第53讲 圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题(达标检测)(教师版)

第42讲空间向量及其运算和空间位置关系（讲）
思维导图
知识梳理
1．空间向量及其有关概念
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间向量的坐标运算：
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
4．空间位置关系的向量表示
题型归纳
题型1 空间向量的线性运算
【例1-1】（2019秋•龙岩期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是1D D 的中点，点N 是1AC 上的点，且11
3
AN AC =，用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )
A ．1
2
a b c ++
B ．114555
a b c ++
C ．131
5105
a b c --
D ．121
336
a b c --
【分析】根据M 是1D D 的中点，11
3
AN AC =即可得出
11111111
()2323MN DD AD AC AA AD AA AD AB =--+=--+++，然后进行向量的数乘运算即可．
【解答】解：M 是1D D 的中点，11
3
AN AC =
∴MN MD DA AN =++
111123DD AD AC =--+1111()23AA AD AA AD AB =--+++1121
336AB AD AA =--
121
336
a b c =--． 故选：D ．
【例1-2】（2019秋•湘西州期末）如图已知正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是CC '的中点，1
2
a AA '=，
12b AB =，1
3
c AD =，AE xa yb zc =++，则( )
A ．1x =，2y =，3z =
B ．1
2
x =，1y =，1z = C ．1x =，2y =，2z =
D ．12x =
，1y =，32
z =
【分析】设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得1131
121122z y x ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
解得x ，y ，z ．
【解答】解：正方体ABCD A B C D ''''-，棱长为1，
以D 为原点，以AA '，DC ，DD '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
所以1(02a =，0，1)(0=，0，1)2，1(02b =，1，0)(0=，12，0)，1(13c =-，0，1
0)(3=-，0，0)，w
1
(1,1,)2
AE =-，
因为AE xa yb zc =++，
所以(1-，1，1)(02x =，0，1)(02y +，1
2，10)(3z +-，0，0)
1131
121122z y x ⎧
-=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
解得1x =，2y =，3z =， 故选：A ．
【跟踪训练1-1】（2019秋•咸阳期末）已知空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在线段OA 上，且3OM MA =，点N 为BC 的中点，则(MN = ) A ．121232
a b c -+
B ．321
432
a b c +-
C ．111
222
a b c +-
D ．311
422
a b c -++
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用OA ，OB ，OC 表示出MN 即可．
【解答】解：如图空间四边形OABC 中,,OA a
OB b OC c ===，
点M 在OA 上，且3OM MA =，
∴3
4
OM OA =，又N 为BC 的中点， ∴1
()2
ON OB OC =
+， ∴MN ON OM =-
13
()24OB OC OA =+-， 311
422
a b c =-++．
故选：D ．
【跟踪训练1-2】（2019秋•濮阳期末）如图，M 是三棱锥P ABC -的底面ABC ∆的重心，若
(PM xAP y AB z AC x =++、y 、)x R ∈，则x y z ++的值为( )
A ．13
-
B ．12
-
C ．
23
D ．1
【分析】可想着再用PA ，PB ，PC 表示PM ，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，
1()3AM AB AC =+，从而便可得到11
33
PM AP AB AC ==-++，由此可求出x y z ++．
【解答】解：如图，连结PM ，
M 是三棱锥P ABC -的底面ABC ∆的重心，
∴1()3
AM AB AC =+， ∴11
33
PM PA AM AP AB AC =+=-+
+， (PM xAP y AB z AC x =++、y 、)x R ∈，
1x ∴=-，1
3y z ==，
1
3
x y z ∴++=-．
故选：A ．
【名师指导】
进行向量的线性运算，有以下几个关键点
(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系． (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．
题型2 共线、共面向量定理的应用
【例2-1】（2020春•和平区期中）已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数(λ=
)
A ．13
-
B ．3-
C ．13
D ．6
【分析】由//m n ，可设km n =，可得1313k k k λ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，解出即可得出．
【解答】解：
//m n ，∴可设km n =，∴1313k k k λ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，
解得1
3
k λ==-．
故选：A ．
【例2-2】（2019秋•吉安期末）在四面体OABC 中，空间的一点M 满足11
46
OM OA OB OC λ=++
，若
,,MA MB MC 共面，则(λ= ) A ．
12
B ．13
C ．
512
D ．
712
【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论．
【解答】解：由,,MA MB MC 共面知，11146λ++=，解得7
12
λ=．
故选：D ．
【例2-3】（2019秋•驻马店期末）已知空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则实数k 的值是( ) A ．2
B ．4
C ．4-
D ．2-
【分析】空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，可得存在实数m ，使得AC mAB =，即可得出．
【解答】解：(1AB =，2，3)，(2AC =，4，2)k -，
空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上， 则存在实数m ，使得AC mAB =， ∴24223m
m k m =⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，解得2m =，4k =-． 故选：C ．
【跟踪训练2-1】（2019秋•资阳期末）已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)b x y =-+-，若//a b ，则(x y += ) A ．6-
B ．5-
C ．4-
D ．3-
【分析】由//a b ，可得存在实数k 使得ka b =，即可得出． 【解答】解：
//a b ，∴存在实数k 使得ka b =，
42123k x k y k -=⎧⎪
+=-⎨⎪-=⎩
，解得2k =-，1x =，4y =-． 则3x y +=-． 故选：D ．
【跟踪训练2-2】（2019秋•内蒙古期末）已知点(2A ，2，1)，(1B ，4，3)，
(4C ，x ，)y 三点共线，则x y -= ．
【分析】利用向量共线定理即可的．
【解答】1解：因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=． 因为(1,2,2),(2,2,1)AB AC x y =-=--， ∴122(2)2(1)x y λλλ-=⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
， 解得1
2
λ=-，2x =-，3y =-．
所以解得所以1x y -=． 故答案为：1．
【跟踪训练2-3】（2020春•和平区期中）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111
532
OM OA OB OC =++
C ．0MA MB MC ++
=
D ．0OM OA OB OC +++
=
【分析】利用空间向量基本定理进行验证，可得0MA MB MC ++=时，MA 、MB 、MC 是共面向量，从而可得M 、A 、B 、C 四点共面．
【解答】解：在C 中，由0MA MB MC ++=，得MA MB MC =--，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、
A 、
B 、
C 四点共面；
对于A ，由OM OA OB OC =--，得11111--=-≠，不能得出M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，由111532OM OA OB OC =++，得111
1532
++≠，所以M 、A 、B 、C 四点不共面；
对于D ，由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，其系数和不为1，所以M 、A 、B 、C 四点不共面． 故选：C ． 【名师指导】
共线、共面向量定理的类比
题型3 空间向量数量积的应用
【例3-1】（2019秋•岳麓区校级期末）棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且1
3
CG CD =，H 是1C G 的中点．
（1）证明：1EF B C ⊥． （2）求1cos ,EF C G <>． （3）求FH 的长．
【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，表示出各点的坐标； （1）利用10EF B C =，证明1EF B C ⊥；
（2）利用空间向量的数量积求出cos EF <，1C G >； （3）利用空间向量的模长公式计算||FH 的值．
【解答】解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示； 则(0E ，0，1)，(1F ，1，0)，1(2B ，2，2)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)； （1）
(1EF =，1，1)-，1(2B C =-，0，2)-，
∴11(2)101(2)0EF B C =⨯-+⨯-⨯-=，
∴1EF B C ⊥，
1EF B C ∴⊥；
（2）由13CG CD =知，(0C ，2，0)，(0G ∴，43，0)，∴1(0C G =，2
3
-，2)-，
∴12
4101()1(2)33
EF C G =⨯+⨯--⨯-=
， ||3EF =
，21||0C G =，
cos
EF ∴<，1114||||3EF C G C G EF C G >===
⨯； （3）H 为1C G 的中点，(0H ∴，5
3
，1)，
(1F ，1，0)，
∴(1FH =-，
2
3
，1)，
||(FH ∴=-=
， 即FH ．
【例3-2】（2019秋•天津期末）已知空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，则实数(m = ) A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得m 的值． 【解答】解：空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =
-，若a b ⊥，
∴100a b m =-+=，求得实数1m =，
故选：C ．
【跟踪训练3-1】（2019秋•梅河口市校级期末）已知(2a =，1，3)-，(0b =，3-，2)，(2c =-，1，2)，则()(a b c += )
A ．18
B ．18-
C ．
D ．-【分析】可以求出(2,2,4)b c +=--，然后进行向量数量积的坐标运算即可． 【解答】解：(2,2,4)b c +=--，(2,1,3)a =-，
∴()421218a b c +=---=-．
故选：B ．
【跟踪训练3-2】（2019秋•秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，则1AC 的长为( )
A ．3
B C ．6
D
【分析】由11AC AB AD AA =++，可得
2222
211111()222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++++，即可得出．
【解答】解：11AC AB AD AA =++，
则2
2
2
2
211111()222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++++ 1113211cos60=+++⨯⨯⨯⨯︒ 6=．
∴1||6AC =．
故选：D ． 【名师指导】
空间向量数量积的3个应用
题型4 利用空间向量证明平行或垂直
【例4-1】（2019秋•汉中期末）在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF 的长
（2）证明：//EF 平面11AA D D ； （3）证明：EF ⊥平面1
ACD ．
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF 的坐标表示，代入长度公式求解； （2）求出1AD 的坐标表示，关键坐标关系判断1//EF AD ，再利用线面平行的判定定理证明；
（3）利用0CD EF =，10EF A D =，可证直线EF 垂直于CD 、1A D ，再利用线面垂直的判定定理证明． 【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则1(2A ，0，2)，(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，(0C ，2，0)，1(0D ，0，2)，(0D ，0，0)，
E ，
F 分别为AB ，1A C 的中点，(2E ∴，1，0)，(1F ，1，1)，(1EF =-，0，1)，
||1EF ∴=+
（2）
1(2AD =-，0，2)2EF =，1//EF AD ∴，
又1AD ⊂平面11AA D D ，EF ⊂/平面11AA D D ， //EF ∴平面11AA D D ．
（3）(0CD =，2-，0)，1(2A D =-，0，2)-，
0CD EF =，
10EF A D =，EF CD ∴⊥，1EF A D ⊥，又1CD
A D D =，
EF ∴⊥平面1
ACD ．
【跟踪训练4-1】如图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 在PD 上，N 在AC 上，若DM CN
MP NA
=
，用向量法证明：直线//MN 平面PAB ．
【分析】建立空间坐标系，设A ，C ，P 三点坐标，用此三点的坐标表示出MN ，BP ，BA ，然后观察能否用,BP BA 表示出MN 即可判断线面是否平行．
【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，设(C a ，0，0)，(0A ，b ，0)，(P m ，n ，)p ，则(D a ，b ，0)，
∴(BP m =，n ，)p ，(0BA =，b ，0)，(CA a =-，b ，0)，(DP m a =-，n b -，)p ，(0DC =，b -，
0)，
DM CN
MP NA =，∴DM CN DP CA =，设DM CN
DP CA λ==，
则(DM DP m a λλλ==-，n b λλ-，)p λ，(CN CA a λλ==-，b λ，0)．
∴(MN DM DC CN m λ=-++=-，2b n b λλ--，)p λ-，∴(21)MN BP BA λλ=-+-．
BP ⊂平面PAB ，BA ⊂平面PAB ，MN ⊂/平面PAB ，//MN ∴平面PAB ．
【跟踪训练4-2】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．
【分析】建立空间直角坐标系D xyz -，求出D ，A ，C ，1C ，E ，F ，1B ，的坐标，求出1FC ，DA ，AE ． （1）利用向量的数量积为0求出平面ADE 的法向量，通过向量的数量积推出11n FC ⊥，利用直线与平面平行的判定定理证明1//FC 平面ADE ．
（2）求出平面11B C F 的一个法向量．与平面ADE 的法向量，通过向量共线证明，平面//ADE 平面11B C F ． 【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系D xyz -，
则有(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)， (2E ，2，1)，(0F ，0，1)，1(2B ，2，2)，
所以1(0FC =，2，1)，(2DA =，0，0)，(0AE =，2，1)．
（1）设11(n x =，1y ，1)z 是平面ADE 的法向量，则1n DA ⊥，1n AE ⊥， 即11
111
22n DA x n AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩⇒11102x z y =⎧⎨=-⎩，令1121z y =⇒=-，
所以1(0n =，1-，2)因为11220n FC =-+=，所以11n FC ⊥， 又因为1FC ⊂/平面ADE ， 即1//FC 平面ADE ．
（2）因为11(2C B =，0，0)，设22(n x =，2y ，2)z 是平面11B C F 的一个法向量． 由21n FC ⊥，211n C B ⊥，得21222112
20
20n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨
==⎪⎩⇒22202x z y =⎧⎨=-⎩． 令2221z y =⇒=-，所以2(0n =，1-，2)，
所以12n n ，所以平面//ADE 平面11B C F ．
【名师指导】
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题．。