高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
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(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，
所以 xy=1600，
分析：
所以 x≥240000+720*2
贮水池呈长方体形，它的高是 3m，池底的边长没有确
当x=y=40时，等号成立。此时z=297600。
定，如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就
所以，将贮水池的池底设计成边长为 40 m 的正
确定了。因此，应当考察池底的边长取什么值时，水
方形时总造价最低，最低总造价是297 600元。
池的总造价最低.
必修一
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第二节：基本不等式
CONTENTS
目录
1、基本不等式的定义
2、基本不等式的证明
3、基本不等式的几何解释
4、基本不等式的应用
2.2.1
基本不等式的定义
定义
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在
解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题
解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
由于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?
式表示为
+
≤
显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
基本不等式的应用
应用
1
例1：已知x＞0，求x+ 的最小值。
解答：
因为x＞0，所以会有
1
1
x+ ≥2* ∗ =2
1
当且仅当x= ，即x²=1，x=1时，等号成立。
因此所求最小值为2.
应用
例2：已知x，y 都是正数，求证：
(1) 如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，
和x+y 有最小值 2 。
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
解答：
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，
所以 xy=1600，
分析：
所以 x≥240000+720*2
贮水池呈长方体形，它的高是 3m，池底的边长没有确
当x=y=40时，等号成立。此时z=297600。
定，如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就
所以，将贮水池的池底设计成边长为 40 m 的正
确定了。因此，应当考察池底的边长取什么值时，水
方形时总造价最低，最低总造价是297 600元。
池的总造价最低.
必修一
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第二节：基本不等式
CONTENTS
目录
1、基本不等式的定义
2、基本不等式的证明
3、基本不等式的几何解释
4、基本不等式的应用
2.2.1
基本不等式的定义
定义
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在
解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题
解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
由于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?
式表示为
+
≤
显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
基本不等式的应用
应用
1
例1：已知x＞0，求x+ 的最小值。
解答：
因为x＞0，所以会有
1
1
x+ ≥2* ∗ =2
1
当且仅当x= ，即x²=1，x=1时，等号成立。
因此所求最小值为2.
应用
例2：已知x，y 都是正数，求证：
(1) 如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，
和x+y 有最小值 2 。
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
解答：
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平