等比数列前n项和公式的推导及性质

答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今 起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%)
a1
(1 q 1 q
n
)

(q
1)
na1
(q 1)
Sn

a1 anq

1 q
(q

1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
细节决定成败 态度决定一切
引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23, , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 263.
【错因】 由递推关系式bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1 得到bc11＋ bc22＋…＋bcnn－－11＝an，两式相减得到bcnn＝an＋1－an＝2 时，忽视了 n≥2 这一条件，事实上，数列{cn}的通项公式应当为分段函 数型，这是易错点．
【正解】(1)设 a1＋d＝b1q，a1＋4d＝b1q2， a1＋13d＝b1q3.
由题意，得(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2， 整理，得 d2－2d＝0，解得 d＝2，d＝0(舍去)， ∴an＝2n－1.于是 b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b4＝a14＝27， 所以公比 q＝bb32＝3，b1＝1，故 bn＝b1qn－1＝3n－1.
(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1. 由bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1，得 bc11＋bc22＋…＋bcnn－－11＝an(n≥2)， 两式相减，得bcnn＝an＋1－an＝2， 所以 cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． 又当 n＝1 时，bc11＝a2＝3，于是 c1＝3b1＝3， 由上述公式得 c1＝2·31－1＝2，
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在在4a1a,数an1a且qn五为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为n551根变一 公1q,,21常 225as1据量,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列,解 体,q81q来 2一Saqn2,1题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要， ： 12n22，q1， q,。 注[11qS3nn选((中，4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的 适(]只以当取入 2知S)的值nn三S公，1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
∴cn＝32·3n－1
n＝1 n≥2
.
∴c1＋c2＋…＋c2 009 ＝3＋2·31＋2·32＋…＋2·32 008
＝3＋2(31＋32＋…＋32 008)
＝3＋2·3·332－0081－1＝32 009.
[例3] 求和Sn＝1a＋a22an
◎已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1 成立，求 c1＋c2＋…＋c2 009 的值．
【错解】 (1)设 a1＋d＝b1q，a1＋4d＝b1q2， a1＋13d＝b1q3.
由题意，得(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2， 整理，得 d2－2d＝0， 解得 d＝2，d＝0(舍去)， ∴an＝2n－1.于是 b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b4＝a14＝27， 所以公比 q＝bb32＝3，b1＝1，故 bn＝b1qn－1＝3n－1.
解析： ①当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； ②当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为 a1≠0，所以 1－q3＝3q2(1－q)， 因为 q≠1， 所以 1－q≠0，化简得 1＋q＋q2＝3q2，
解得 q＝－12或 q＝1(舍) 综上，q 的值为 1 或－12.
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 即2S64
2(1 2 22
2 22 23

23
263
是2减错264法6位.3 !)相.
(2)
2S64 S64 (2 2那2如么果这213些00麦02粒粒4 麦的粒总重质为量246就30克是，264 )
(1 273020多2 亿2吨3。根2据4 统…计资料26显3)
示，全世界小麦的年产量约为
S64

264
1 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
1.国者84王的无要1论求01如的9 何。是不能实现发明
如何求等比数列的Sn:
即 Sn＝aan－an1a－－n1a2－1， 综上所述，得
nn2＋1，a＝1， Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1，a≠1.
• [点评] 在求含有参数的等比数列的前n项 和时，容易忽略对a＝1和q＝1的讨论，从 而丢掉一种情况．
[题后感悟] 错位相减法
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
=
a1 ( 1 – q 1–q
n)
(q 1)
证法三：
(一) 用等比定理推导
用等比定理：
因为
所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn


• (2)注意相消的规律．
• (3)注意相消后式子(1－q)Sn的构成，以及其中 成等比数列的一部分的和的项数．
• (4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这 一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应 分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31.
答案：31
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
1
q
3
27
1



1
8

于是当n 8时
Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
例2、在等比数列a n 中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q

2, n

5, a1

1 2
.求an和s
n
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1. 由bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1，得bc11＋bc22＋…＋bcnn－－11＝an， 两式相减得bcnn＝an＋1－an＝2， 所以 cn＝2bn＝2·3n－1， ∴c1＋c2＋…＋c2 009＝2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·32 008 ＝2(30＋31＋32＋…＋32 008) ＝2·1·332－0091－1＝32 009－1.
}成等比数列，其系数构成的数列{n}成等差数
列，故可用错位相减法求前n项和．
[解] 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1， 两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，
(2)a1
27, a9

1 ,q 243
0
解：(1)因为
11 a1 2 , q 2
所以当n 8时
1
1


1
8

Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1

27, a9

12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
证法二：
借助Sn-an =Sn-1
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
(1 q)Sn a1 a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时 :
Sn

a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
…… 50001.12台 第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
一般来说，如果数列{an}是等 差数列，公差为d；数列{bn}是 等比数列，公比为q，则求数 列{anbn}的前n项和就可以运用 错位相减法．
• 在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下 四个问题：
• (1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已 知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和 Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x ＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
• 5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为 Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．