北师大版数学高二圆内接四边形的性质与判定定理 选修4-1

高中数学圆内接四边形的性质与判定定理教案选修4-1 几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养学生的创新意识也非常有利.本讲主要证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.研究近几年的新课标高考试卷，不难发现，高考对本部分内容的考查大多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形等知识上，难度不大，一
根据新课程改革考纲的要求，这一讲我们计划安排4 课时复习，具体安排如下：
第一节：圆周角定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆周角定理，会用圆周角定理，并会借助圆周角定理证明角相等，三角形相似等问题.
第二节：圆内接四边形的性质与判定定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆内接四边形的性质与判定定理，会灵活运用定理、证明四点共圆问题及解决角相等的问题.
第三节：圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质一课时.这节课主要帮助学生通过复习圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质,熟练掌握判定切线的方法.已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心连线成直角，第二应考虑弦切角定理，第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.
第四节：与圆有关的比例线段一课时.这节课主要帮助学生复习相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理，会结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题.
复习时,我们主要是通过知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼等几个环节进行的.
由于湖北高考数学试题选考几何证明专题,从近几年新课标高考试题中不难看出,以圆为载体的证明题或计算题出现的频率较高,所以我们认为:对直线与圆的位置关系复习是重中
之重,而圆内接四边形的性质与判定定理是该讲的核内知识,它起到了承前启后的作用，它之前有圆周角定理，它之后还有圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质、相交弦定理、切割线定理、切线长定理等.另外,认真落实教材所讲的知识,重视教材中的例题和习题,深研教材,发掘教材中的内涵是提高几何专题复习效率的一种有效途径.
第二节《圆内接四边形的性质与判定定理》说课稿
一、说教材
（一）教材分析
圆内接四边形的性质与判定定理是选修4-1第二讲的核心内容,也是新课标高考试题中的常见考点.以圆为载体的相关问题是新高考命题的潜规则,这是因为:1.根据四点共圆这个条件,可以构造出直角三角形,容易设置高考题.2.四点共圆时,可充分利用外角等于它的内对角、对角互补、相交弦、切割线、割线定理等证明等式.所以应高度重视对这一节教材中的三个定理和一个推论的复习,关键是要让学生懂得定理的应用.
（二）教学目标
知识目标
1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论;熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．
能力目标
1.通过对圆内接四边形的概念及其性质定理的复习,培养学生应用定理解决问题的能力;
2.通过复习圆内接四边形判定定理及其推论,促使学生会用定理判定四点共圆；
3.通过定理的应用，培养学生逻辑推理能力．
情感目标
1.开心自测引入复习，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用.
2.通过证明方法的探求，培养学生勤于思考的习惯，并促进学生辩证思维的能力和严谨的治学精神和态度，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
（三）教学重难点
1.重点圆内接四边形的性质与判定定理.
2.难点定理的灵活应用.
二、说教法
在课堂教学过程中，要充分调动学生学习的主动性.通过学生自己动手操作、探索，获得对知识的深刻理解，这符合中学生好动厌静的心理特点，能更好地吸引学生的注意力.要把课堂还给学生，多注意倾听，理顺学生思维过程，引导学生合作探究.借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想.自己要注意选用示范性强、有一定梯度的2—3道例题进行重点分析、讲评，要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解，而不是直接强加给学生.要培养学生自己“找路”的能力，在学生迷路时及时给予点拨，让学生在主动参与学习的过程中真正的
理解.针对本节课的复习目标，主要以下面几个环节进行：知识梳理→开心自测→金题精讲
→知能演练→课堂小结→能力锤炼.
三、说学法
因为这节课的内容学生在初中已经接触过，内容也比较熟悉，但是定理如何灵活地在解题中运用还有一些欠缺，遇到题目时往往无从下手，所以在复习过程中要善于引导学生运用目标分析意识来解决问题.这节课以解决问题为主线展开，主要采用“探究式学习法”，引导学生发挥主观能动性，主动探索新知.
四、说教学过程
知识梳理圆内接四边形的性质定理：
定理1 圆内接四边形的对角互补.
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角
圆内接四边形的判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四
个顶点共圆.
推论: 如果四边形的一个外角等于它的内角的对
角，那么这个四边形的四个顶点共圆.
设计意图：通过梳理知识,使学生明确本节所复习
的内容,熟练掌握本节的三个定理和一个推论.
开心自测1.如图1,⊙O的内接四边形BCED,延长ED,CB交
于点A,若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,
则DE=_______;CE=__________.
2.如图2，AD、BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=
∠ABC.
1.选题立意：设计开心自测题,主要体现课堂中的
自主学习,目的是激发学生的学习兴趣.其中第1
题的立意是:考查圆内接四边形性质定理及割线
定理的灵活运用.第2题的立意是:考查灵活运用
圆内接四边形性质定理证明角相等问题.
2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题,并分
成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答
案.
金题精讲例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC
的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知
AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程
x2-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的
半径.
1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基
本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能
力.
2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那
么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让
学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案.
这样问题可以转化为证明Rt△ADE与Rt△ABC相
似,从而利用本节的推论来证明四点共圆.第(2)
小题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心
的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中
垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG中求圆的
半径了.
3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四
边形的判定定理或其推论.解题时,关键是寻找四
边形的对角互补或其一外角与它的内角的对角相
等.
金题精讲例2(2011·辽宁卷)如图4,A,B,C,D四点在同一圆
上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明
A,B,G,F四点共圆.
1.选题立意：本题考查平面几何的证明问题,主要
涉及两条直线平行以及四点共圆的判定.
2.处理过程:第(1)小题如何利用已知条件来证明
CD∥AB?让学生去“找路”,证平行问题主要是运
用平行线的判定定理.本题中A、B、C、D四点共
圆这个条件的正确运用是证明该问题的关键.
第(2)小题是证明四点共圆问题,引导学生作出辅
助线,连接AF、BG得四边形ABGF,如何运用四点共
圆的判定定理呢?此时,把问题交给学生去探究.
要证∠AFD+∠ABC=180°,即证∠FAB=∠GBA.
3.老师点评：灵活运用圆内接四边形性质与判定
定理是解题的关键.
例3 (2009年·宁夏)如图5,已知△ABC的两条角
平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且
AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:CE平分∠DEF.
1.选题立意：本题考查四点共圆的判定方法及利
用四点共圆的性质证明角相等问题.
2.处理过程:第(1)小题只要证明四边形BDHE的内
对角互补即可,但该小题的的难点恰在于如何证
明内对角互补.这时可以分组讨论,充分调动学生
的学习积极性,只要学生能想的就让学生想,学生
能说的让学生说,学生能做的让学生做.
第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生
用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难
时，及时正确引导，同时注意引导方式.
3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几
何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推
理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技
巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推
理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、
归纳、概括等合情推理.
知能演练如图6,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧
AC
⌒
上的点(不与A,C重合),延长BD到E.
(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC中
BC边上的高为2+ 3 ,
求△ABC外接圆的面积.
设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节
的重点，形成相应的数学能力.
能力锤炼:
1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结
BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CF
EF .
2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求
证:PQ 2
=AC ·BD.
3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点. (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.
4.如图10,已知四边形ABCD 内接于圆,延长AB 和DC 相交于E,EG 平分∠E,且与BC 、AD 分别相交于F 、G.求证:∠CFG=∠DGF.
5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线,A 、B 分别是切点,C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点,
课堂
小结 1.本节课我们复习了圆内接四边形的性质与判定定理.
2.通过开心自测、金题精讲和知能演练，使我们初步掌握了如何灵活运用圆内接四边形的性质与判定定理解决问题.
3.这节课我们运用了数形结合、转化与化归等数学
思想方法.
设计意图:课堂小结使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆内接四边形的性质与判定定理认识的再次深化.
能力锤炼
能力锤炼题见表下面.
设计意图:课后检测，巩固本节知识点，深化相应的数学能力.
若∠ACB
=120°,求∠APB的大小.。