小学数学5年级培优奥数讲义 第03讲-鸡兔同笼问题(教师版)

第03讲 鸡兔同笼问题

掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题；

掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题.

大约一千五百年前,我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：

今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何？

意思是：笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚.鸡和兔各有几只？

这就是著名的“鸡兔同笼”问题.如何解决这道数学趣题,就是我们今天要学习的内容. 解决鸡兔同笼问题的主要方法有：

1、砍足法(抬腿法)

解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”．这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1．因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512-=(只)．显然,鸡的只数就是351223-=(只)了．

2、假设法(经典)

鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔,那么则有：

鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

教学目标 知识梳理

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡,那么就有：

兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

鸡数=鸡兔总数-兔数

3、方程法

根据鸡兔的脚之和列方程解答.

典例分析

考点一：图解法和列表法

例1、鸡兔同笼,有20个头,54只脚,鸡兔各多少只？

【解析】从有1只鸡开始一个一个地试,把试的结果列成表格.

头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)

2011978

2021876

2031774

2041672

20………

2013754

刚好,13只鸡,7只兔.这样做太麻烦,先假设兔和鸡各占一半.

头(个)鸡(只)兔(只)脚(只)

20101060>54

2011958

2012856

2013754

先假设兔和鸡各占一半,根据脚的总数量与实际数量的大小关系,确定减少鸡还是兔,这样就减少列举的次数.

例2、有鸡兔共30只,兔脚比鸡脚多60只,问鸡兔各多少只？

【解析】可以用列表的方式,先假定鸡兔各占一半,

头(个)鸡(只)兔(只)鸡脚兔脚鸡兔脚之差

301515306030

301416286436

301317266842

301218247248

301119

2

652

301020208060

所以10只鸡20只兔.

点评：从表中可以看出：增加一只兔,减少一只鸡,它们的脚数差增加6.同样,减少一只兔,增加一只鸡,它们的脚数差减少6.也就是说,用一只鸡换一只兔,脚数差的变化为6只.

例3、笼子里有鸡和兔共8只,一共22条腿.鸡和兔各有几只？

,现在我们用另一种方法——图解法来解答.

第一步：先画8表示鸡兔共有8个头.

第二步：给每个头都配上2条腿,共16条腿,这样8只全是鸡.

第三步：把剩下的6条腿配在3个图上,这样2条腿的有5个,4条腿的有3个.也就是有5只鸡,3只兔.

把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿

8×2=16(只)

还剩下6条腿：22-16=6(只)

再把6条腿加在3只鸡上,就变成3只兔.6÷2=3(只)

考点二：假设法

例1、有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只？

【解析】假设20只全是鸡,那么就有鸡脚20×2=40只,比实际少了44-40=4只,是因为每只兔少算了4-2=2只脚,所以兔有4÷2=2只.鸡有20-2=18只.

例2、鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只？

【解析】假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多

200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180(只).

现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6(只),而180÷6＝30,因此有兔子30只,鸡100-30＝70(只).

解：有兔(2×100-20)÷(2＋4)＝30(只),

有鸡100-30=70(只).

答：有鸡70只,兔30只.

例3、现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克.问：大、小瓶各有多少个？

【解析】小瓶有(4×50-20)÷(4＋2)＝30(个),

大瓶有50-30＝20(个).

答：有大瓶20个,小瓶30个.

例4、彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元.问：两种文化用品各买了多少套?

【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚.这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了.

买了16套彩色文化用品,则共需19×16＝304(元),比实际多304－280＝24(元),是因为普通文化用品每套多算了19—11＝8(元),所以买普通文化用品24÷8＝3(套),买彩色文化用品16－3＝13(套).

例5、100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人?

【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解.

假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300—140＝160(个).现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3—1＝2(个),因为160÷2＝80,故小和尚有80人,大和尚有100—80＝20(人).同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试.

在下面的例题中,我们只给出一种假设方法.