3分子动理论基础1

n dN N dV V
dV---体积元 (宏观小,微观大)
(2)平衡态时分子的速度按方向的分布是各向等概率的
vx v y vz 0,
v
2 x

v
2 y

v
2 z

1 3
v2,
三．理想气体压强公式的推导
前提：平衡态, 忽略重力(无外场), 分子看成质点（即只考虑分子的平动）
讨论对象：化学纯理想气体系统
1.013105 1.381023 300

2.451025 m3
在1m3内气体分子平均平动动能的总和为:
Ek nk 2.451025 6.211021 1.52105 J
例.两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能相 等，但分子密度数不同。问：它们的温度是否相同？ 压强是否相同？
分子热运动
平动 转动 分子内原子间振动
大量分子系统： 各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计 规律.
29
一、自由度
自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独 立坐标数目。
作直线运动的质点： 作平面运动的质点： 作空间运动的质点：
一个自由度 二个自由度 三个自由度
30
运动刚体的自由度：
平动（质心） 3个 转动（绕质心） 2个
平均动能都等于 1 kT 2
…… 能均分定理
一般来说，分子有平动、转动、振动动能。
根据量子理论，分子平动、转动、振动能量都是 分立的，而且 t， r， s 的能量间距不同。
振动能级间隔大 转动能级间隔小 平动能级更小
(~ 102 101 eV) (~ 103 105 eV) 可以看作连续 一般情况下（T <10 3 K），振动能级间隔大，极少跃迁， 不起交换能量作用……称为 振动自由度 s“冻结”。

kT m
例.求T = 300K，p = 1 atm 时，分子的平均平动动 能，和 1m3 内气体分子平均平动动能的总和(即1m3 气体的平动动能)。
解:
t

3 2
kT

3 1.381023 2
300

6.211021 J
由理想气体状态方程 p nkT得分子的数密度为:
n

p kT
(1) 分子当作质点，不占体积； (因为分子的线度<<分子间的平均距离)
(2) 分子之间只在碰撞时有力(忽略重力)外, 无相互作用力；
(3) 分子之间是弹性碰撞(动能不变)； (4) 分子服从牛顿力学。
2. 对分子集体的统计假设
统计规律性:大量偶然事件从整体上反映出来的 一种规律性。伽尔顿板实验
伽尔顿板实验
★单个分子本身有动能、势能，它与气体温度有关。
★分子间有作用力（它与分子之间的距离有关）， 所以就有分子相互作用势能，它与气体体积有关。
E ET ,V
对理想气体： 不考虑分子间的相互作用
E ET
刚性理想气体系统的内能为：
E i kT N 2

i 2
R NA
T

NA
E i RT
2
非刚性理想气体系统的内能为：
E i RT s RT
2
2
试指出下列各式所表示的物理意义
（设气体为刚性理想气体，M：气体质量，μ：气体摩尔质量
1 kT 2
3 kT i kT
2
2
M 3 RT
2
M i RT
2
1 kT 每个自由度上分子的平均动能 2
3 kT 分子的平均平动动能或单原子分子的平均动能 2
m/s
O2分子
v2
3 8.31 273 32 103 461 m/s
一定量的理想气体装在某一容器中,温度为T, 气体分子质量为m,根据理想气体分子模型和 统计假设,分子速度在x方向的分量的下列平
均值为: vx 0 ; vx2 kT / m
vx2

1 3
v2

1 3
3kT m
解：
t

3 2
kT
t1 t2
p nkT
n1 n2 , T1 T2
24
例.试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。 设（1）在温度t = 1000℃时；（2）t = 0℃时。
解：
t1

3 2
kT1

3 2
1.38 1023
1273

2.631020
J
v12
3RT1 M
气体分子动理论
理想气体的压强与温度;
（典型的微观研究方法）
能均分定理;
麦克斯韦速率、速度分布律,波尔兹曼分布律。
理想气体的压强与温度
（典型的微观研究方法）
2.1 理想气体的压强与温度
▲气体分子热运动的一般概念 ▲理想气体的微观假设(微观模型) ▲理想气体压强公式的推导 ▲理想气体的温度和分子平均平动动能
二 . 能量均分定理
分子看成质点时，由分子平均平动动能
t

1 2
mv2

3 2
kT
1 2
mvx2

1 2
mvy2

1 2
mvz2

1 2
kT
由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配没
有任何自由度占优势。
一个平动自由度对应的平均动能为
1 kT 2
在温度为T 的平衡态下，分子热运动的 每一个自由度(平动、转动、振动)所对应的
一. 气体分子热运动的一般概念
分子的密度 在标准状态下，空气
2.71019 个分子/cm3 ∼ 3千亿个亿;
分子热运动的平均速率约 v ~ 102 m/s ;
分子之间有一定的间隙, 有一定的作用力;
分子的平均碰撞次数 约 z ~ 1010 次 / 秒 。
二. 理想气体的微观假设(微观模型)
1. 对单个分子的力学性质的假设
2 3
n t
温度也是个统计平均量：
T 是大量分子热运动平均平动动能的量度,与气体种类无关。 （温度是分子无规则热运动激烈程度的量度。）
1 mv2 3 kT v2 3kT 3RT
2
2
m
M
v2 3kT 3RT
m
M
在273K时：
v 2 称为分子的方均根速率
H2分子
v2
3 8.31 273 2.02103 1836
解： p 1 nmv2 1 N M v2 1 M v2
3
3V N 3V

1 3

44 103 10 103


1440 103 3600
2


2.35 105
Pa
27
能均分定理
能量按自由度均分定理
理想气体模型改进 推导压强公式：理想气体分子——质点 讨论能量问题：考虑分子内部结构 ——质点组
少数粒子无规律性
大量粒子的统计分布
统计规律有以下几个特点:
（1）只对大量偶然的事件才有意义 （2）它是不同于个体规律的整体规律
(量变到质变) （3）总是伴随着涨落
定义: 某一事件 i 发生的概率为 Pi
lim Pi

N
Ni N
Ni……事件 i 发生的次数；
N……各种事件发生的总次数
★对大量分子组成的气体系统的统计规律假设: (1)平衡态时分子按位置的分布是等概率的（无外场）
i kT 分子平均动能 2
M 3 RT 气体系统的平动动能
2
M i RT 气体系统的内能
2
总结： 理想气体
p 1 nmv2 3
p

2 3
nt
t

3 2
kT
v2 3kT 3RT
m
M
t

3 2
kT
k

i 2
kT
E i RT
2
这时分子可视为刚性分子
分子热运动的平均动能为： i kT t r s kT
2
2
平动自由度t 转动自由度r 振动自由度s 总自由度i
刚 单原子
3
0
0
3
性
分 双原子
3
2
子 多原子
3
3
0
5
0
6
非 单原子
3
刚
性 双原子
3
分 子
多原子
3
0
0
3
2
1
6
3
3N-6
3N
三. 理想气体内能
内能E：系统内部各种形式能量的总和。 对一般气体：
1个
平动自由度
转轴方位α、β、γ
刚体相对于轴的方位θ
y
y’
结论：共 6个自由度 三个平动自由度 三个转动自由度


C
x’
z’
x
单原子分子自由度 如 He, Ne等 i = t =3
t ---平动自由度
z (x, y, z)
o
x
y
双原子分子自由度 如：O2 ， H2 ， CO …
z
轴
l
总分子数----N
体积----V 分子质量为----m 分子数密度（足够大）---- n=N/V
压强公式的推导步骤：
一个分子对器壁的冲量 一组分子对器壁的冲量 各组分子对器壁的冲量 整个气体系统对器壁的压强
把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分
子速度大小，方向都几乎相等。
设第i 组分子的速度在 vi vi d vi
C (x, y, z)

质心C平动：t =3 （x，y，z）
轴的取向： r …… 转动自由度，
r = 2 （ 中只有两个是独立的）

0

x
若是非刚性分子，距离 l 变：
y
s ……振动自由度，
s= 1（l）
自由度： i = t + r + s = 6
★刚性双原子分子，s= 0， i = t + r + s = 5
区间内。
ni

Ni V
速度为第i 组的分子数密度，
N Ni ， n ni
i
i
(1) 考虑速度在 vi vi d vi区间的
一个分子对垂直于x的器壁碰撞的冲量：
因为是弹性碰撞，一个分子在
x方向的速度分量由vix变为–
vix, 分子的动量的增量为
y
x
(-mvix) - mvix= - 2mvix 分子受的冲量为 - 2mvix
多原子分子自由度 如：H2O，NH3 ，…
设分子中的原子数为N
z
轴

总自由度： i = t + r + s = 3N



C (x, y, z)

0

y
x
平动自由度:t =3 （质心坐标 x，y，z）
转动自由度:r = 3 （α,β ，）
振动自由度: s= 3N - 6
★刚性多原子分子，s= 0， i = t + r + s= 6
准状态下空气分子的方均根速率。
解： pV M RT M p

V RT
v2 3kT 3RT 3p
m


31.013105 4.85102 m / s 1.29
26
例.容积为10L的容器内有1摩尔的co2气体，其方均 根速率为1440km/h，求气体的压强（ co2的摩尔质 量44kg/mol）
i
n
mdt d A

nv x 2 m
d
t
d
A


1 3
nv 2m

d
t
d
A
（4）考虑整个气体对器壁的压强：
p d F d I 1 nmv2 d A dtd A 3
p 1 nmv2 3
设分子的平均平动动能为
εt

1 2
mv2
p

1 3
nmv 2

2 3
n
1 2
mv2
d Ii 2mvix ni vix d t d A
（3）考虑 dt 内，所有各组分子对 dA 的冲量：
d I d Ii 2nimvix2 d t d A
i
i
vix 0 vix 0
nivix 2

nimv百度文库x 2 d t d A n i
vi
z
v ix
器壁受的冲量为 2mvix
(2) 考虑速度在 vi vi d vi 区间
所有分子在dt 时间内对面积dA的冲量： y
处于小柱体 内的，速度 基本上为 v i 的分子都能
在 d t 时间内碰到面积 dA 上，
dA x
它们给dA的冲量为

zz
vi d t
vix d t
3 8.311273 28 103
1194
m s1
t2

3 2
kT2

3 1.381023 2
273

5.651021 J
v12
3RT1 M
38.31 273 28 103

493
m s1
25
例.已知标准状态下空气的密度 =1.29kg/m3，求标


2 3
n t
p

2 3
nεt
p

2 3
n t
压强公式
宏观量 p
微观量分子动能的 平均值 t
压强是个统计平均量
事实证明：这个压强公式是与实验相符的；
∴上面的微观假设和统计方法也是正确的。
四.理想气体的温度和分子平均平动动能
将 p = nkT 代入压强公式
得
t

3 2
kT
nkT