《红对勾》高三数学第一轮复习北师大课件 5-3
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1.直接利用数量积进行平面向量的运算，如2013年天 津理T12，上海T12等.
2.利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问 题，如2013年湖北理T6，江西T7等.
自主回顾·打基础 突破考点·速通关
解题技巧·提素能 课时作业
自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b(如图)，作
②
a·b a2
＝
b a
③(a·b)2＝a2·b2 ④(a－b)2＝a2
－2a·b＋b2，其中正确的有________个．( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确．∵aa·2b＝|a||b|a|c|2osθ＝|b|c|ao|sθ，∴②错． ③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等， ∴③错．④正确．故选B.
答案 2．非零 |a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ
3．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的 夹角．则(1)e·a＝a·e＝________；
(2)a⊥b⇔________；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝ ________，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝ a·a；
∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.
(2)a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋(1－2k)e1·e2－2e22 ＝k＋(1－2k)cos23π－2＝2k－52＝0，
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0时，a与
b________；当θ＝π时，a与b________；当θ＝
π 2
时，我们说
a与b垂直，记作________．
答案
1．同向 反向 a⊥b
2．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个____________向量a和b，它们的夹角为θ，把 数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作________， 即a·b＝________，规定0·a＝0.
答案：B
3．(2011·辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝
0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A. 2－1
B．1
C. 2
D．2
解析：由a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，得－a·c－b·c≤－ c2＝－1，|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3＋ 2(－a·c－b·c)≤3－2＝1，故|a＋b－c|的最大值为1.
答案
a·b |a||b|
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
a·b＝0
1．(2010·辽宁，8)平面上O、A、B三点不共线，设
→ OA
＝a，O→B＝b，则△OAB的面积等于( )
A. |a|2|b|2－a·b2 B. |a|2|b|2＋a·b2
1 C.2
|a|2|b|2－a·b2
1 D.2
解析：|2a－b|＝
10
4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3 2
⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－
答案：3 2
突破考点·速通关02
互动探究·各个击破
平面向量数量积的运算
[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满
足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(2)(2014·赣州模拟)已知e1，e2是夹角为
2π 3
的两个单
位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0则实数k的值 为________．
(1)直接利用数量积的坐标运算即可； (2)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求 解．
[解析] (1)依题意可得8a－b＝(6,3)，
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论
几Hale Waihona Puke 表示坐标表示模|a|＝________ |a|＝______
夹角
cosθ＝________ cosθ＝_____
a⊥b的充要条件 ________
________
5. a·a x1x2＋y1y2＝0
x12＋y21
答案 4．(1)b·a (2)a·(λb) (3)a·c＋b·c
[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成 立．
(1)a·b＝a·c，则b＝c吗？ (2)(a·b)c＝a(b·c)吗？ 提示：(1)不一定，a＝0时不成立， 另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确 定； (2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等． (a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当 a与c不共线时它们必不相等．
第五章 平面向量
第三节 平面向量的数量积
考纲解读
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面 向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积 的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
考情剖析
近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主 要以选择题、填空题的形式出现：
(4)cosθ＝________；
(5)|a·b|≤|a||b|.
答案 3．(1)|a|cosθ (2)a·b＝0
(3)－|a|·|b|
a·b (4)|a|·|b|
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________ (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________ (3)(a＋b)·c＝________
|a|2|b|2＋a·b2
解析：设向量a，b的夹角为θ， 则S△OAB＝12|a||b|sinθ， 而12 |a|2|b|2－a·b2 ＝12 |a|2|b|2－|a|2|b|2cos2θ ＝12|a||b| 1－cos2θ
＝12|a||b|sinθ，故选C. 答案：C
2．已知下列各式：
①a2＝|a|2
答案：B
4．(2014·聊城模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|
＝5 2，则|b|等于( )
A. 5 C．5
B. 10 D．25
解析：∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2 ，∴(a＋b)2 ＝50＝a2＋2a·b＋b2.可得|b|＝5.
答案：C
5．(2012·新课标理，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a| ＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________.
2.利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问 题，如2013年湖北理T6，江西T7等.
自主回顾·打基础 突破考点·速通关
解题技巧·提素能 课时作业
自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b(如图)，作
②
a·b a2
＝
b a
③(a·b)2＝a2·b2 ④(a－b)2＝a2
－2a·b＋b2，其中正确的有________个．( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确．∵aa·2b＝|a||b|a|c|2osθ＝|b|c|ao|sθ，∴②错． ③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等， ∴③错．④正确．故选B.
答案 2．非零 |a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ
3．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的 夹角．则(1)e·a＝a·e＝________；
(2)a⊥b⇔________；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝ ________，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝ a·a；
∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.
(2)a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋(1－2k)e1·e2－2e22 ＝k＋(1－2k)cos23π－2＝2k－52＝0，
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0时，a与
b________；当θ＝π时，a与b________；当θ＝
π 2
时，我们说
a与b垂直，记作________．
答案
1．同向 反向 a⊥b
2．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个____________向量a和b，它们的夹角为θ，把 数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作________， 即a·b＝________，规定0·a＝0.
答案：B
3．(2011·辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝
0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A. 2－1
B．1
C. 2
D．2
解析：由a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，得－a·c－b·c≤－ c2＝－1，|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3＋ 2(－a·c－b·c)≤3－2＝1，故|a＋b－c|的最大值为1.
答案
a·b |a||b|
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
a·b＝0
1．(2010·辽宁，8)平面上O、A、B三点不共线，设
→ OA
＝a，O→B＝b，则△OAB的面积等于( )
A. |a|2|b|2－a·b2 B. |a|2|b|2＋a·b2
1 C.2
|a|2|b|2－a·b2
1 D.2
解析：|2a－b|＝
10
4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3 2
⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－
答案：3 2
突破考点·速通关02
互动探究·各个击破
平面向量数量积的运算
[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满
足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(2)(2014·赣州模拟)已知e1，e2是夹角为
2π 3
的两个单
位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0则实数k的值 为________．
(1)直接利用数量积的坐标运算即可； (2)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求 解．
[解析] (1)依题意可得8a－b＝(6,3)，
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论
几Hale Waihona Puke 表示坐标表示模|a|＝________ |a|＝______
夹角
cosθ＝________ cosθ＝_____
a⊥b的充要条件 ________
________
5. a·a x1x2＋y1y2＝0
x12＋y21
答案 4．(1)b·a (2)a·(λb) (3)a·c＋b·c
[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成 立．
(1)a·b＝a·c，则b＝c吗？ (2)(a·b)c＝a(b·c)吗？ 提示：(1)不一定，a＝0时不成立， 另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确 定； (2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等． (a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当 a与c不共线时它们必不相等．
第五章 平面向量
第三节 平面向量的数量积
考纲解读
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面 向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积 的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
考情剖析
近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主 要以选择题、填空题的形式出现：
(4)cosθ＝________；
(5)|a·b|≤|a||b|.
答案 3．(1)|a|cosθ (2)a·b＝0
(3)－|a|·|b|
a·b (4)|a|·|b|
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________ (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________ (3)(a＋b)·c＝________
|a|2|b|2＋a·b2
解析：设向量a，b的夹角为θ， 则S△OAB＝12|a||b|sinθ， 而12 |a|2|b|2－a·b2 ＝12 |a|2|b|2－|a|2|b|2cos2θ ＝12|a||b| 1－cos2θ
＝12|a||b|sinθ，故选C. 答案：C
2．已知下列各式：
①a2＝|a|2
答案：B
4．(2014·聊城模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|
＝5 2，则|b|等于( )
A. 5 C．5
B. 10 D．25
解析：∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2 ，∴(a＋b)2 ＝50＝a2＋2a·b＋b2.可得|b|＝5.
答案：C
5．(2012·新课标理，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a| ＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________.