江西省南昌市第二中学2018届高三数学下学期周考试题文

南昌二中2018届高三二轮复习周考（五）
高三数学（文）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．已知集合{}
A x x a =<， {}
2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a <
B. 1a ≤
C. 2a >
D. 2a ≥
2．已知i 是虚数单位， z 是z 的共轭复数， ()1i
1i 1i
z -+=+，则z 的虚部为（ ） A.
1
2
B. 1
2
-
C.
1
i 2
D. 1i 2
-
3．已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,
,8i i i A x y i =，回归直线方程
为ˆ1
2y
x a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（ O 为原点），则a = （ ） A. 18 B. 1
8-
C.
1
4
D. 14
-
4．如图所示的程序框图是为了求出满足2
228n
n ->的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ） A. 和6 B. 和6 C.
和8
D.
和8
5．直线40x y m ++=交椭圆2
2116
x y +=于A B 、两点，若线段AB 中 点的横坐标为1，则m =（ ） A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
6．已知数列{}n a 为等差数列，且满足12017OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点
O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D.
1
2
7．已知函数()sin cos f x x x =，则下列说法错误的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线2
x π
=
对称 B. ()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C. 若()()12f x f x =,则()124
x x k k Z π
π+=
+∈ D. ()f x 的最小正周期为2π 8．若实数,x y 满足不等式组20,
{210, 0,
x y x y y ++≥++<≥， 1,1m y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 1,21n x ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，则m n ⋅的取值范围为（ ）
A. 32⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
，
B. [
)2,+∞ C. 1,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
D. [)1,2,2⎛
⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.
16
3
π B.
11
2
π
C.
17
3
π D.
356
π 10．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数,函数()g x 是R 上的奇函数，函数
()()()1
1
g x h x f x =
++，则
()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=( )
A. 0
B. 2018
C. 4036
D. 4037
11．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1,F y 轴上的点P 在椭圆外，且线段1PF 与
椭圆E 交于点M ，若13
3
OM MF OP ==
，则E 椭圆的离心率为（ ） A.
1
2
B.
3
2 C. 31- D.
31
2
+ 12．若函数()122log (0)x x f x e x a a -=+->在区间()0,2内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 22,2e
⎛⎫
⎪⎭
B. (]0,2
C. 222,2e +⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 34
242,2e +⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13．已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x
f x e m =+（m 为常数），
则()ln5f -的值为 .
14．在圆2
2
:(3)3C x y -+=上任取一点P ,则锐角6
COP π
∠<(O 为坐标原点)的概率是
______．
15．如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点
C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点
D ，从点可以观察到
点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；并测量得到 一些数据： 2CD =， 23CE =， 45D ∠=︒， 105ACD ∠=︒，
48.19ACB ∠=︒， 75BCE ∠=︒， 60E ∠=︒，则A 、B 两点之
间的距离为__________．（其中cos48.19︒取近似值23
）
16．正四面体A —BCD 的所有棱长均为12，球O 是其外接球，M ，N 分别是ABC ACD ∆∆与的重心，则球O 截直线MN 所得的弦长为________.
三、解答题 (本大题共70分=12×5+10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知在数列{}n a 中， 11a =， 12n
n n a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
18．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据： 月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y
1
1
2
3
5
4
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数
r 加以说明；(系数精确到0.01)；
(2)建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆy
bx a =+(系数精确到0.01)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01). 参考数据：
1
(11)(3)74.5
n
i
i
i x y =--=∑，
2
1
(11)
340n
i
i x =-=∑，
2
1
(3)
16.5n
i
i y =-=∑，
34018.44≈，16.5 4.06≈，其中i x ，i y 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，
1,2,3,i = (8)
参考公式：
①样本(,)(1,2,i i x y i =……,n)的相关系数1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑.
②对于一组数据11(,)x y ，22(,)
x y ，……
(,)n n x y ，其回归方程ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆˆa
y bx =-.
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，
Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.
（1）当1λ=时，求证：平面//BEF 平面1A DQ ；
（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存
在，请说明理由.
20．已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1.
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N .设线段AB ， MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值.
21．已知函数2
()21(ln 1)f x x x a x x =-++-+（其中a R ∈,且a 为常数）. (1)若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若方程()10f x a ++=在(0,2]x ∈上有且只有一个实根，求a 的取值范围.
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()11f x m x x =---+.
（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值
范围.
南昌二中2018届高三二轮复习周考（五）
高三数学（文）试卷参考答案 命题人： 张 婷 审题人: 何雅敏
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．已知集合{}
A x x a =<， {}
2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a <
B. 1a ≤
C. 2a >
D. 2a ≥
【答案】D 【解析】{}
()23201,2B x x x =-+<=，∵A B B ⋂=，∴B A ⊆∴2a ≥故选：D
2．已知i 是虚数单位， z 是z 的共轭复数， ()1i
1i 1i
z -+=+，则z 的虚部为（ ） A.
12 B. 12- C. 1i 2 D. 1i 2
- 【答案】A 【解析】由题意可得： ()
2
111111
22222
1i
i z i i i i --=
=
=-=--+， 则1122z i =-
+，据此可得， z 的虚部为1
2
.本题选择A 选项. 3．已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,
,8i i i A x y i =，回归
直线方程为ˆ1
2y
x a =+，若()1186,2OA OA OA ++
+=，（ O 为原点），则a = （ ）A. 18 B. 18- C. 14 D. 1
4-
【
答
案
】
B
【
解
析
】
因
为
118OA OA OA +++=
()()()128128,8,86,2x x x y y y x y ++
+++
+==，
所以3186,82,44x y x y ==⇒=
=，因此1131
+4248
a a =⨯∴=-，选B. 4．如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ）A.
和 6 B.
和 6 C.
和8 D.
和8
【答案】D 【解析】空白框中n 依次加2可保证其为偶数，排除A ，C
时，，
时，
所以D 选项满足要求．故选：
D ．
5．直线40x y m ++=交椭圆2
2116x y +=于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m =（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A 【解析】
40x y m ++=， 144
m
y x ∴=--
设()11A x y ，， ()22B x y ，2
2112
2
221
16
{ 116
x y x y +=+=，两式相减，()121212121164y y x x x x y y -+=-=--+AB 中点的横坐标
为1则纵坐标为
14将114⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线144
m
y x =--，解得2m =- 6．已知数列{}n a 为等差数列，且满足12017OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点
O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
2
【答案】D 【解析】∵数列{a n }为等差数列，满足12017OA a OB a OC =+， 其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，∴a 1+a 2017=1， ∵数列{a n }是等差数列，∴{a n }的1009121072a a a =+=1， 10091
2
a =.故答案为：D 。

7．已知函数()sin cos f x x x =，则下列说法错误的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线2
x π
=对称 B. ()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减
C. 若()()12f x f x =，则()124
x x k k Z π
π+=
+∈ D. ()f x 的最小正周期为2π
【答案】C 【解析】∵()sin cos f x x x ==12,22{, 12,22
sin x k x k k Z sin x k x k π
πππ
πππ<≤+∈-+<≤+， 故函数的图象关于直线x=kπ+
2
π
，k∈Z 对称，故A 正确；
f（x）在区间
35
,
44
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上单调递增，故B正确；
函数|f（x）|的周期为
2
π
，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+
1
2
kπ（k∈Z），故C错误；
f（x）的周期为2π中，故D正确；故选：C．
8．若实数,x y满足不等式组
20,
{210,
0,
x y
x y
y
++≥
++<
≥
，
1
,
1
m y
x
⎛⎫
= ⎪
+
⎝⎭
，
1
,2
1
n
x
⎛⎫
= ⎪
+
⎝⎭
，则m n⋅的取值范围为（）
A.
3
2
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
， B. [)
2,+∞ C.
1
,2
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ D.
[)
1
,2,
2
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
【答案】A
【解析】作出可行域，如图：
∵
1
,
1
m y
x
⎛⎫
= ⎪
+
⎝⎭
，
1
,2
1
n
x
⎛⎫
= ⎪
+
⎝⎭
，∴
2
1
y
m n
x
+
⋅=
+
，
记
2
1
y
z
x
+
=
+
表示可行域上的动点与()
12
--
，连线的斜率，
()
A3,1
-，()
B1,0
-，()
A2,0
-
由图不难发现
23
12
y
x
∞
+⎛⎫
∈--
⎪
+⎝⎭
，
故选：A
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体
积为（ ） A.
163π B. 112π C. 173π D. 356
π 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个1
4
圆锥，且挖掉一个相同的
1
4
圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积3216
33
V r ππ==，故选A.
10．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数
()()()1
1
g x h x f x =
++，则
()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=
（ ）A. 0 B. 2018 C. 4036 D. 4037
【答案】D 【解析】因为函数()f x 既是二次函数又是幂函数，所以
()()()2
211g x f x x h x x =∴=
++，
因此()()()()()()2
2
0112,0111
1
01
g x g x g h x h x h x x -+-=
++
+==
+=+++，因此
()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h +++
+++-+-+-+-=
20182+1=4037⨯，选D.
11．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1,F y 轴
上的点
P 在椭圆外，且线段1PF 与椭圆E 交于点M ，若
13
3
OM MF OP ==
，则E 椭圆的离心率为（ ） A.
1
2
B. 3
C. 31-
D. 31+
【答案】C 【解析】因为13
3
OM MF OP ==，所以130F PO ∠= 1260MF F ∠=，连接
2MF ，则可得三角形12MF F 为直角三角形，在12Rt MF F ∆中， 12,3MF c MF c ==，则32c c a +=，则离心率3131
c e a =
==-+，故选C. 12．若函数()122log (0)x x f x e x a a -=+->在区间()0,2内有两个不同的零点，则实数a 的
取值范围为（ ）A. 22,2e ⎛⎫ ⎪⎭ B. (]0,2 C. 222,2e +⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 34
242,2e +⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】当2a =时, ()1
1220x x f x e x x e --=+-=>在定义域上没有零点,故排除,A B 两个选项.当22a =时, ()1
1242x x f x e x x e x --=+-=-,令()120x f x e --'==,
解得ln212x =+<,故函数在
()0,ln21+上递减,在
()
ln21,2+上递增,而
()()00,10f f ><, ()240f e =-<,所以在区间()0,2上至多有一个零点,不符合题意,
排除C 选项.故选D.
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13．已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x
f x e m =+（m 为常数），
则()ln5f -的值为
【答案】-4试题分析：由题设函数()f x 是奇函数,故01)0(0
=+=+=m m e f ,即1-=m ,
所以4151)5(ln )5ln (5
ln -=+-=+-=-=-e
f f ,故应选B.
14．在圆2
2
:(3)3C x y -+=上任取一点P ，则锐角6
COP π
∠<(O 为坐标原点)的概率是
______． 【答案】
2
3
【解析】当6
COP π
∠=
时，OP 的方程为30x y ±=，圆心到直线OP 的距离为：
32d =，又圆C 的半径为3，此时弦所对的圆心角为3π
，所以所求概率为：2
23123
P π
π⨯=-= 15．如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点可
以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；
并测量得到一些数据： 2CD =， 23CE = 45D ∠=︒， 105ACD ∠=︒， 48.19ACB ∠=︒， 75BCE ∠=︒， 60E ∠=︒，
则A 、B 两点之间的距离为__________．（其中cos48.19︒取近似值
2
3
） 10中，∠A=30°由正弦定理得AC=sin30︒
︒
CDsin45=22在△BCE 中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC=
CE 60sin45︒
︒
sin =32在△ABC 中，由余弦定理
AB 2
=AC 2
+BC 2
10．故答案为：10．
16．正四面体A —BCD 的所有棱长均为12，球O 是其外接球，M ，N 分别是ABC ACD ∆∆与的重心，则球O 截直线MN 所得的弦长为_______.
16．【解析】正四面体A BCD -可补全为棱长为2的正方体，所以球O 是正方体的外接球，其半径3
236R =
=，设正四面体的高为h ，则()
2
2124346h =-=
故164OM ON h ==
=，又1
43
MN BD ==,所以O 到直线MN 的距离为()
2
2
622-=O 截直线MN 所得的弦长为()()
2
2
2
362413-=
三、解答题 (本大题共70分=12×5+10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知在数列{}n a 中， 11a =， 12n
n n a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
【答案】(1) 122
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶 (2) 当n 为奇数时， n S = 21
4
n -,当n 为偶数时， n S =
2
4
n . 试题解析：（1）因为12n n n a a +=，所以当2n ≥时， 1
12n n n a a --=，所以
1
1
2n n a a +-=，
所以数列{}n a 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列.又11a =， 21
2
2a a =
=， 所以当n 为奇数时， 112
2
12
2
n n n a --=⋅=； 当n 为偶数时， 12
2
22
2n n n a -=⋅=，
所以122
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶.
（2）因为11a =， 12n
n n a a +=， 2log n n b a =，所以1n n b b n ++=.
讨论：当n 为奇数时， ()()()123451n n n S b b b b b b b -=+++++++ ()21
02414
n n -=++++-=；
当n 为偶数时， ()()()12341n n n S b b b b b b -=++++
++ ()2
1314
n n =++
+-=.
18．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量
1
1
2
3
5
4
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(系数精确到
)；
(2)建立关于的回归方程
(系数精确到
)；如果该公司计划在9月份实现产品销量
超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到
).
参考数据：，，
，，，
其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.
参考公式：
(1)样本的相关系数.
(2)对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估
计分别为，.
【答案】（1）见解析；（2）万元. 解析：（1）由题可知
，
将数据代入得
因为与的相关系数近似为0.995，说明与的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合与的的关系.（需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分）
（2）将数据代入得
所以关于的回归方程
由题
解得
，即至少需要投入促销费用
万元.
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，
Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.
（1）当1λ=时，求证：平面//BEF 平面1A DQ ；
（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）1
3
λ=
试题解析：（1）1λ=时， Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点， 所以,//ED BQ ED BQ =，则四边形BEDQ 是平行四边形， 所以//BE QD .
又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以//BE 平面1A DQ . 又F 是1A A 中点，所以1//EF A D ，
因为BF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以//EF 平面1A DQ .
因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面//BEF 平面1A DQ . （2）连接,AQ BD 与FQ ，
因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥. 若1,,BD FQ A A FQ ⊥⊂平面1A AQ ，所以BD ⊥平面1A AQ . 因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.
在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得~AQB DBA ∆∆， 所以， 2
AB AD BQ =⋅. 又1,2AB AD ==，所以， 13
,22
BQ QC =
=， 则
13BQ QC =，即1
3
λ=. 20．已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1.
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N .设线段AB ，
MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值. 【答案】（1）2
4y x = （2）过定点()3,0，（3）4
解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线. ∵2p =，∴抛物线方程为： 2
4y x =
（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭.
由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.
由()
24{
1y x
y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=. ()
24224416160k k k ∆=+-=+>.
因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()121212
244
2,2x x y y k x x k k
+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2
221,k k ⎛
⎫+
⎪⎝⎭.由题知,直线2l 的斜率为1
k
-，同理可得点Q 的坐标为()2
12,2k k +-.
当1k ≠±时，有222
112k k
+
≠+，此时直线PQ 的斜率2
222221112PQ k
k k k k k k
+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()
2
2
2121k y k x k k
+=
---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；
当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .
（Ⅲ）可求得2EF =.所以FPQ ∆面积1
212242S FE k
k k k ⎛⎫⎛⎫
=
+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 当且仅当1k =±时，“= ”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4.
21．已知函数2
()21(ln 1)f x x x a x x =-++-+（其中a R ∈,且a 为常数）. (1)若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若方程()10f x a ++=在(0,2]x ∈上有且只有一个实根，求a 的取值范围. 【答案】（1）
；（2）
或
或
试题解析：解（1）… 当时,对
于恒成立,在上单调递增 ,此时命题成立；
当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有
.这与题设矛盾.故的取值范围是
…
（2）依题意
,设
,原题即为若
在
上有且只有一个零点,求的取值范围. 显然函数与
的单调性是一致的. 当
时,因为函数
在区间
上递减,
上递增,所以
在
上的最小值为
,由于
,要使在上有且只有一个零点,需满足或
,解得或; ‚当时,因为函数在上单调递增,且
,所以此时在上有且只有一个零点;
ƒ当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递
增,
又因为
,所以当
时,总有
,
,
所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,
在上有且只有一个零点.
综上所述,当或
或
时,方程
在
上有且只
有一个实根.
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．
【答案】（1）
,（2）
试题解析：解：（1）曲线
的普通方程为
曲线
的直角坐标方程为:
.
（2）的参数方程的标准形式为为参数)代入得
设是对应的参数,则
23．已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 3
32
2x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩
⎭
(2) 4m ≥ 试题解析：（1）当5m =时， ()()
()()
521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为
3322x x ⎧⎫
-<<⎨
⎬⎩
⎭
. （2）由二次函数()2
22312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()
()()
21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数
223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。