新教材苏教版高中数学必修第二册第12章复数 课时练习题及章末综合测验含答案解析

第12章 复数
12.1 复数的概念 .......................................................................................................... - 1 - 12.2 第1课时 复数的加减与乘法运算 ................................................................... - 5 - 12.2 第2课时 复数的乘方与除法 ........................................................................... - 9 - 12.3 复数的几何意义................................................................................................. - 13 - 12.4 复数的三角形式*............................................................................................... - 18 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -
12.1 复数的概念
一、选择题
1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )
A ．2，1
B ．2，5
C ．±2，5
D ．±2，1
C [令⎩⎨⎧
a 2＝2，
－2＋b ＝3，
得a ＝±2，b ＝5．]
2．如果C ，R ，I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，则( ) A ．C ＝R ∪I B ．R ∪I ＝{0} C ．R ＝C ∩I
D ．R ∩I ＝∅
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R ∩I ＝∅，故选D ．]
3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i
D ．2＋2i
A [3i －2的虚部为3，3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A ．] 4．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i
B [由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i ．]
5．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．]
二、填空题
6．复数3＋i
i 2(i 为虚数单位)的实部等于________． －3 [3＋i i 2＝3＋i －1
＝－3－i ，其实部为－3．]
7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值为________． －2 [⎩⎨⎧
log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2
(x 2
－3x －2)>1，∴x ＝－2．] 8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．
－2 [复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎨⎧
m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解
得⎩⎨⎧
m ＝1或m ＝－2，
m ≠±
1，即m ＝－2．
故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数．] 三、解答题
9．已知m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)写出复数z 的代数形式；
(2)当m 为何值时，z ＝0？当m 为何值时，z 是纯虚数？ [解] (1)复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)
＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ． (2)若z ＝0，则⎩⎨⎧
m 2－3m ＋2＝0，
2m 2－3m －2＝0，
解得m ＝2．
若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧
m 2－3m ＋2≠0，
2m 2－3m －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ≠2且m ≠1，m ＝2或m ＝－1
2，
即m ＝－12．
10．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值． [解] 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0．
由两个复数相等的充要条件得⎩⎨⎧
x 2
＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.
解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧
x 0＝－2，k ＝2 2.
∴实数k 的值为±22．
11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是( ) A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1 B ．(a 2＋1)i(a ∈R )是纯虚数
C ．若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0
D ．当m ＝4时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数
BD [取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；∀a ∈R ，
a 2＋1>0恒成立，所以(a 2＋1)i 是纯虚数，故B 正确；取z 1＝i ，z 2＝1，则z 21＋z 22＝
0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错误；复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数等价于⎩⎨⎧
lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，
解得m ＝4，故D 正确．故选BD ．]
12．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i
B [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0， 即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0． 所以⎩⎨⎧
n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，
解得⎩⎨⎧
m ＝3，n ＝－1.
所以z ＝3－i ．]
13．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－916，7 [由复数相等的充要条件可得 ⎩
⎨⎧
m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2
θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin θ－382
－916，因为sin θ∈[－1，1]，
所以λ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－916，7．]
14．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则cos θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
θ－π4＝________．
－4
5 －7 [∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ－35＝0，cos θ－4
5≠0，
∴sin θ＝35且cos θ≠45，
∴cos θ＝－4
5． ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3
4． ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ
＝
－3
4－1
1－34
＝－7．]
15．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．
[解] 由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，
当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2． 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2． ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.
12.2 第1课时 复数的加减与乘法运算
一、选择题
1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75 B ．－115 C ．－18
5 D ．5
B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ， 所以⎩⎨⎧
－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，
解得a ＝75，b ＝－18
5， 故有a ＋b ＝－11
5.]
2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]
3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
D [由题意知a －i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝1，∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.] 4．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D.3
A [z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.]
5．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－3
2i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.1
4
C [由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
322
－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因
为z 2＝12－3
2i ，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
34－a 2＝12，－3a ＝－3
2，
解得a ＝1
2.]
二、填空题
6．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. －1＋10i [∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2且y ＝8，
∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.]
7．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________． －2 [∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )， ∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.
∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.]
8．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. －i [∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.] 三、解答题
9．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32＋12i (1＋i)． [解] (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋34i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＋12i (1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12 ＝－
1＋32＋1－32i.
10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数．
[解] z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得 (1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， ∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎨⎧
a ＝－3，
b ＝4， 则b ＋a i ＝4－3i ，
则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.
11．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )
A ．－1＋i
B ．1－i
C ．i
D ．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.] 12．(多选题)若复数z ＝(3－2i)i ，则下列说法正确的有( ) A ．z 的实部是2
B ．z 的共轭复数z ＝2－3i
C ．z ＋z ＝6i
D ．z ·z ＝13
ABD [∵z ＝(3－2i)i ＝3i ＋2， ∴z ＝2－3i ，
∴z ＋z ＝4，z ·z ＝13，故ABD 均正确．]
13．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )等于________，z ·z ＝________.
2＋2i 8 [(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0， ∴⎩⎨⎧
q －p ＝0，p －2＝0，∴p ＝q ＝2. 故z ＝p ＋q i ＝2＋2i. ∴z ＝2－2i ，
∴z ·z ＝(2＋2i)(2－2i)＝8.]
14．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β且z 1－z 2＝513＋12
13i ，则cos(α＋β)的值为________．
1
2
[∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β， ∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋12
13i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
cos α－cos β＝5
13，①sin α＋sin β＝12
13，②
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，。