高三复数总复习知识点、经典例题、习题

⾼三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数
⼀．基本知识
【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平⽅
等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平⾯：建⽴直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫复平⾯；z a bi =+，对应点
坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
【2】复数的基本运算
设111z a b i =+，222z a b i =+
（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-
【3】复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的⽅法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-=
=?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=
≠+，当c d a b
=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi
+==+进⼀步建⽴⽅程求解⼆．例题分析
【例1】已知()14z a b i =++-，求
（1）当,a b 为何值时z 为实数
（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数
（3）当,a b 为何值时z 为虚数
（4）当,a b 满⾜什么条件时z 对应的点在复平⾯内的第⼆象限。

【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为
A ．1-
B ．0
C 1
D ．1-或1
【变式2】求实数m 的值，使复数22(23)(34)m
m m m i --+--分
别是：
（1）实数。

（2）纯虚数。

（3）零
【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z 【变式1】(1)设,,(1)232(1)x y R x xi
y y i ∈+-=-+-求,x y 的值。

(2)
(22)(4)0x i y i ++-=求,x y 的值。

【变式2】设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =（）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
【例3】已知1z i =-，求z ，z z ?；
【变式1】复数z 满⾜21i z i -=
-，则求z 的共轭z
【变式2】已知复数z =
z z ?= A.
14 B.12 C.1 D.2
【变式3】若复数z 满⾜(1)1z i i +=-，则其共轭复数z -
=________________
【例4】已知12z i =-，232z i =-+
（1）求12z z +的值；
（2）求12z z ?的值；
（3）求12z z ?.
【变式1】已知复数z 满⾜()21z i i -=+，求z 的模.
【变式2】若复数()2
1ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.
【变式3】已知21z i i
-
=++，则复数z =（） A ．13i -+ B ．13i - C ．3i + D ．3i -
【例5】下⾯是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2 p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34
【例6】若复数()312a i z a R i
+=∈-（i 为虚数单位），（1）若z 为实数，求a 的值
（2）当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值..
【变式2】若()3,1y i z x y R xi +=
∈+是实数，则实数xy 的值是 .
【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第⼏象限？
【变式1】i 是虚数单位,41i (
)1-i +等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式3】i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是
（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15
【例8】复数73i
z i -=+= （）
（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --
【变式1】已知i 是虚数单位，3
2i 1i =- （）
Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i
i --= （）
A 2i +
B 2i -
C 12i -+
D 12i --
【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i
i -+=+（）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式4】.已知i 是虚数单位，则()
=-+113i i i （）
(A)1- (B)1 (C)i - (D)i
⾼⼆数学复数测试题
⼀、选择题
1．若复数3i z =-，则z 在复平⾯内对应的点位于
A ．第⼀象限
B ．第⼆象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．计算1i
i +的结果是（）。