2021年广东省广州市中考 三轮冲刺复习：圆的有关性质(含答案)

2021广州中考 三轮冲刺复习：圆的有关性质
一、选择题
1. 如图，在⊙O 中，若
C 是AB ︵
的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是( )
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
2. 下列说法中正确的是(
)
A ．等弦所对的弧相等
B ．等弧所对的弦相等
C ．圆心角相等，它们所对的弦也相等
D ．等弦所对的圆心角相等
3. 如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON ＝(
)
A . 5
B . 7
C . 9
D . 11
4. 如图，直线
l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于
点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )
A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．73°
5. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离
CD 为8 m ，水面宽AB 为8 m ，则拱
桥的半径OC 为( )
A ．4 m
B ．5 m
C ．
6 m D ．8 m
6. 如图，
A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC 等于(
)
A . 64°
B . 58°
C . 72°
D . 55°
7. (2019•广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，于点D ，连接BD ，BC ，且，
，则BD 的长为
A ．
B ．4
C ．
D ．4.8
8. (2019•益阳)如图，PA 、PB 为圆
O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延
长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是
A ．PA=P
B B ．∠BPD=∠APD
C ．AB ⊥P
D D ．AB 平分PD
二、填空题
9. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相
OD AC ⊥
10AB =8AC =
交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.
10. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°.
11. 2018·毕节
如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE
的度数为________．
12. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．
13. 2018·孝感
已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD
＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.
14. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．
15. 如图，点
A ，
B ，
C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵
上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.
16. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．
三、解答题
17.
如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD 的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．
18.
如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，CO的延长线交⊙O于点M，连接BD 、DM.
(1)求证：AC＝DC；
(2)求证：BD∥CM；
(3)若sin B＝4
5，求cos∠BDM的值．
19. 如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
20. 如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 3，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC.
(1)求⊙O的半径；
(2)求证：AB＋BC＝BM.
21.
如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．
(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求FG
FC的值．
22.
如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝1
3，求AD；
(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
23. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D 重合)．
(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.
(2)若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．
24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P 在线段AB （不包括A 、B 两点）上时． ①求证：∠BDE ＝∠ADP ；
②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；
（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直
角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021广州中考 三轮冲刺复习：圆的有关性质-答案
一、选择题
1. 【答案】A
[解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，
∴∠B ＝∠A ＝50°，
∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵
的中点， ∴∠BOC ＝1
2∠AOB ＝40°. 故选A.
2. 【答案】B
3.
【
答
案
】
A 【解析】∵ON ⊥A
B ，AB ＝24，∴AN ＝
AB
2
＝12，∴在Rt △AON 中，ON ＝OA 2－AN 2＝132－122＝5.
4. 【答案】C
5. 【答案】B
[解析] 如图，连接BO.
由题意可得AD ＝BD ＝4 m.
设⊙O
的半径OC ＝x m ，则
DO ＝(8－x)m. 由勾股定理可得x2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5. 故拱桥的半径OC 为5 m.
6.
【
答
案
】
B
【解析】∵∠D 与∠AOC 同对弧AC ，∴∠
AOC ＝2∠D
＝2×32°＝64°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC
＝∠OCA ，在△OAC 中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC ＝12(180°－∠AOC )＝1
2×(180°－64°)＝58°.
7. 【答案】C
【解析】∵AB 为直径，∴，∴， ∵，∴， 在中，C ．
8. 【答案】D
【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，所以A 成立；∠BPD=∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC=BC ，
只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ．
二、填空题
9. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，
∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.
90ACB ∠=︒6BC ===OD AC ⊥1
42
CD AD AC ==
=Rt CBD △BD ==
10.
【
答
案
】
62
【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝62°.
11. 【答案】30° [解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵
，
∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.
∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.
∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.
12. 【答案】3
13. 【答案】2
或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥
CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；
②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ，
∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，
∴EF＝OF＋OE＝14 cm.
∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.
14. 【答案】5[解析] 设圆的半径为x，则OE＝x－1.根据垂径定理可知，CE＝3，由勾股定理可得32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5.
故答案为5.
15. 【答案】15[解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°.
又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°.
∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，
∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.
16. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝1
2MN＝3，OH
＝OM＋MH＝7.由勾股定理，得PH＝4，∴圆心P的坐标为(－4，－7)．
三、解答题
17. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，
∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，
∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，
解图
∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，
∴∠OAD＝180°－2x
2＝90°－x，(2分)
∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AC 是⊙O 的切线．(4分)
(2)解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD ＝90°，
∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3,
∠ABC ＋∠ADB ＝90°，
∴∠ABC ＋3∠ABC ＝90°，(6分)
解得∠ABC ＝22.5°，
∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°，
∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝22.5°.(8分)
18. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OD ，
∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，
∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，
在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，
∴AC ＝DC ；
(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，
∴∠AOC ＝∠DOC ，
∴∠AOD ＝2∠AOC ，
∵∠AOD ＝2∠OBD ，
∴∠AOC ＝∠OBD ，
∴BD ∥CM ；
(3)解：∵BD ∥CM ，
∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，
∵OD ＝OB ＝OM ，
∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，
∵∠DOC ＝2∠DMO ，
∴∠DOC ＝2∠BDM ，
∴∠B ＝2∠BDM ，
如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，
解图
∴EF ＝AE ，
在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF ，
∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，
∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，
∴点F 在⊙O 上，
又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，
∴∠AOE ＝∠BDM ，
设AE ＝EF ＝y ，
∵sin B ＝45，
∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45，
∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，
在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，
∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，
∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，
解得y ＝32x ，
∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 （3x ）2＋（32x ）2＝352x ，
∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x
＝255.
19. 【答案】
证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.
∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，
∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线，
∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，
∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，
∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．
20. 【答案】
解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，如图①.
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝1
2AC＝3，∠AOH＝
1
2∠AOC＝60°，
∴∠OAH＝30°，∴OH＝1
2OA.
在Rt△AOH中，由勾股定理，得OH2＋AH2＝OA2，即(1
2OA)2＋(3)2＝OA2，
解得OA＝2(负值已舍去)，
故⊙O的半径为2.
(2)证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图②.
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM＝1
2∠ABC＝60°.
又∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴EC＝BC＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠DCE＝60°.
∵∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴∠ECM＋∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD.
∵∠MAC ＝∠MBC ＝60°，∠AMC ＝60°，
∴∠MAC ＝∠AMC ＝∠ACM ，
∴△ACM 是等边三角形，
∴AC ＝MC.
在△ACB 和△MCE 中，⎩⎨⎧AC ＝MC ，
∠BCA ＝∠ECM ，BC ＝EC ，
∴△ACB ≌△MCE ，
∴AB ＝ME.
∵ME ＋BE ＝BM ，
∴AB ＋BC ＝BM.
21. 【答案】
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠BCA ＝90°，
∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，
∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .
∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，
又∵∠COD ＝∠CBD ，
∴∠CBD ＝∠BAC ，
∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°，
∴∠ABD ＝90°，
即OB ⊥BD ，
又∵OB 是⊙O 的半径，
∴BD 是⊙O 的切线；
(2)证明：如解图，连接CE 、BE ，
∵OE ＝ED ，∠OBD ＝90°，
∴BE ＝OE ＝ED ，
∴△OBE 为等边三角形，
∴∠BOE ＝60°，
又∵AC ∥OD ，
∴∠OAC ＝60°，
又∵OA ＝OC ，
∴△OAC 为等边三角形，
∴AC ＝OA ＝OE ，
∴AC ∥OE 且AC ＝OE ，
∴四边形OACE 是平行四边形，而OA ＝OE ，
∴四边形OACE 是菱形；
解图
(3)解：∵CF ⊥AB ，
∴∠AFC ＝∠OBD ＝90°，而AC ∥OD ，
∴∠CAF ＝∠DOB ，
∴Rt △AFC ∽Rt △OBD ，
∴FC BD ＝AF OB ，即FC ＝BD ·AF OB ，
又∵FG ∥BD ，
∴△AFG ∽△ABD ，
∴FG BD ＝AF AB ，即FG ＝BD ·AF AB ，
∴FC FG ＝AB OB ＝2，
∴FG FC ＝12.
22. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OD ，
∵OA ＝OD ，
∴∠OAD ＝∠ODA ，
∵OE ∥AD ，
∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，
∴∠BOE ＝∠DOE ，
在△BOE 和△DOE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE
， ∴△BOE ≌△DOE (SAS)，
∴∠ODE ＝∠OBE ，
∵BE ⊥AB ，
∴∠OBE ＝90°，
∴∠ODE ＝90°，
∵OD 为⊙O 的半径，
∴DE 为⊙O 的切线；
(2)解：如解图，连接BD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，
∵AB ⊥CD ，
∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，
∴∠ABD ＝∠ADP ，
∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13，
∵⊙O 的半径为3，
∴AB =6，
∴AD ＝13AB ＝2；
解图 (3)解：猜想PF ＝FD ，
证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，
∴CD ∥BE ，
∴△APF ∽△ABE ，
∴PF BE ＝AP AB ，
∴PF ＝AP ·BE AB ，
在△APD 和△OBE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE ，
∴△APD ∽△OBE ，
∴PD BE ＝AP OB ，
∴PD ＝AP ·BE OB ，
∵AB ＝2OB ，
∴PF ＝12PD ，
∴PF ＝FD .
23. 【答案】
52解：(1)60
(2)①如图(a)．
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.
又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝1
2∠BOD，
∴1
2∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝
1
2∠BOD＝
1
2×120°＝60°，∠
OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.
又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.
②如图(b)所示，连接AO.
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，
∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°.
如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.
24. 【答案】
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．
（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，
因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y ．
图2 图3 图4 （3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：
由△DMB∽△BNF，知
1
2
2
BN DM
==．
设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得
2
3
m=．
因此
4
(0,)
3
D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．
②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
图5 图6。