灰色模型和线性回归长江水质模型问题三
数学建模长江水质的评价和预测
摘要
本文在给定数据的基础上，建立了水质综合评价模型；污染源依靠流量、流速和降解系数的模型；灰色预测模型，对未来十年污水治理做了预测。
针对问题一，做出标准化的参数与相应权值，建立合理的综合评价函数，得出了各地各时间内的综合评价值，得到湖北丹江口水质最好、江西南昌谁知最差的结论。
针对问题二，根据流量、流速和降解系数建立了各地段排污量的模型，得到高锰酸盐与氨氮排污量最大的地段都是湖北宜昌到湖南岳阳段。
针对问题三、四，建立了灰色预测模型，并给出了污水处理方案。
针对问题五，提出了整治长江污染的几点建议：加强宣传力度、加强有关部门监督、整治沿江工业。
模型较全面的运用了所给数据，建模方法比较科学，但还存在具体数值设立上主观性的问题。
关键词：综合评价、灰色预测。
长江水质的评价和预测模型
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛的题目是：长江水质的评价和预测模型我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安电子科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 杨富强2. 王旭宇3. 贺可强4. 王旭指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：冯海林宋月日期： 2007 年 8 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：长江水质的评价和预测模型摘要江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，大量污水的排放导致了河水污染。
近年来，长江水质的污染程度日趋严重，引起了考察团对沿线21个重点城市做了实地考察。
考虑到水流量和排污量对水质的巨大影响，本文研究了长江水质的污染现状及其原因，找出了主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的分布情况，并预测了10年后的恶化情况；从而提出了治理污水的方案，最后给出了一些科学、可行的建议。
对于问题1，本文采用模糊综合评价模型，从溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮三个指标衡量长江水质，给出了长江沿岸17个观测站水质的综合得分(如表1),得出了目前长江水质情况与污染状况：长上游与下游污染程度较轻，中游污染程度严重；干流污染较轻，水质总体上基本良好，支流污染极为严重。
长江水质评价和预测的数学模型
长江水质评价和预测的数学模型长江水质评价和预测的数学模型摘要：长江是中国最长的河流，其水质对于保护生态环境和人类健康至关重要。
因此，对长江水质进行评价和预测具有重要的研究价值。
本文综述了现有关于长江水质评价和预测的数学模型，并探讨了这些模型的优劣以及未来的发展方向。
通过这些数学模型，我们可以更好地了解长江水质的变化趋势，为水资源管理者提供科学依据，保护和恢复长江的水质。
1. 引言长江是中国最大的河流，流经11个省市，对于中国的经济和生态起到了重要的作用。
然而，由于人类活动、城市化进程和工业化的快速发展，长江的水质受到了严重的污染。
因此，对长江水质进行评价和预测成为了重要的研究课题。
2. 长江水质评价模型2.1 污染指数模型污染指数模型是较早被采用的水质评价模型之一。
该模型通过对水样中各种污染物浓度的测定，并结合环境质量标准，计算出一个综合的污染指数值，从而评价水质好坏。
然而，该模型没有考虑到污染物之间的相互关系和水文地质条件的影响，因此在实际应用中有一定的局限性。
2.2 灰色关联度模型灰色关联度模型是一种能够综合各种因素的水质评价模型。
该模型通过建立灰色关联度函数，将不确定因素纳入考虑，并计算出与水质相关的关联度值。
然后，通过对各因素进行权重分配，得到最终的水质评价结果。
该模型相比于污染指数模型具有更强的综合能力。
3. 长江水质预测模型3.1 神经网络模型神经网络模型是一种通过模拟人脑的神经网络来进行水质预测的模型。
该模型通过对历史数据的学习和分析，建立相应的神经网络结构，并利用该结构对未来的水质进行预测。
神经网络模型具有较强的非线性拟合能力，能够较好地捕捉水质变化的规律。
3.2 支持向量机模型支持向量机模型是一种基于统计学习理论的水质预测模型。
该模型通过建立超平面，并考虑到各个样本点与超平面的距离，确定最佳的超平面划分水质数据。
支持向量机模型具有较强的泛化能力和鲁棒性，可以有效地对长江水质进行预测。
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息,建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题,制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时,都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律,借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析,并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广;我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端,我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系;建模原理模型的求解原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 101499926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成,简称为一次累加生成.对(1)X 作紧邻均值生成,....2))1()((21)()1()1()1(=-+=k k z k z k zMATLAB 代码如下：x=7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159; z1=x1; for i=2:6 zi=xi+xi-1; endformat long g z z =Columns 1 through 37691Columns 4 through 632906Columns 7 through 991518Columns 10 through 11因此)53551.5 42943.5 3290623278.5 13152.5 ())5(),...1(()1()1()1(==z z z构造B 矩阵和Y 矩阵；对参数ˆα进行最小二乘估计,采用matlab 编程完成解答如下：B= -32906 -91518 ',ones10,1;Y=18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159'; format long g a=invB'BB'Y结果如下：a =即∂=,u=59277∂u = 则GM1,1白化方程为59277x 085.0)1(=-dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(ˆk *0.085)1(e k x =+再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义一元线性回归预测是处理因变量y与自变量x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1,设年份y, 货运量x y随x的变化函数,建立一元线性回归方程：Y=β0 + β1x其中β0、β1称为回归系数;散点图如下：首先根据x、y的现有统计数据,在直角坐标系中作散点图,观察y随x而变是否为近似的线性关系;若是,则求出的β0、β1值,就可确定其数学模型,然后由x的未来变化去求相应的y 值;,2,确定方法—最小二乘法使拟合的数值与实际值的总方差为最小,即拟合程度最好,则得两者之差e i根据极值原理,式对a、b分别求偏导,并令其=0,得z)()(()()222iiiiQiia aa b aaa ba bxyy xy x∂∂=∂∂∂=---∂=-----∑∑∑三,模型的求解：运用MATLAB 软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 '; x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,x b,bint ,stats ,rcoplotr,rint;()()()()()()()()222i i i i i i i Q y b x x y i b b y b x b x b y b x xy x x y x x ∂∂⎡⎤=---∑⎣⎦∂∂∂⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦∂⎡⎤=-----⎣⎦∑∑()()()()()()2002(7.4.8)i i i i xy xxx x y y b x x ix x y y b x xiS S =---=---==-∑∑∑∑令其，即所以结果：b =+006bint =+006stats =+005注：+006 为110^6 后同理因为,p<,所以可知回归方程为y=-1579600 + 800x 先观察观察模型残差：如图所示,应该剔除第2组数据;MATLAB代码为：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;结果为：b =+006bint =+006stats =+005其中：+006 为110^6同理+005 为110^5剔除之后结果如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间β0+006 +006 +005β1+006 +006 +006R2= F= +005 p< s2 = +005将异常数据去除后,再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型,残差图如下：因为,p<, 无异常数据可剔除因此,可知最终回归方程为y=-1787900 + 900x,对ployfit拟合的函数进行评价与估计;运用polyconf函数对多项式评价和置信区间估计,matlab代码如下：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1结果为：p =+006S =R: 2x2 doubledf: 8normr: +003对2015年的货运量预测,即y=polyconfp,2015y =+004DELTA =+003其中所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2015年的货运量在之间;同理对2016年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2016年的货运量在之间;对2017年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004++003 即,2017年的货运量在之间;对2018年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004+ +003 即,2018年的货运量在之间;对2019年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004+ +003即,2019年的货运量在之间;对2020年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2020年的货运量在之间;附：MATLAB代码：1, x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;2,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;3,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1y=polyconfp,2015。
对长江水质污染的灰色预测
灰色理论选讲一、前言：自然界和社会上发生的现象多种多样，有一类现象在一定条件下必然发生。
例如在一个大气压下水在一百度沸腾。
还有一类现象是不确定的。
例如在相同情况下抛同一枚硬币，炮弹的落点；你是否年轻人？胖子？秃子？（数学归纳法证明全秃）；2050年我国人口控制在15~16亿之间，某人年龄在30~35之间，身高170~180厘米，体重60~80千克。
这些不确定分为三类：第一类像抛硬币、弹着点在大量重复实验和观察中呈现出固有的规律性称之为统计规律性。
这种在个别试验中其结果不确定，在大量重复实验中又具有统计规律的现象称之为随机现象。
概率论和数理统计是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科。
本学期我们主要学习这门知识。
第二类是研究“认知不确定”问题，如“年轻人”是个模糊概念，“内涵明确外延不明确”，用模糊数学的隶属函数处理，数学的另一个分支。
第三类是研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定、外延明确内涵不明确”的问题，特点“少数据建模”，由灰色理论处理。
不确定 简单问题AD ADBA C BC ACBD 半确定复杂问题半确定简单问题不确定复杂问题 确定性 复杂问题 确定性简单问题确定 性半 复杂 问题 不确 定半 复杂 问题 AD ADBA CBC ACBD 自组织理论 逻辑与直觉思维非线性科学系统科学数学运 筹 学 灰 色 理 论概率统计 模糊数学对长江水质污染的灰色预测1 问题的提出在CUMCM2005A题中给出长江在过去10年中废水排放总量（见表1）和六类不同水质所占的百分比，据此对今后10年的长江水质污染的发展趋势做出预测。
2本问题的实质是在现有的状况下，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来10年水质污染的发展趋势做出预测分析。
传统的数理统计预测方法有回归分析法，指数平滑法，马尔柯夫法等，这些方法往往需要足够多的数据。
此处数据量偏少，如果采用上述方法误差太大，根据上述特点可采用灰色预测理论。
长江水质评价及预测模型
Pj Dj Czj Nzj Cgj Ngj
五、模型的建立与求解
5.1 长江水质的综合评价 ５．１．１ 模糊综合评判模型［２］ 根据水域情况的质量标准我们把水污染监测浓度看成是一个离散的随机变量，用概 率统计方法进行统计可以得到水域属于某个标准的概率，因为可以拟定不同的水域标 准，评价参数集为 U={u1,u2,u3},水质分级集为{v1,v2,v3,v4,v5,v6},其中 u1,u2,u3 分别表 示为溶解氧，高锰酸盐指数，氨氮（ＮＨ３－Ｎ） ，因为 ＰＨ 值对水域影响不大，所以对其不
ri,1,1=0
zi,1=0
而 i=1 时对于溶解氧的隶属度的求法与上面方法相反 对于评价参数的权重的确定： 对于溶解氧权重按如下确定 w1 =(x0-x1 )/(x0-s1 )， 而高锰酸盐指数，氨氮的权重分别 为 wi=xi/si ，其中 xi－－－第 ｉ 种污染物的实测浓度算术平均值，ｘ０－－－溶解氧在某条件下 的饱和浓度（标准浓度） ，si－－－第 ｉ 种污染物各级标准的算术平均值。对其进行归一 化处理得到 ａｉ＝ wi/∑wi（i=1,2,3） 3 个参数构成权重矩阵即为 A=（a1,a2,a3） 三个指标的权重（见表 1） ：
三、模型的假设
（１）假设溶解氧（ＤＯ）浓度越高水质越好，不考虑过含氧情况。 （２）假设各监测指标之间无相互作用。 （３）假设我们研究的长江是一条平直的河流。 （４）假设所给数据真实可靠。 （５）假设水质状况只与题目给我们的 ４ 个项目有关，不考虑其他项目
2
四、 号的定义与说明
4.1 模糊评判模型符号定义 符号 Ａｉｊ Xi,k ｌｉ，ｊ Ｌｉ Ｚｉ，ｊ ｒｉ，ｊ，ｊ ｗｉ ｐｉ，ｊ ａｉ ｑｉ，ｊ ｑｊ 符号说明 第 ｉ 个参数在第 ｊ 级别上的标准值 第 ｉ 个参数在某一级别上的监测值的第 ｋ 个 ｉ 参数监测值介于 Ａｉ，ｊ－１ 到 Ａｉ，ｊ 之间的个数 第 ｉ 个参数污染物监测值的个数 ｉ 参数污染物监测值介于 Ａｉ，ｊ－１ 到 Ａｉ，ｊ 之间的 ｌｉ，ｊ 个 监测值的平均值 ｚｉ，ｊ 对第 ｊ 级水质的隶属度 计算得到的 ｉ 参数的权重 ｉ 参数而言， 介于 Ａｉ，ｊ－１ 到 Ａｉ，ｊ 之间的监测值发生在 ｊ 水质下的概率 归一化处理后 ｉ 参数的权重 ｉ 参数发在 ｊ 水质下的模糊概率 水域水体出现 ｊ 级水质的模糊综合概率
关于长江水质污染预测的两种数学模型
Ｋｅｗ ｒｓ ｇｅ ｙｔ ｔｅＧ １ １ ｍ ｄｌ ｔｅｃｒｅｆｔ ｇｍ ｄｌ ｙ ｏ ｄ ｒｙｓｓ ｍ ｅ ｈ Ｍ（ ，） ｏ ｅ ｈ ｕｖ ｔｎ ｏｅ ｉｉ
１ 前 言
水是 人类 赖 以生存 的资源 ， 保护 水资 源 就是 保 护 我 们 自己 。对 于我 国大 江大 河 水 资 源 的
ｍｅ ｎ ｗ ｉ ｈ ｓａ ｔ ｌ ｋ ｓ ａ ａｇ ｓｃ ｎ ｏ ａ ｓ ｎ ｔ ｈ ｗｏ ｋｎ ｓ ｏ ｒｃ ｓｉ ｇ ｍｏ ｅｓ ａ ｈ ｌ ｔ ｉ ｒｉ ｅ ｍａ ｅ ｎ ｌｅ ｉｓ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｒ ｏ ｔ ｅ ｔ ｉ ｄ ｆｆ ｅ ａ ｔ ｄ ｌ ． ｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｎ
第
ＭＡＴ ＨＥＭＡＴ Ｃ Ｉ ＡＬ ＴＨＥ ＯＲＹ ＡＮＤ ＰＬ ＣＡＴＩ ＡＰ Ｉ ＯＮＳ
Ｖｏ ． ． Ｉ ３ｌ Ｎｏ ３ Ｓ ｐ．２ １ ｅ ０１
２ １ 年 ９月 ０１
关 于长 江 水质 污 染 预 测 的 两种 数 学模 型
杨 继奎
（ 州 大学数 学 系， 州 ，５００ 郑 郑 ４ ００ ）
摘 要 本文根 据《 长江年鉴》 供的数据 ， 提 分别利用灰 色系统 中的 Ｇ １ １ 模型和数值拟合模 型 ． Ｍ（ ，） 使用 ｍ ｔ ａ—
ｌ ａ ｂ软件 ， 对长江水质 污染问题进行 了预 测。给 出了未来十年 内， 不加 治理 的情 况下 ， 在 长江水质 污染状 况的
２ 模 型 的假 设 和 符 号 说 明
２ １ 模型 的假 设 ．
１假 设对 长江 水质变 化起 决定 作用 的是 废水 排放 量 ， 与其他 的 因素无 关 。 、 而 ２ 假 设每 年排 放到 长江 流域 的废水 的“ 、 品质 ” 稳定 的 ， 者 说不 同年 份 同样 量 的废 水 所 是 或
长江水质评价和预测的数学模型
长江水质评价和预测的数学模型阮门富、沈晓燕、郑丽心摘要本文以长江流域的水质污染状况为背景，首先通过对17个观测站点近两年多的水质状况有关数据的统计，应用概率统计分析方法，对长江水质状况作出了定量综合评价，并分析各地区水质污染情况，发现南昌水质污染较为严重。
其次，针对长江干流7个观测站近一年多的基本数据，引用了河流污染物中非守恒物质的净化过程满足的一级反应动力学规律，建立河流中污染物一维稳态衰减规律的微分方程模型，求解出了这一年多长江干流上7个观测站的排污量，分析得出高锰酸盐指数主要的污染源是在湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江苏南京等地，每天的高锰酸盐指数排放量分别为3974.6吨、3047.4吨、 2808.9吨、2713.3吨；氨氮排放的主要污染源为湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江西九江等地，每天的氨氮排放量分别为384.6309吨、275.7372吨、243.8681吨、221.1189吨。
再次，利用过去10年的主要统计数据，运用基于灰色系统的灰色预测方法，预测出未来10年长江的水质污染情况。
并通过预测到的未来10年内有关长江干流水质情况，在要求IV类和V类水的比例控制在%20以内，且没有劣V类水前提下，建立以未来10年的处理的污水总量最小为目标的规划模型，通过求解模型可得未来10年每年需要处理的污水量分别为43.4吨、56.2吨、60.28吨、70.75吨、……。
最后，对长江水质污染状况给出了解决长江水质污染问题的一些可行的建议和意见。
关键词：水质类别；灰色预测；水质污染1 问题的提出水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理是重中之重。
长江是我国第一、世界第三大的河流，长江的水质污染程度却日趋严重，已引起了相关政府部门、专家们的高度重视。
为了揭示长江的污染情况，引起人们的注意，专家们对长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标进行了考察并给出了相关的检测数据、1995~2004年长江流域水质的主要统计数据，以及干流上7个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速），和国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值（其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水），现要求对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况；进一步研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源地区；假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况；根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理的污水量 ；提出自己对解决长江水质污染问题的切实可行的建议和意见。
基于灰色Verhulst的长江水质趋势预测
基于灰色Verhulst 的长江水质趋势预测黄渝桂1，曹命凯1，马细霞2 ，李迎军3，李季平41 河海大学水利水电学院，南京（210098）2 郑州大学环境与水利学院，郑州（450002）3 华中科技大学环境科学与工程学院，武汉（430074）4 河海大学水文水资源学院，南京（210098）E-mail ：fengzhongfeng009@摘 要：水质受到实时水流量、降解能力、排污量等因素影响，变化趋势复杂，灰色系统预测模型用于中长期预测是一种有效的方法。
从长江水质1995-2004数据报告上看，可用水（I类，II类，III类）按照“s”型曲线增长，后期处于饱和积极阶段。
采用一维灰色模型GM(1,1)水质预测误差较大，因此，们将灰色Verhulst 模型引入水质预测。
此模型能经过一系列的误差检验，具有较高的精度。
关键词：水质预测；一维灰色模型GM(1,1)；灰色Verhulst 模型1. 引言随着中国经济腾飞，工业高速发展，河流水质的污染也日益加剧，给人们的生活和社会发展带来诸多不便。
长江水质污染情况如下：高锰酸盐污染物主要分布在湖北宜昌到湖南岳阳段和安徽安庆到南京段；氨氮污染物主要分布在湖北宜昌到湖南岳阳段和江西九江到安庆段。
有关部门对这些严重污染段采取必要的措施，因此需要水质预测。
水质预测对有关部门采取相应措施提供重要依据。
目前，水质中长期预测方法很多。
在众多预测方法中由于存在大量的随机性和不稳定性，而灰色系统预测避免了此问题，是一种比较有效的方法。
该方法预测精度较高，预测所需原始信息少，预测结果具有可检验性。
本文通过对灰色GM （1，1）预测模型[2]和灰色Verhulst 预测模型[1]的对比分析，试图寻找一种合适的模型，对长江水质未来十年（2005-2014）变化趋势进行预测。
GM （1，1）模型对水质的预测具有一定的局限，灰色Verhulst 模型有好的预测结果。
2. 水质预测灰色模型2.1灰色GM （1,1）模型设有n 个原始水质样本数据0()x t ，1,2,,t n ="对此数列进行一阶累加生成新数据序列：1x (t)，1,2,,t n ="建立灰色GM(1,1)模型的一级白化微分方程[2]：11x (t)a x (t)=u td d +⋅ 式中的a ,u 为参数，灰色GM(1,1)模型参数列TA=[a,u]的最小二乘估计：T A=[a,u]=T 1T(B B B Y −）111-Z (2) 1-Z (3) 1B=Z t 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥−() ⎣⎦## x0(2)x0(3)Y x0t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥()⎣⎦#1111Z (t)=((x (t)+x (t+1))2取10x (0)x (0)=，解微分方程，有时间响应方程：at 10u u x t+1)x 1e a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(=()- 则原始序列的灰色GM(1,1)预测模型：l 011x (t 1)x (t 1)x (t)+=+− 2.2 灰色Verhulst 模型灰色Verhulst 模型是在德国生物学家和数学家Verhulst 模型基础上发展而来的一个非线性微分模型。
11,长江水质预测的建模(GM11)
其中 , 参数 a , u 可用最小二乘法拟合如下 ,
a u
= ( B TB )
( 2) ( 3) ( n)
- 1
B Yn x
( 0) ( 0)
T
- Z
B=
( 1) ( 1)
1 1
( 2) ( 3) ( n)
- Z - Z
…
( 1)
…
1
, yn
x x
…
( 0)
一般的 GM ( 1 , 1 ) 模型中 , 矩阵 B 中 , 背景值 1 ( ) ( ) ( ) Z 1 ( k + 1) = [ x 1 ( k ) + x 1 ( k + 1 ) ] 。文献 2 [2 ] 、 [ 3 ] 认为背景值的这种取法使得 GM ( 1 , 1 ) 模 型滞后误差较大 , 只在发展系数 a 绝对值较小 ( 0 < - a Φ0 . 3) 时精度较高 。 经过改进 , 可令 Z (1) ( k + 1) =
k
则经过累减后的还原值为 ( ) ( ) ( ) ^ x 1 ( k + 1) = ^ x 1 ( k + 1) - ^ x 1 ( k ) = ( 1 - ea)
( x (0) ( 1) u ) ea
ak
( 3)
本文用 ( 3) 式对近 10 年可饮用水占长江流域 比重进行模拟 , 然后进行未来 10 年数据的模拟预 测。
白化方程 ( 1) 的时间响应函数为
^ x
( 0)
( k + 1) = ( x ( 0) ( 1) -
ak
+
测既有很多成功实例 , 同时也存在一些预测偏差 过大的情况 。因此 , 对 G M ( 1 ,1 ) 模型进行深入研 ( ) 究 , 找出影响 G M 1 ,1 模型精度及其适应性的关 键因素 ,提高其精度及其适应性 , 具有非常重要的 理论价值和实践意义 [2 ] 。文献 3 利用灰色模型的 指数特性 , 用积分方法导出了背景值的简单解析 式 [3 ] 。本文利用该方法建模 ,实践表明该方法针对 某些不平稳随机数列可以提高精度 。 2. 1 改进 G M ( 1 ,1) 模型简介及模型的建立 设原始数据列为 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) X ( k ) = { x ( 1) , x ( 2) , x ( n) } , 对 X (0) ( k ) 做一次累加生成 , 得生成数列 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) X ( k ) = { x ( 1) , x ( 2) , …, x ( n) } , 其
基于灰色模糊聚类分析的长江水质的综合评价
当指 标为 消弱型 （ 小越好 ） 越 指标 时 ，
Ａｏ ｊ
。
数据 中 ｐ Ｈ值 都在 标准值 （ ９ 范 围 内 ， ６～ ） 因此 ， 文 本
作者 简 介 ： 军彩 （９ ４一） 女 ， 士 ， 师 ， 焦 １７ ， 硕 讲 研究 方 向 ： 糊 数 学 。Ｅ ｍａｌ ｒｅ ｎ ｌ＠ 模 － ｉ ｅ ｏ ：ｆ
糊聚类 分析 的具体 步骤如下 ：
长江水域 水质 污染程 度的合理 分类应 是水 资源保护
和治理 的第一 步。 本文 通过灰 色模糊 评价 的方法 ， 确定评 价指标 ， 确 定合理 的权重 ， 从而对 长江沿 线 ｌ ７个水 域 的水质 进 行灰色模 糊聚类 。聚类 评价 的结果 与实际 的水质 情况 吻合 ， 说明灰 色模 糊 聚类 方 法 对水 质 的 评价 是
一
（ ）理想 分 区确 定 １
设评 价 系统 由 ｍ项指 标 ， ｎ个评 价分 区构成 ， 第
ｉ 个分 区的 ｍ项 指标组成 集合
Ａ
。
＝
（ Ａ … ， ｉ ｉ ， ， ， Ａ Ａ ） ＝ｌ２ … ， ｌ
则 ｎ个 评 价 区 的原 始 指 标 构 成 矩 阵 为 ：
Ａ Ｉ Ａｌ ｌ ２ Ａ２ Ｉ Ａ２ ２ Ａ＝
水 质 的评 价 是 可 行 的 。 以 灰 色模 糊 聚类 分 析 法对 水 质 进 行 评 价 是 不 需 要建 立 评 价 的 分 级 标 准 ， 以 根 据 评 价 对 象 可
的 实 际情 况 进 行 最 优 聚 类 分析 。
关键 词 ： 色模 糊 聚类 分 析 ； 质 ； 色关 联 系 数 ； 联 度 灰 水 灰 关
（） ７
为 了便 于 各 指标 比较 ， 要 对 原 始 指 标值 进 行 需
国赛赛题解析(五)2005A 长江水质的评价和预测(灰色预测和多元线性回归)
二、问题二
问题分析：
问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源 事实上这 问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源，事实上这 是一个微分方程的反问题。 较好的思路： ①利用简化的一维水质模型(连续形式或差分形式)研究污染物 的降解作用，从而可以确定各地区污染物的浓度变化。 ②考虑干流上排污源的影响，并假设排污点在江段内均匀分布， 或者所有的排污源都集中在某一点处等处理方法，这些都是合理的 做法。 最后根据各江段排污量的多少确定主要的污染源在哪里。
10
一、问题提出
附件4：1995年~2004年长江流域水质报告
说明： (1) 表中河长单位为km 说明 k ，比例单位为 比例单位为% 。 (2) 水文年是指在一年内所有检测数据的平均值。 (3) 根据统计资料，每年长江的枯水期为1月～4月，丰水期为5月～10月，平水期为11月 ～12月 月。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 11
上一节课程回顾
1、构成“综合评价”的问题必须要有五个要素:“被评价 对象，评价指标，权重系数，综合评价模型(函数)和评价 者 。 者” 2、解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的； 确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化 处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计 算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何 一个综合评价问题都必须要做的工作。 个综合评价问 必 做的 作
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统基本概念 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的 若 个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全 即系统的信息是充足完全 的，我们称之为白色系统。 若 个系统的内部信息是 无所知 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部 团漆黑 只能从它同外部 的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于 者之间 灰色系统的 部分信息是已知的 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部 部 分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关 系。
长江水质的评价与预测模型
根据观测点之间的距离及水流速度得到流程时间 t, 然后再利用自降解系数 Κ与时间 t 之间的乘积关系, 得到上一站 到下一站中自净化量, 从而得到该地区的净排污量. 通过对各地区的净排污量进行比较和趋势分析得出长江干流污染源 的主要分布地区. 首先求出水流时间 tn
1 2 Α n tn 2 从而可以得到相邻观测站间的自然净化量 x n
s= v n tn + x n = Κ tn
该站点的 = 的排污量 观测值 n- 1 bn = rn q v n - ( rq v n- 1 - Κ tn ) 根据
各个站点
前一站点 的观测值
-
观测站相邻间 自然净化量
可知:
∑I
W j =
k= 1
n
jk
n
n
× I jk (m ax )
j
∑W
W = 和标准值.
k= 1
m
× W j (m ax )
其中 I jk ,W 分别表示第 j 类水质第k 种污染物的指数, 水质污染指数, C jk , S j jk , 分别表示第 j 种水质第k 种污染物的测定值
3. 1. 2 水质污染的状况分析
摘 要: 讨论了长江水质的评价与预测问题. 利用多指标模糊概率综合评价和水质指数 (W Q I) 综合评价 等方法分别对长江近两年多的水质状况进行对比, 分析, 检验与定量综合评价. 建立相应的线性规划与线性回 归模型, 找出主要污染物高锰酸盐和氨氮的分布地区. 并对长江未来 10 年的水质污染趋势进行了预测分析, 统计了每年最少处理的污水量. 关键词: 水质状况; 线性规划; 线性回归; 污水处理 中图分类号O 221 文献标识码: A 文章编号: 1671- 1785 ( 2006) 04- 0081- 04
数学建模之长江水质监测问题
长江水质监测摘要本文解决的是长江水质的评价与监测问题，通过分析过去十年不同监测站收集到的长江水质数据，运用不同的理论建立不同的模型，对长江过去十年的水质情况作出评价，然后再预测未来十年长江水质的变化情况。
针对问题一：考虑到问题一中需要对长江水质情况作出定量的评价，并分析各地区水质的污染状况，为此，建立模糊综合评价模型确定了其隶属度函数，建立评判因子的权重矩阵，求得最终结果为：水质最差的地方是江西南昌滁槎（15号），其次水质差的地方为四川乐山岷江大桥（8号）、湖南长沙新港（12号）以及四川泸州沱江二桥（10号），此四处水质污染严重；水质最好的地方是湖北丹江口胡家岭（11号）。
针对问题二：根据长江的降解系数，可得到污染物随时间的变化量。
由于污染源的污染物排放量等于本地区污染物的流量与上游流下的污染物流量之差。
因此，建立污染物流量随时间变化的微分方程模型。
最后求得：高锰酸钾指数和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳阳之间。
针对问题三：根据已知的过去10年的主要统计数据，建立了灰色预测模型。
在相对误差较小的情况下对未来10年的水质情况作出了预测，分析得出结论：未来10年可饮用水所占的比例越来越低，排污量有明显的上升趋势。
针对问题四：在问题四中建立多元线性回归方程，利用最小二乘法求解系数，在满足问题四要求的前提下，求出未来10年的允许最大相对排污量，继而求得未来10年每年的相应排污量，后者与前者的差值与未来10年的长江水总流量的乘积，求得最终结果如下表：未来10年预处理的排污量年代2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014预处理排污量71.24 83.11 94.98 106.86 118.73 130.60 142.48 154.35 166.22 178.09 (亿吨)针对问题五：分析总结前几个问题的结果，找出水质污染的根本原因。
结合考察团的调查结果，给出合理的建议和意见。
数学建模 长江水质污染分析与预测
长江水质状况分析摘要本文通过对长江水质污染设立评价指标，成功地对过去长江水质情况做出了评价，并分析了各地区的水污染状况。
在此基础上，对未来十年长江水质污染趋势做出了大胆的预测，给出了令人堪忧的结果，最后对长江水质污染的治理提出了几点可行的建议。
第一问，采用线性加权平均法，给出了长江水质的评价指标，得到了长江水质不断恶化，且以江西南昌滁槎最为严重的结论。
第二问，通过建 立微分方程模型建立污染物浓度关于距离的模型，解出七个检测点的排污值，然后对图表进行分析，得到结果为：第三问，我们首先根据长江水质变化的趋势，结合第四问，将六类水进行重新归类（I ，II ，III 为饮用水，IV ，V 为第二类，劣V 为第三类），通过数据拟合的办法，对未来十年三类水的百分比进行了近似预测。
得到结果为未来十年Ⅳ类和Ⅴ类劣Ⅴ类水之和占百分比为：其次，我们还使用线性回归模型对第三问重新做出了分析。
第四问，我们分别根据第三问的方法，进一步考虑，得到了满足条件下未来十年每年需要处理的废水量仍然对第四问用了灰色预测模型和线性回归模型进行分析求解。
第五问，结合前面四问的研究结果，对长江水质污染的现状给出了合理可行的建议。
关键词 ： 长江 水质污染 线性加权平均法 微分方程模型 线性回归模型一、问题提出长江乃中国的第一大江，流淌了千万年，哺乳了无数中华儿女。
她在我们心目中早已成一种精神寄托。
伴随着中国经济高速的发展，长江水质受到了日益严重的挑战。
水质严重恶化，危及沿江许多城市的饮用水，癌症肆虐沿江城乡；物种受到威胁，珍稀水生物日益灭绝。
若不采取措施解决污染问题，长江将重蹈淮河覆辙，最终受害的人是整个长江流域的百姓。
对此，有必要对长江水质污染状况作研究分析。
本文要解决五个问题。
一是根据已有数据对长江近两年的水质情况作出定量的综合评价，并分析各地水质的污染状况。
二是研究分析长江干流近一年主要污染物污染源在哪些地区。
三是依据现在的情况，预测未来长江的污染趋势。
数学建模灰色预测法
i1,2,...n,
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
2021/10/10
30
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X0i的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
28
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
验和后验差检验。 （1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将Xˆ 1i 累减生成 Xˆ0i, 然后计算原始序列X0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相
对误差序列。
0iX 0iX ˆ0i i1,2,...n,
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iX 00ii10% 0
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Ø累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
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三、关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
X ˆ(0 )(k ) X ˆ(1 )(k ) X ˆ(1 )(k 1 )
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27
由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
μ 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
有关长江水质的数学建模
长江水质的评价和预测摘要本文对长江水质近两年污染情况进行建模分析，主要的处理方法如下：对于问题一：用主成分分析法得出影响长江各地区水质的主要因素是高锰酸盐指数和氨氮，通过各地区的综合的分得出湖北丹江口胡家岭水质最好，四川乐山岷江大桥、江西南昌、湖南岳阳水质较差。
对于问题二：建立一维水质模型（降解模型）/=C x Ce-()kx u得出各地区污染物的排放量，从而求得高锰酸盐指数的主要污染源是湖南岳阳、湖北宜昌、江西九江、重庆朱沱等地区；氨氮的主要污染源是：湖南云阳、江西九江、湖北宜昌、重庆朱沱等地区。
对于问题三：用GM(1,1)模型和ＢＰ神经网络分别预测长江未来十年污水排放量以及水文年干流河域各类水的河长比。
未来十年内污水的排放量（亿吨）如下表所示：未来十年水文年长江干流域四五类以及劣五类水的河长比例（具体数据见正文表7）呈现上升趋势，未来十年长江水质不容乐观。
对于问题四：采用了非线性回归和ＢＰ神经网络两种方法，在保证未来十年长江干流四类和五类水的含量控制在20%以内且没有劣五类水的情况下，分别预测得到每年应处理的污水量（亿吨）如下表所示：因为两个模型的侧重点不同，预测的结果有一定偏差，但通过观察两组数据，可以看出未来十年由于长江总体水质的恶化，处理的污水量逐年增加，符合未来长江的水质发展趋势。
关键词：主成分分析法，降解模型，GM(1,1)模型，BP神经网络，非线性回归问题重述长江是我国第一、世界第三的河流，流域面积约180万平方公里涉及青海、西藏、云南、四川、重庆、贵州、甘肃、湖北、湖南、江西、陕西、河南、广西、广东、安徽、江苏、上海、浙江、福建19省（自治区、直辖市）。
长江水质已呈现不断恶化的趋势。
专家分析认为，必须尽快加强长江水质保护，遏制水质恶化趋势，否则将带来难以挽回的损失。
据题意，本文要解决的问题有：1. 对长江近两年的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
2. 研究分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源的位置。
关于长江水质污染预测的两种数学模型
1
前言
水是人类赖以生存的资源， 保护水资源就是保护我们自己。 对于我国大江大河水资源的 保护和治理应是重中之重。 目前， 大量的工业废水和生活污水直接或者仅经过简单处理后排入江河 ， 以期利用江河环 境水体的输移、 稀释和自净的能力以达到净化污水的目的 。然而江河的自净能力是有限的， 污 水过量排放和不合理排放会对水生态环境造成极大破坏 。 长江水质的污染程度日趋严重， 已 引起了相关政府部门和专家的高度重视 。因此， 对水质污染做出准确的预测具有很重要的实 用价值。 下面我们来分析预测未来长江水质的变化 。 通过对长江十年的流量统计可知， 除 98 年
]
我们根据 1995 － 2004 年长江流域水质报告表中的数据得到废水排放量数列 ： x
（ 0）
= （ 174 ， 179 ， 183 ， 189 ， 207 ， 234 ， 205 ， 256 ， 270 ， 285 ） （ 单位为亿吨） = （ 174 ， 353 ， 536 ， 725 ， 932 ， 1160 ， 1386． 5 ， 1642． 5 ， 1912． 5 ， 2197． 5 ）
（ 0）
= （ x （ 0） （ 1 ） ， x （ 0） （ 2 ） ， …， x （ 0） （ n） ） ， 做一次累加生成序列， 得
46
数学理论与应用
x （ 1） = （ x （ 1） （ 1 ） ，x （ 1） （ 2 ） ， …， x （ 1） （ n） ）
（ 1） （ 0） = （ x （ 1） （ 1 ） ， x （ 1） （ 1 ） + x （ 0） （ 2 ） ， …， x （ 1） （ n － 1 ） + x （ 0） （ n） ） ， 其中 x （ 1 ） = x （ 1 ） 。
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5.1 问题三模型的建立与求解
5.1.1 问题三的分析
问题是要预测长江未来水质污染的发展趋势，我们把未来长江污水所占百分比变化趋势作为未来水质污染的发展趋势。
即要获得未来十年每年的污水百分比。
长江总流量应该是一个随机变量从所给的数据看，长江总流量每年变化不大，不随时间有规律的变化，是个随机量；排污总量随时间按照一定的关系逐年增加。
我们建立一个排污总量关于时间的函数关系。
总流量越小，总排污量越大，污水所占百分比就越大。
我们建立一个Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类水所占百分比之和关于长江总流量和排污量的函数关系。
把这两个函数结合起来即可获得未来十年的污水所占百分比。
5.1.2 模型的建立与求解
预测排污量
即设(0)x =（174 179 183 207 234 220.5 256 270 285）
对(0)x 进行一次累加，得到(1)x : （174 353 536 743 977 1197.5 1453.5 1723.5 2008.5）
生成均值(1)z ：（263.5 444.5 639.5 860 1087.25 1325.5 1588.5 1866）
进而得到263.51444.51639.51860.0
11087.511325.511588.511866.01B -⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-⎢
⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
用最小二乘法求的参数估计值为：a=-0.0680 b=160.6791
求的解为，(0)(1)(1)(0)(1)(1)(1)()((1))*()ak a k b
x k x k x k x e e a
---
+=+-=--
：
建立污水百分比和排污量、总流量关系：
污水百分比既跟排污量有关又和总流量有关，所以要建立的是一个二元函数。
我们采用二元线性回归方法建立模型。
二元线性回归分析预测法的回归方程为：
式中：x 1,x 2——自变量（x1为排污量（舍去1998年，以下同），x2为总流
量）；
——因变量，即线性回归分析估值，或预测值； a ,b 1,b 2——待定回归方程参数。
最小二乘法建立的求参数的方程为：
1
1
2
2y na b x b x
=++∑∑∑
带入数据得到：a=0.4750 b1=0.1594 b2=-0.0016
即Ⅳ类和Ⅴ类劣Ⅴ类水占百分比关于排污量和总流量关系为：y=0.4750+0.1594*x1-0.0016*x2; 预测污水百分比：把上面未来十年污水排放总量带入方程，得到未来十年Ⅳ类和Ⅴ类
5.2 问题四模型建立与求解
用与问题三中同样的方法建立线性回归方程，然后求解。
如果对污水不进行处理则Ⅳ类和Ⅴ类污水百分比之和的表达式为:
1120.81510.12790.0015y x x =+-
设每年处理的污水为t ，则把1x t -带入原方程中的1x ，依题意1y ≤0.2.，则得到不等式：
120.20.81510.1279()0.0015x t x ≥+--，把1x 带入不等式得到每年的t 值为:
2120.23260.07330.0015y x x =+-
把1x t -带入原方程中的1x ,依题意2y ≤0，则得到不等式：
1200.23260.0733()0.0015x t x ≥+--
把
x带入不等式得到每年的t值为:
1
要同时满足Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水这两个要求，。