第二章 随机变量及其分布 概率论与数理统计 教学课件

此试验的样本空间为 S{H,T}，其中 H表示出现正
面，T 表示反面。在试验前，X 将取什么值是不确定的， 一旦有了试验结果后 X 的值就完全确定，即
X (H ) 1 ,X ( T ) 0 故随机变量由试验结果确定，因而其取值是随机的
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例2.2 将一颗均匀骰子掷一次，观察出现的点 数．此处观察对象有一个明显的量化指标，即 观察出现的点数．我们记之为X ，则X 的可能 值为：1，2，3，4，5，6
0
.75,
0 x 1, 1 x 2,
1, x 2.
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2.2.2 常用离散型分布
1. (0-1)分布
设随机变量X只可能取0与1这两个值，它的分布 律是：
P { X k } p k ( 1 p ) 1 k , k 0 , 1( 0 p 1 )
则称X 服从(0-1)分布或两点分布． (0-1)分布的分布律也可以写为
x k x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x k x
这里和式是对所有满足 xk x 的k求和。
反之，若已知离散型随即变量X的分布函数F(x),
则其分布律为：
p 1 F ( x 1 ) , p k F ( x k ) F ( x k 1 ) , k 1
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例2.4 设离散型随机变量 X的分布律如下，求a的值。
20142014年年22月月1414日星期五日星期五分布函数概率密度常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布或高斯分布指数分布标准正态分布20142014年年22月月1414日星期五日星期五2424随机变量函数的分布随机变量函数的分布242连续型随机变量函数的分布243小结241离散型随机变量函数的分布20142014年年22月月1414日星期五日星期五2014年2月14日241离散型随机变量函数的分布记作的函数变量为随机则称随机变量取值随着若随机变量的集合上的函数的一切可能值是定义在随机变量的分布分布求得随机变量20142014年年22月月1414日星期五日星期五的分布律为也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果合并应将相应的中有值相同的20142014年年22月月1414日星期五日星期五20142014年年22月月1414日星期五日星期五242连续型随机变量的函数的分布的密度函数求导得到的概率密度求随机变量其他的概率密度为设随机变量20142014年年22月月1414日星期五日星期五第一步先求y2x8的分布函数第二步由分布函数求概率密度
分布律也可以用表格的形式来表示
X 概率
x 1 x 2 p 1 p 2
x k p k
离散型随机变量 X 的分布律具有以下性质：
( 1 )p k 0 ,k 1 ,2 , ;
(2) pk 1. k1
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(3) 离散型随机变量的分布律与分布函数的关系：
离散型随即变量X的分布函数
F ( x ) P { X x } P { X x k } p k
保证P(A) = p在各次试验中保持不变；“独立”是
指各次试验的结果互不影响。
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Jacob (Jacques) Bernoulli
Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland
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2.1.2 随机变量的分布函数
1.分布函数的定义
定义2.2 设 X 是一个随机变量，x是任意实数，
函数 F（x）=P {X≤ x}
称为 X 的分布函数 对于任意实数 x1,x2(x1x2)
P { x 1 X x 2 } P { X x 2 } P { X x 1 } F (x 2)F (x 1)
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若以X表示n重伯努利试验中事件发生的次数，则X是一 个随机变量，其所有可能取值为0，1，2，…，n．由于 各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的k (0≤ k ≤ n)次试验中发生，在其它n-k次试验中A不发生(例如在 前k次试验中发生，而后n-k次试验中不发生)的概率为
p p p ( 1 p )( 1 p ) ( 1 p ) p k ( 1 p )n k
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定义说明
(1) 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本 质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变 量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定 是实数).
(2) 随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变 量这个范围更广的概念之内.或者说,随机事件是从 静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态 的观点来研究随机现象.
分布函数完整的描述了随机变量的统计特性。
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2.分布函数的性质
( 1 ) F ( x 1 ) F ( x 2 ) ,( x 1 x 2 ) ; 即 F ( x )是一个不减函数 证明 由x1x2 {Xx1}{Xx2}, 得 P { X x 1 } P { X x 2 },
综合起来， F(x)的表达式为：
0,
F
(
x)
0 .2 5 ,
0.75,
1,
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x 1, 1 x 2, 2 x 3,
x 3.
分布函数F(x)的图像如下：
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2.1.3、小 结
1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的， 因此为了方便有力的研究随机现象， 就需将随机事件 数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时 ， 就建立起了随机变量的概念。 因此随机变量是定 义在样本空间上的一种特殊函数。 2.分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概 率情况，它完整描述了随机变量的统计特性。
实验．又如，从废品律为p、个数为N的一大批产品
中随机抽检其是否为废品，共抽n个．若是放回抽 样，每个产品有同等机会被抽出，则这n个产品所 含废品数X就服从二项分布b (n, p) ．反之，若每次 抽取不放回，则X就不再服从二项分布；
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但是当N远远大于n时，即使不放回，对废品率的影 响也极小，这时仍可近似地作为二项分布来处理。 例2.6 某人购买彩票，设每次买一张，中奖率为 0.01，共买500次，试求他至少中奖两次的概率． 解 将每次购买彩票看成是一次试验，设中奖的次
( 3 ) x l i m x 0 F ( x ) F ( x 0 ) ,( x 0 ) .
即分布函数是右连续的
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例2.3 设一个箱子中有依次标有-1，2，2，3数字 的4个乒乓球，从中任取一个乒乓球．记随机变量X 为取得的乒乓球上标有的数字,求X的分布函数，并 分别求 P { X 0 . 5 } , P { 1 . 5 X 2 . 5 } , P { 2 X 3 } 解 可能取的值为-1，2，3，由古典概率的计算公 式，可知取这些值的概率依次为0.25,0.5,0.25 . 当x < -1时
得A在 n k 个 次试验 n k 个 k中 次发 的生 方式 n 种共 , 有 k
且两两互不相容.
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因A 此 在 n次试验k次 中的 发概 生率为
n pk(1 p)nk 记q1p n pkqnk
k
k
即 P {Xk}n kpkqnk, k0,1,2, ,n.
则我们称随即变量 X 服从参数为n，p的二项分布，
在例2.1、例2.2中X 是一个实数，它的值依 赖于样本点，因而 X 是一个函数，它的定义域
是样本空间S 。我们有以下关于随机变量的 定义．
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定义2.1
设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X (e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数，对于任
何实数 x ，集合{e| X (e ) x }有确定的概率，称 X=X (e)为随机变量.
X0
1
概率 1-p
p
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2. 伯努利试验、二项分布
设E试 只验 有两个可 :A及 能 A,则 结称 E 果 为伯努.利试验 P设 (A)p(0p1)此 , P 时 (A)1p. E独 将立地重n复 次 ,则 地称 进这 行一 复的独立 n重 试伯 验努 为 .利试验
这里“重复”是指每次试验的条件相同，从而
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上例中的概率很接近于1．我们讨论这一结果的实 际意义．虽然每次彩票的中奖率很小（为0.01），但 若购买500次，则中奖至少两次是几乎可以肯定的． 这一事实说明，一个事件尽管在一次试验中发生的概 率很小，但只要试验次数很多，而且试验是独立地进 行的，那么这一事件的发生几乎是肯定的．这也告诉
数为X ，则X～b(500, 0.01)， X的分布律为
于是所求P 概{X 率 为k } 5 k 0 0 (0 .0 1 )k (0 .9 9 )5 0 0 k ,k 0 ,1 , ,5 0 0
P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 } 1 ( 0 . 9 9 ) 5 0 0 5 0 0 ( 0 . 0 1 ) ( 0 . 9 9 ) 4 9 9 0 . 9 6
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1.分布律的定义
定义2.3 设离散型随机变量 X 所有可能的取值为 x k(k 1 ,2 , )，X 取各个可能值得概率，即事件 {X xk} 的概率，为．
P { X x k } p k , k 1 , 2 , 称此为离散型随机变量 X 的分布律。
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又 F (x 1 ) P { X x 1 }F ,(x 2 ) P {X x 2 }, 故 F (x 1)F (x 2).
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( 2 ) 0 F ( x ) 1 ,x ( , ) ;且有 F ( )lim F (x ) 0 ,
x
F ( )lim F (x ) 1 ; x
当1≤ x < 2时，{X≤ x}等同于{X = 0或X = 1}，
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因此 F(x)= P {X= 0}+ P {X= 1}= 0.5+0.25=0.75 当2≤ x时 {X≤ x}是必然事件，因此 F(x)=1。 综合起来， F(x)的表达式为：
0, x 0,
F
(
x)
0.5,
记为X～b (n, p)。当n=1时二项分布化为
P { X k } p k q 1 k , k 0 ,1
这就是(0-1)分布
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二项分布的实际背景是n重伯努利试验，它是一 种很重要的数学模型，有广泛的应用，是研究最多
的模型之一．现实生活中有许多现象程度不同地符 合模型条件，而不一定分厘不差．例如，E是抛一 枚硬币观察得到正面或反面．A表示得正面，这是 一个伯努利试验．如将硬币抛n次，就是n重伯努利
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§2.1 随机变量及其分布 §2.2 离散型随机变量及其分布律 §2.3连续型随机变量及其密度函数 §2.4 随机变量函数的分布
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例2.1 将一枚均匀硬币抛一次，观察出现正反面的情况
．为此可引进如下的量化指标记之为 X X 10,,出 出现 现正 反面 面;．
我们一般以大写的字母如 X, Y, Z表示随机变量，
而以小写字母x, y, z ,表示实数．
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在例2.2中,我们关心下列事件: B ={掷出的点数为5}, C ={掷出的点数不超过4}, D ={掷出的点数大于3}
则 B, C, D 可分别用随机变量 X 表示为:
B {e | X (e) 5}, C {e | X (e) 4}, D {e | X (e) 3}
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2.2.1 离散型随机变量的分布律
有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值 是有限多个或可数多个，这种随机变量称为离散型随 机变量，它的分布称为离散型分布．如例2.3中的随 机变量，它只可能取-1，2，3这三个值，它是一个离 散型随机变量．又如某城市的110报警电话台一昼夜 收到的呼唤次数也是离散型随机变量．本节只讨论离 散型随机变量．
{X≤ x}是不可能事件，因此 F(x)= 0 当-1≤ x < 2时
{X≤ x}等同于{X= -1}，因此 F(x)= 0.25
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当2≤ x < 3时
{X≤ x} 等同于{X = -1或X = 2}，
因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75
当3≤ x时
{X≤ x}是必然事件，因此 F(x)= 1。
P {X x k}k a ! (k 1 ,2 , ,n , )
解：由归一性，我们有
k 1
a k!
1
，而
k 1k a !ak 1k 1 !a k 0k 1 ! 1 a (e 1 )
则有等式a( e-1)=1, 解得 a =1/(e -1)
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例2.5 设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过两组 信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车 通．以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的 组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求 X 的分 布律与分布函数． 解 以 p 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知 X 的分布律为
X 概率
0
1
2
p (1 p )p (1 p )2
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将p=1/2代入表格，我们有
X
0
1
概率 0.5 0.25 下面求X的分布函数F(x)
2 0.25
当x<0时，{X≤ x}是不可能事件，因此 F(x)= 0
当0≤ x < 1时，{X≤ x}等同于{X= 0}，因此
F(x)=P{X= 0} =0.5