北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题

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北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二)文科数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A B ð等于（ ）
A ．{|11}x x -<≤
B ．{|11}x x -<<
C ．{|1}x x <-
D ．{|1}x x ≤-
2．在复平面内，复数12i
z i
+=对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23
C y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3
π
个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
3π个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
3π
个单位长度，得到曲线2C
…装…………○……○…………线……不※※要※※在※※装※※订※※
…装…………○……○…………线……4．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )
A ．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B ．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C ．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D ．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟． 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）
A ．1：3
B ．1：4
C ．1：5
D ．1：6
6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m αββ⊥⊥，则//m α； B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥； C ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥；
D ．若//,,m m n βααβ⊂⋂=，则
//m n
7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切岗外的概率是（ ）． A ．
215
π
B ．
320
π C ．2115
π-
D ．3115
π-
8．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：
1212|]x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1
()f x x x
=+
(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-.
其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
…
…
订
…
…
…
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
…
…
订
…
…
…
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
9．曲线()2
x
f x xe
=+在点()
()
0,0
f处的切线方程为________．
10．若变量,x y满足则目标函数
20,
20,
360,
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
则目标函数4
z x y
=+的最大值为
________．
11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，
记第m行的第n个数为,m n
a，如
3,2
15
a=，若
,
2019
m n
a=，则m n
+=_______．
12．已知函数()|ln|
f x x
=，实数m、n满足0m n
<<，且()()
f m f n
=，若()
f x在
区间2
[,]
m n上的最大值是2，则n m的值为______.
13．设为所在平面内一点，，若，则
__________．
14．若圆221
x y
+=与圆22680
x y x y m
+---=相切，则m的值为________.
三、解答题
15．若数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
16．设函数()()(0,)
22
f x x
ππ
ωϕωϕ
=+>-<<的图象的一个对称中心为
,0
12
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
()1求ω和φ的值；
()2若(0)2
1242
f απ
πα⎛⎫+
=<< ⎪⎝⎭，求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 17．某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还
点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；
（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
将对返还点数的心理预期值在[)1,3和[]
11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有
1名“欲望膨胀型”消费者的概率.（参考公式及数据：①回归方程ˆa y bx
=-，其中12
2
ˆn
i i i n x y nxy
b
=-=∑，ˆa y bx
=-；②5
1
18.8i i
i x y
==∑.）
……○…………线※题※※
……○…………线18．如图，四棱锥 中， ， // ， ， 为正三角形. 且 .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若点 到底面 的距离为2， 是线段 上一点，且 //平面 ，求四面体 的体积.
19．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C 过点
，焦点 ，圆O 的直径为 ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于 两点．若 的面积为
，求直线l 的方程．
20．已知函数 ， .
（1）若 在区间 上不是单调函数，求实数 的范围；
（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 时，设 ，对任意给定的正实数 ，曲线 上是
否存在两点 ， ，使得 是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在 轴上？请说明理由.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】
由题得{|1B x x =<-或1}x >， {|1
}U A x x =…ð， ()
{|1}U A B x x ∴=<-ð.
故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．D 【解析】 【分析】
由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】
由题意可得：221222
21
i i i i z i i i ++-====--，
则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 【详解】
对于选项A, 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
3π
个单位长度，得到曲线11sin ()sin()2326
y x x ππ=-=-，所以选项A 是错误的； 对于选项B, 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
移
3π
个单位长度，得到曲线11sin ()sin()2326
y x x ππ=+=+,所以选项B 是错误的； 对于选项C,曲线1:sin C y x =，把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得
到sin 2y x =，再把得到的曲线向右平移3π
个单位长度，得到曲线22:sin(2)3
C y x π=-
，所以选项C 是正确的；
对于选项D, 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π
个单位长度，得到曲线2sin 2()sin(2)33
y x x ππ=+=+
，所以选项D 是错误的. 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 4．D 【解析】 【分析】
根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择. 【详解】
第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占15
20
=75%， 第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为
6872767779828383848586878788899090919192
84
20
+++++++++++++++++++=，
第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为
6565666869707172727374757676788184848590
20
+++++++++++++++++++
74.7=，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，
这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为7981，，中位数为7981
802
+=， 所以D 错误.选D. 【点睛】
本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题. 5．A 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】
解：由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，
设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：
1
21222
⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力. 6．D 【解析】 【分析】
在A 中，则//m α或m α⊂；在B 中，则n 与α相交、平行或n α⊂；在C 中，则α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得//m n ． 【详解】
由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，故A 错误；
在B 中，若//m α，n m ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故B 错误； 在C 中，若m α⊥，//n β，m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若//m β，m α⊂，n αβ⋂=，则由线面平行的性质定理得//m n ，故D 正确． 故选：D 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 7．C 【解析】 【分析】
求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案． 【详解】
13=，
设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =．
∴内切圆的面积为24r ππ=， ∴豆子落在内切圆外部的概率
42111
155122
P ππ=-
=-
⨯⨯，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
能力. 8．B 【解析】 【分析】
由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，
都有1212x x y y + 当且仅当1122
=x y x y 时取等，此时121200
00y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】
由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，
都有1212x x y y + 当且仅当
1122
=x y x y 时取等，此时121200
00y y x x --=--即A,O,B 三点共线， 结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()1
0f x x x x
=+
>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，
所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()1
0f x x x x
=+
>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为x
y e
=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数
()()0f x lnx x e =<<不是；
③()f x cosx =；④()2
4f x x =-．显然都是柯西函数.
故选：B 【点睛】
本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．20x y -+= 【解析】 【分析】
本题首先可以求出曲线()
2x
f x xe =+的导函数，然后将0x =带入曲线()
2x
f x xe =+中计算出纵坐标，再然后将0x =带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

【详解】
因为曲线()2x f x xe =+，所以()
x x
f x e xe ¢=+
将0x =带入曲线中可得()02f =，带入导函数中可得()
01f e ¢==，
所以曲线()
2x
f x xe =+在点()0,2处的切线方程为2y x -=，即20x y -+=。

【点睛】
本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题。

10．28 【解析】 【分析】
本题首先可以通过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，然后将目标函数化为直线方程的斜截式，通过数形结合即可得出最优解，最后带入目标函数中即可得出结果。

【详解】
如图所示，根据不等式组20,
20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
可画出可行域并求出可行域的三个顶点坐标为
(2,0)B 、(0,2)C 、()4,6D ，然后画出函数4x y =-的图像，通过对函数4x
y =-平移可知
过点D 时目标函数4z x y =+取最大值，最大值为44628z =+?。

【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题。

11．44 【解析】 【分析】
本题首先可以通过数列369
、、来确定2019是数列的第673项，然后通过计算前多少行共
有多少个数来确定第673项在哪一行，最后即可得出m
n 、的值并计算出结果。

【详解】
由题意可知，数列369、、是一个首项为3、公差为3的等差数列，
令数列369、、为数列{}n b ，则有3n b n =，2019是数列{}n b 的第673项，
再由图可知： 前1列共有1个数； 前2列共有123+=个数； 前3列共有1236++=个数； 前4列共有123410+++=个数；
；
前36列共有12336666++++=个数； 前37列共有12337703+++
+=个数；
所以2019是第37列第7个数，故44m n +=。

【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查数列的某一项的项数以及数列的前n 项和，考查推理能力以及计算能力，考查学生从题意中获取信息并寻找规律的能力，是中档题。

12．2e 【解析】
【分析】
本题首先可以根据()()f m f n =推导出n 与m 的关系，然后利用函数的单调性可得
2ln 2m =或ln 2n =，分别检验两种情况下的最大值是否为2，即可得结论。

【详解】
由题意以及函数()
ln f x x =的性质可得ln ln m n -=，所以1
m
n =，且01m n <<<, 因为函数()
ln f x x =在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，
所以2
ln 2m =或ln 2n =，
①当2ln 2m =时1e m =，又因为1
m n =，所以
n e =， 此时()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，满足题意； ②当ln 2n =时2n e =，21
e m =，
此时()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为41ln 4e =，不满足题意，
综上，n e =，1e m =，2n
m
e =， 故答案为2e 。

【点睛】
本题考查了函数的相关性质，主要考查对数函数的相关性质，考查含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

13．-3 【解析】 【分析】
直接利用向量的线性运算求出结果． 【详解】
∵ 为 所在平面内一点,
， ∴B ，C ，D 三点共线.若 ∴
， 化为： = + ，与 =−
+ ，比较可得：
，解得 . 即答案为-3. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
14．911-或 【解析】 【分析】
根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得m 的值. 【详解】
因为22680x y x y m +---=，所以()2
23(4)25x y m -+-=+,
1=1=，
解得9m =-或11. 【点睛】
本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题. 15．(1) 或 . (2)
.
【解析】
分析：（1）
，即
或 ， 或 ；(2) 由 ，可得 ，
，利用裂项相消法求和即可.
详解： （1）当 时， ，则
当 时，
，
即 或 ∴ 或 （2）由 ，∴ ，
∴
16．（1）2ω=，6
π
φ=-；（2）
8
【解析】 【分析】
()1根据图象上相邻两最高点与最低点之间的距离由勾股定理列方程可得ω，再根据对称中
心列式可解得ϕ；()2根据已知等式解得sin α，再得cos α，由和角的余弦公式可得． 【详解】
解：()1得2
2
121224ππωω⎛⎫+=+∴= ⎪ ⎪⎝⎭
函数()()f x x ωφ=+的图象的一个对称中心为,02,1212k k Z ππφπ⎛⎫
∴⨯+=∈
⎪⎝⎭
2
2
π
π
φ-
<<
∴6
π
φ=-
()
2由()1知：()26f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
1
2sin 212212644f απαππαα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫∴+=+-=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
02
π
α<<
∴cos 4
α=
∴()cos cos sin 422πααα⎛⎫
+=-== ⎪
⎝
⎭ 【点睛】
本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象性质确定其解析式，考查同角三角函数关系式和两角和差公式的应用，属基础题．
17．（1）0.320.08y t =+，返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（2）（i ）6x =，中位数的估计值为5.7，（ii ）见解析 【解析】 【分析】
(1)求出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程； 6x =代入线性回归方程求出对应的y 的值，即可预测返回6个点时该商品每天销量；(2)利用分层抽样方
法求得“欲望膨胀型”消费者与 “欲望紧缩型”消费者中抽取的人数，利用列举法得到所有的抽样情况共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】 （1）易知123450.50.61 1.4 1.7
3, 1.0455
x y ++++++++=
===，
12
2
2
2
2
2
5
1234555i i x =∑=++++=，1
2
22
1
18.853 1.04
=
0.325553
()ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
n x ==--⨯⨯==-⨯-∑∑， 1.040.3230.08ˆa y bx
=-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，
当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.
（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取m 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取n 人， 由分层抽样的定义可知
6301020
m n
==，解得2,4m n ==， 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：
共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的
情况有16种，记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则
()
16
0.820
P A =
=. 【点睛】
本题主要考查回归方程的求法与应用、分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，
12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….
3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
18．（1）见解析（2）
【解析】 【分析】
（Ⅰ）证明 ， ，可证平面 平面 ；
（Ⅱ）如图，连接 ， 交于点 ，因为 // ，由（Ⅰ）点 到平面 的距离为2，
所以点 到平面 的距离为
，所以由 可求四面体 的体积. 【详解】
（Ⅰ）证明： ，且 ， ，又 为正三角形，所以 ，又 ， ，所以 ， 又 ， // ， ， ， 所以 平面 ，又因为 平面 ， 所以平面 平面 .
（Ⅱ）如图，连接 ， 交于点 ，因为 // ，
且 ，所以 ，连接 ， 因为 //平面 ，所以 // ，则 ， 由（Ⅰ）点 到平面 的距离为2， 所以点 到平面 的距离为
，
所以
， 即四面体 的体积为 .
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.
19．（1），；（2）
【解析】
分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由（*）得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.
20．（1）；（2）;（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1），（2）
.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.
试题解析：解：（1）由
得，因在区间上不上单调函数
所以在上最大值大于0，最小值小于0
，
由，得
，且等号不能同时取，，即
恒成立，即
令，求导得
当时，，从而
在上是增函数，
由条件，
假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧
不妨设，则，且
是以为直角顶点的直角三角形，
是否存在等价于方程在且是否有解
①当时，方程为，化简，此方程无解；
②当时，方程为，即
设，则
显然，当时，，即在上为增函数
的值域为，即，当时，方程总有解
对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上
考点：1、利用导数求参数取值范围；2、恒成立的问题；3、探究性问题。