2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解

专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、
定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算
的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
a∥α，a⊂β，
2.
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β
)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n
D ．若m //α，m ⊂β，α
β＝n ，则m //n
例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.
（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，
β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥
B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥
C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥
D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】
直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定
例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、
1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：
①//EF 平面1ADB ；
②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.
例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）
A．B．
C．D．
例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC
【总结提升】
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．
题型三：线面平行性质定理的应用
例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，
AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .
例10.如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两
点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .
证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．
【总结提升】 1.思路方法：
(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质
例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）
A
．B ．C ．D ．6
例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和
AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．
例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F
分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF
例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底
面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.
（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;
（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、
定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算
的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
a∥α，a⊂β，
2.
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β
)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，α
β＝n ，则m //n
【答案】D 【解析】 【分析】
举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】
如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，
对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正
确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；
A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于C，直线AB视为m，直线11
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.
故选：D
例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.
（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.
（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.
（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.
【详解】
由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.
故选：D
例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C
【解析】
【详解】
若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））
若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥
B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥
C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥
D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面，面面位置关系逐项分析即得.
【详解】
对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；
对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；
对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；
对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.
故选：A ．【方法技巧】
直线、平面间平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
题型二：直线与平面平行的判定
例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：
①//EF 平面1ADB ；
②//EM 平面1ADB ；
③//EN 平面1ADB ；
④1//A M 平面1ADB ，
错误的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.
【详解】
连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，
在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，
所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，
D 、
E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，
故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，
CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，
同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，
则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，
1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，
1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；
对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，
因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，
同理可知，②④均错.
故答案为：①②④.
例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，
点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.
【详解】
因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，
又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，
又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，
而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .
【总结提升】
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用
例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
【解析】
【分析】
根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.
【详解】
如图:
因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,
所以//EF AC ,
又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12
EF AC =,
因为正方体的棱长为2.所以AC =
所以EF =
故答案为.
例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，
M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
【答案】见解析
【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝1
2
B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝
1
2
A1D．
由题设知A1B1//
=
DC，可得B1C
//
=
A1D，故ME
//
=
ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．
又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B．
【答案】见解析
【解析】证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
【总结提升】
1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．
(2)利用线面平行性质必须先找出交线．
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用.
题型四：平面与平面平行的判定与性质
例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）
A
．B ．C ．D ．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解
【详解】
如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,
由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，
所以BF GH ∥；
又易知AF BG ∥，
故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；
又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，
所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，
过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，
由题意可知BD GH DH BG DQ ====
所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH
又BD BH ==，
所以故当M 与D 点重合时，
BM 的值为最大值，此时BM BD ==
例12.
（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合
CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】
由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以
CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.
【详解】
证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22
DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，
所以1DE C F =，且1//DE C F ，
所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，
所以1//EC 平面BDF .
同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .
又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥
平面ABCD, 1AB AA =
（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;
（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．
（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O=
==1，
∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=
•A 1O=×1=1．
【规律方法】
1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2.面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。