1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(2)

4．棱锥的分类： ．棱锥的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱锥、 ）按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等， 四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面 体!
三棱锥 四面体） （四面体）
四棱锥
五棱锥
（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 ）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 并且水平放置， 它的顶点又在过正 顶点又在过 形，并且水平放置， 它的顶点又在过正 多边形中心的铅垂线上 多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做 S 正棱锥! 正棱锥
已知正四棱锥V－ 例2. 已知正四棱锥 －ABCD，底面面积为 ， 16，一条侧棱长为 ，计算它的高和斜高。 ，一条侧棱长为2，计算它的高和斜高。 为正四棱锥V－ 解：设VO为正四棱锥 － 为正四棱锥 ABCD的高，作OM⊥BC于 的高， 的高 ⊥ 于 中点， 点M，则M为BC中点， ， 为 中点 连接OM、OB，则 、 ， 连接 VO⊥OM，VO⊥OB. ⊥ ， ⊥
在Rt△VOM中，由勾股定理得 △ 中
VM = 62 + 22 = 2 10
即正四棱锥的高为6，斜高为 2 10 即正四棱锥的高为 ，
练习题： 练习题：
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是 ． ( C ) （A）底面为正多边形 ） （B）各侧棱都相等 ） （C）各侧面与底面都是全等的正三角形 ） （D）各侧面都是等腰三角形 ）
2．过正方体三个顶点的截面截得一个正 ． 三棱锥，若正方体棱长为 a，则截得的正 三棱锥， ， 三棱锥的高为
3 a 3
。
3．正四面体棱长为 a，M，N为其两条相 ． ， ， 为其两条相 对棱的中点， 对棱的中点，则MN的长是 的长是
2 a 2
。
4．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， ．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， 则该棱锥一定不是（ 则该棱锥一定不是（ D ） A） B） （A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 ） ）
因为底面正方形ABCD的面积是 ，所以 的面积是16， 因为底面正方形 的面积是 BC=4，MB=OM=2， ， ，
OB = BM + OM = 2 2
2 2
又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB 又因为 在 △ 中,由勾股定理得 由勾股定理得
VO = VB − OB
2 2
2 2
= (2 11) − (2 2) = 6
3. 如何理解棱锥？ 如何理解棱锥？ （1） 棱锥是多面体中的重要一种，它有 ） 棱锥是多面体中的重要一种， 两个本质的特征： 两个本质的特征： 有一个面是多边形； ①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形，二者缺一不可。 点的三角形，二者缺一不可。 （2）棱锥有一个面是多边形， ）棱锥有一个面是多边形， 其余各面都是三角形， 其余各面都是三角形， 右图是棱锥吗？ 右图是棱锥吗？
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 棱柱、 的结构特征（ 的结构特征（二）
三. 棱锥及相关概念
1．定义：有一个面是多边形，而其余各 ．定义：有一个面是多边形， 面都是有一个公共顶点的三角形， 面都是有一个公共顶点的三角形，由这些 成的几何体叫做棱锥，如下图所示。 面围 成的几何体叫做棱锥，如下图所示。
2．相关概念： ．相关概念： （1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做 ） 棱锥的侧面 侧面， 棱锥的侧面，如侧面 SAB、SAE 等； S
D' A' D O A B O' B' C C'
5．棱台的表示： ．棱台的表示： 棱台可用表示上、下底面的字母来命名， 棱台可用表示上、下底面的字母来命名， 如可以记 作 棱 台ABCD－A’B’C’D’， － ， 或 记 作 棱 台AC’.
D' A' D O A B O' B' C C'
棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个 点时形成的空间图形， 时形成的空间图形， 棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥 一个平行于棱锥 底面的平面截棱锥所得到的图形， 底面的平面截棱锥所得到的图形， 所得到的图形 棱台的各条侧棱延长后， 要注意的是棱台的各条侧棱延长后 要注意的是棱台的各条侧棱延长后， 将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥 将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥.
D E A O B C
5．正棱锥的性质： ．正棱锥的性质： （1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三 ）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三 角形； 角形； （2）等腰三角形底边上的高都相等，叫 ）等腰三角形底边上的高都相等， 做棱锥的斜高 斜高! 做棱锥的斜高 6．棱锥的表示： ．棱锥的表示： （1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱 ） 如三棱锥P－ 锥：如三棱锥 －ABC，四棱锥 －ABCD. ，四棱锥S－ （2）用对角面表示：如四棱锥可以用 － ）用对角面表示：如四棱锥可以用P－ AC表示 表示. 表示
有四个命题： 例1.有四个命题：① 各侧面是全等的等 有四个命题 腰三角形的四棱锥是正四棱锥； 腰三角形的四棱锥是正四棱锥；② 底面 是正多边形的棱锥是正棱锥； 是正多边形的棱锥是正棱锥；③ 棱锥的 所有侧面可能都是直角三角形；④ 四棱 所有侧面可能都是直角三角形； 锥的四个侧面中可能四个都是直角三角 形。其中正确的命题有 ③④ .
棱锥的顶点 棱锥的侧棱 棱锥的高
D E A O B
棱锥的侧面
C
棱锥的底面
顶点， （2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点， ）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 如顶点S、 、 、 如顶点 、A、B、C 等； （3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧 ）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧 如侧棱SA、 等 棱，如侧棱 、SB等； 4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面 底面， （4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面， 如底面ABC、ABCDE等； 如底面 、 等 （5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点 ）如果棱锥的底面水平放置， 与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线 段或距离，叫做棱锥的高 段或距离，叫做棱锥的高，如SO.
3．棱台的分类： ．棱台的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱台、 ）按底面多边形的边数分为三棱台、 四棱台、五棱台等； 四棱台、五棱台等；
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做 ）正棱台： 性质： ．正棱台的性质： （1）各侧棱相等； ）各侧棱相等； （2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； ）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； （3）正棱台的斜高相等。 ）正棱台的斜高相等。
四．棱台及相关概念
1．定义：棱锥被平行于底面的平面所截, ．定义：棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面间的部分叫做棱台. 截面和底面间的部分叫做棱台
上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面
2．相关概念： ．相关概念： 下底面、 （1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底 ）棱台的下底面 上底面： 面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面； 面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面； 侧面： （2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以 ）棱台的侧面 棱台中除上、 外的面叫做棱台的侧面； 外的面叫做棱台的侧面； 侧棱： （3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫 ）棱台的侧棱 做棱台的侧棱； 做棱台的侧棱； （4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时， ）棱台的高 当棱台的底面水平放置时， 铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱 台的高。 台的高。