a 时，g'(x )<0;当x>ln a 时，g'(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e .
综上，有a∶(e ，＋∞).
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数;当a>0时，令g'(x)＝e x ﹣a>0，解得a<e x ，即x>ln A ．
因为g(x)在(﹣1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤﹣1，即0<a≤e ﹣
1.
结合上述两种情况，有a≤e ﹣
1.
①当a ＝0时，由f(1)＝0以及f'(x)＝1
x >0，得f(x)存在唯一的零点;
②当a<0时，由于f(e a )＝a ﹣a e a ＝a(1﹣e a )<0，f(1)＝﹣a>0，且函数f(x)在[e a ，1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a ，1)上存在零点.
另外，当x>0时，f'(x)＝1
x ﹣a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点. ③当0<a≤e ﹣1
时，令f'(x)＝1
x ﹣a ＝0，解得x ＝a ﹣
1.当0<x<a
﹣1
时，f'(x)>0，当x>a
﹣1
时，f'(x)<0，所以，
x ＝a
﹣1
是f(x)的最大值点，且最大值为f(a ﹣
1)＝﹣ln a ﹣1.
当﹣ln a ﹣1＝0，即a ＝e ﹣
1时，f(x)有一个零点x ＝e .
当﹣ln a ﹣1>0，即0<a<e ﹣
1时，f(x)有两个零点.
实际上，对于0<a<e ﹣1，由于f(e ﹣1)＝﹣1﹣a e ﹣1<0，f(a ﹣1)>0，且函数f(x)在[e ﹣1，a ﹣
1]上的图象不间断，
所以f(x)在(e ﹣1，a ﹣
1)上存在零点.
另外，当x∶(0，a﹣1)时，f'(x)＝1
x
﹣a>0，故f(x)在(0，a﹣1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a﹣1)上只有
一个零点.
下面考虑f(x)在(a﹣1，＋∞)上的情况.先证f(e a﹣1)＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0.
为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x﹣x2，则h'(x)＝e x﹣2x，再设l(x)＝h'(x)＝e x﹣2x，则l'(x)＝e x﹣2.
当x>1时，l'(x)＝e x﹣2>e﹣2>0，所以l(x)＝h'(x)在(1，＋∞)上是单调增函数.故当x>2时，h'(x)＝e x﹣2x>h'(2)＝e2﹣4>0，
从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，
h(x)＝e x﹣x2>h(e)＝e e﹣e2>0.即当x>e时，e x>x2.
当0<a<e﹣1，即a﹣1>e时，f(e a﹣1)＝a﹣1﹣a e a﹣1＝a(a﹣2﹣e a﹣1)<0，又f(a﹣1)>0，且函数f(x)在[a﹣1，e a﹣1]上
的图象不间断，所以f(x)在(a﹣1，e a﹣1)上存在零点.又当x>a﹣1时，f'(x)＝1
x
﹣a<0，故f(x)在(a﹣1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a﹣1，＋∞)上只有一个零点.
综合①，②，③，当a≤0或a＝e﹣1时，f(x)的零点个数为1，
当0<a<e﹣1时，f(x)的零点个数为2.
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.A．[选修4﹣1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC．
求证：AC＝2AD．
证明：连结OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∶ADO＝∶ACB＝90°.
又因为∶A＝∶A，所以Rt∶ADO∶Rt∶ACB．
所以BC
OD ＝AC
AD
.
又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD．
B．[选修4﹣2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝[﹣10
02
]，B＝[
12
06
]，求矩阵A﹣1B．
解：设矩阵A的逆矩阵为[a b
c d
]，则[
﹣10
02
][
a b
c d
]＝[
10
01
]，即[
﹣a﹣b
2c2d
]＝[
10
01
]，
故a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0，d ＝1，从而A 的逆矩阵为A ﹣
1＝[﹣1 0 0
12
]，
所以A ﹣1
B ＝[﹣1 0 0 1
2
][1 20 6]＝[﹣1﹣2
0 3]. C ．[选修4﹣4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x ＝2tan 2θ，
y ＝2tanθ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标. 解：因为直线l 的参数方程为{
x ＝t ＋1，
y ＝2t
(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x ﹣1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普
通方程为2x ﹣y ﹣2＝0.
同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.
联立方程组{y ＝2(x ﹣1)，y 2＝2x ，
解得公共点的坐标为(2，2)，(1
2，﹣1).
D ．[选修4﹣5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b>0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ． 证明：2a 3﹣b 3﹣(2ab 2﹣a 2b)＝2a(a 2﹣b 2)＋b(a 2﹣b 2)＝(a 2﹣b 2)(2a ＋b)＝(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b).
因为a≥b>0，所以a ﹣b≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0， 从而(a ﹣b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2B ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB∶AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.
(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;
(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.
解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，
所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，﹣4)，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，﹣1，﹣4).
因为cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >＝A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
＝
√20×√18
3√1010，
所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为
3√10
10
. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，1，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，4)，所以n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n 1·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝﹣2，所以，n 1＝(2，﹣2，1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝|
n 1·n 2|n 1||n 2||√9×√1
2
3，得sin θ＝√5
3
.
因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为√5
.
23.(本小题满分10分)设数列{a n }：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，(﹣1)k ﹣1k ，…，(﹣1)k ﹣1k ⏞
k 个
，…，即当
(k ﹣1)k 2<n ≤k (k ＋1)2
(k ∶N *)时，a n
＝(﹣1)k ﹣1k.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∶N *).对于l ∶N *，定义集合P l ＝{n|S n
是a n 的整数倍，n ∶N *，且1≤n ≤l }.
(1)求集合P 11中元素的个数; (2)求集合P 2000中元素的个数.
解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝﹣2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝﹣4，a 8＝﹣4，a 9＝﹣4，a 10＝﹣4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝﹣1，S 3＝﹣3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝﹣2，S 9＝﹣6，S 10＝﹣10，S 11＝﹣5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝﹣a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.
(2)先证：S i (2i ＋1)＝﹣i (2i ＋1)(i ∶N *).
事实上，①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝﹣3，﹣i(2i ＋1)＝﹣3，故原等式成立;
②假设i ＝m 时成立，即S m(2m ＋1)＝﹣m(2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2﹣(2m ＋2)2＝﹣m(2m ＋1)﹣4m ﹣3＝﹣(2m 2＋5m ＋3)＝﹣(m ＋1)(2m ＋3).
综合①②可得S i(2i ＋1)＝﹣i(2i ＋1).于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝﹣i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1).
由上可知S i(2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i(2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i(2i ＋1)＋j ＝S i(2i ＋1)＋j(2i ＋1)是a i(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数.又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝﹣(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)﹣j(2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)﹣j(2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋
1)＋j (j ＝1，
2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i(2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i ﹣1)＝i 2，于是，当l ＝i(2i ＋1)＋j(1≤j≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j.
又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2000中元素的个数为312＋47＝1008.。