微分方程与差分方程

λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解 将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解 原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.
例 5 求解微分方程 dy = y. dx
解 若 y > 0, 则原方程为 dy= y , 分离变量得 dy =dx 积分得通解为 y=1 (x+C)2 ,
dx
y
4
使分母 y = 0 的 y = 0 显然也是原方程的解.
若 y<0, 则原方程为 dy= −y , 令 z= −y, 则方程化为 dz = −dx, 积分得 z= 1 (C−x2),
⎪⎩ p + q = −1,
⎪⎩r = −1.
于是原微分方程为 y′′ − 3y′ + 2 y = −ex.
它对应的齐次方程的特征根为 λ1 = 1, λ2 = 2, 其通解为 y = C1ex + C2e2x.
设非齐次方程的特解为 y∗ = Axex , 代入非齐次方程，得 A = 1. 故该微分方程的通解
代回原变量，得通解为 y + x2 + y2 = C(x > 0)
当 x < 0 时，原方程的通解与 x > 0 时相同.
例 7 解下列微分方程
(1) y′ − 2xy = ex2 cos x;
(2) y′ + 1 y = x2 y4. x
解 (1) 这是一阶线性非齐次微分方程， p(x) = −2x, q(x) = ex2 cos x, 由通解公式
比较系数得
A0
=
0,
A1
=
−
5 4
,
B0
=
1 4
,
B1
=
0, 则原非齐次方程有特解
y* = xe−x (− 5 cos x + 1 x sin x).
4
4
根据通解结构定理得原非齐次方程的通解为
例 15
y
=
e− x [C1
cos
x
+
C2
sin
x
+
1 4
x(x
sin
x
−
5
cos
x)].
求解初值问题 y′′ + 4 y = 3 | sin x |, y(π ) = 0, y′(π ) = 1, −π ≤ x ≤ π .
量,得
dp= p
−
1dx, x
两边积分得 ln|
p
|+ln|
x
|=ln
|
C1|,
即
px
=
±C1. 由
y′ |x=1 =
2,
得 C1
=
2,
所
以 p = 2 , 即 y′ = 2 , 于是
x
x
∫ y =
2 x
dx
=
2 ln
|
x
|
+C2 ,
由
y
|x=1= 1,
得 C2
=
1,
故所求特解为 y = 2 ln | x | +1.
dx
z
4
故原方程的通解为 y = − 1 (C − x2 ). 4
注意 当微分方程中含有段函数时，应逐段分别求解相应的微分方程.
例 6 求微分方程 dy = y − x2 − y2 的通解.
dx
x
解 当 x > 0 时，原方程可化为
dy = y − x2 (1+ y2 / x2 ) = y − 1+ ( y )2 .
dx x
x
x
x
故所给方程为齐次微分方程.令 y = ux, 则 dy = u + x du . 于是有
dx
dx
399
u + x du = u − 1+ u2 , 即 du = − dx ,
dx
1+ u2
x
其通解为 ln(u + 1+ u2 ) = − ln x + C, 即 u + 1+ u2 = C . x
将上方程两端乘 (−3), 得 ( y−3 )′ + (−3) 1 y−3 = −3x2 ( y ≠ 0). x
令 z = y−3, 则上方程可化为关于 z 的一阶线性方程
dz − 3 1 z = −3x2. dx x
∫ 由通解公式
z
=
e∫
3 dx x
(
−3x
2e−
∫
3 x
dx
dx
+
C1
)
∫ = x3(
−3x2
⋅
1 x3
dx
+
C1 )
=
x3 (−3 ln
x
−
ln
C3)
= −3x3 ln(Cx).
将 z = y−3 代入得原方程通解为 y =
1
( y ≠ 0) 与 y = 0.
−x3 3ln(xc)
例8 求微分方程 y′ = y 的通解. y−x
解 如果将 x 看作 y 的函数，原方程可化为 dx + 1 x = 1. dy y
例 10 求解 y′′ = 3 y , y |x=0 = 1, y′ |x=0 = 2. 解 所给方程不显含 x ，令 y′ = p, 则 y′′ = p dp , 代入原方程，得
dy p dp = 3y,
dy
分离变量，得 pdp = 3 ydy,
两边积分，得
p2 2
=
2 y3/ 2
+ C1.由 x
∫ y = e∫2xdx ( ex2 cos xe∫−2xdxdx + C)
∫ = ex2 ( ex2 cos x ⋅ e−x2 dx + C)
∫ = ex2 ( cos xdx + C) = ex2 (sin x + C).
(2) 将方程改写为 y−4 y′ + y−3 1 = x2 , 注意到 ( y−3 )′ = −3y−4 y′, x
根据解的叠加性质与通解结构定理得原非齐次方程的通解为
y = C1ex + C2e2x + (2x + 3) + xe2x + e−x (cos x − sin x). 例 14 求解 y′′ + 2 y′ + 2 y = e−x (x cos x + 3sin x).
解 它对应的齐次方程 y′′ + 2 y′ + 2 y = 0 的特征方程为 λ 2 + 2λ + 2 = 0, 有特征根
解 (1) 对所给的关系式两边求导，得一阶可分离微分方程
f ′(x) = 2 f (x), f (0) = ln 2.
由此求得它的解为 y = e2x ln 2, 故选 (B).
401
例12 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ + py′ + qy = rex 的一个特解为 y = e2x +(1+ x)ex. 试确定该微分方程，并求该方程的通解.
两边积分，得
4 y1/ 4 = 2x + C2.
由
x
=
0
时
y
= 1, 得 C2
=
4,
于是所求的特解为
y
=
(1 +
x )4. 2
∫ 例 11 (1) 设连续函数 f (x) 满足关系式 f (x) = 2x f (1 t)dt + ln 2, 则 f (x) 等于 .
02
( A) ex ln 2; (B) e2x ln 2; (C) ex + ln 2; (D) e2x + ln 2.
例2 求微分方程 sec2 x tan ydx + sec2 y tan xdy = 0 的通解.
解 将原方程变形为 sec2 y tan xdy = − sec2 x tan ydx 分离变量，得
sec2 y dy = − sec2 x dx.
tan y
tan x
∫ ∫ 两边积分，得 sec2 y dy = − sec2 x dx,
y
−
C2
)
=
1
+
( y′) y′′
2
(2)
将 (2) 代入 (1) ，得
x y′)2 ] y′′
(3)
将 (2) ， (3) 代入原隐式通解中消去任意常数 C1,C2 , 即得所求微分方程 ( y′′)2 = [1+ ( y′)2 ]3.
注意 已知通解，求其所满足的微分方程，是通常的求给定微分方程的通解的递向
这是一阶线性方程，其中 p( y) = 1 , q( y) = 1, 由通解公式，得 y
400
∫ x
=
−∫ e
1 y
dy
(
−
e
∫
1 y
dy
+
C)
=
1
(1
y2
+
C).
y2
例9 求解 xy′′ + y′ = 0, y |x=1= 1, y′ |x=1= 2.
解 所给方程不含未知函数 y, 令 y′ = p, 则 y′′ = p′, 原方程化为 xp′ + p = 0, 分离变
第九章 微分方程与差分方程
范例解析
例1 求微分方程 (xy2 + x)dx + ( y − x2 y) = 0 的通解.
解 以 (1+ y2 )(1− x2 )(x ≠ ±1) 除方程两端，分离变量，得
xdx = − ydy 1− x2 1+ y2
(x ≠ ±1).
两端积分，得方程的通解 − ln(1− x2 ) = − ln(1+ y2 ) + ln | c | .
2
2
解 题给微分方程的齐次方程为 y′′ + 4 y = 0, 它的特征根 λ = ±2i, 故此齐次方程的
通解为 y = C1 cos 2x + C2 sin 2x.
当 0 ≤ x ≤ π 时，所考虑的非齐次方程为 y′′+4 y=3sin x. 它有特解 y1*=Asinx + Bcosx,
(ex +1) sec y = 2 2.
例4 试求一微分方程，使其通解为 (x − C1)2 + ( y − C2 ) = 1, 其中 C1, C2 为任意常数. 解 对所给隐式通解关于 x 求导，得
2(x − C1) + 2( y − C2 ) y′ = 0.
(1)
关于 x 再求导，得 2 + 2( y′)2 + 2( y − C2 ) y′′ = 0, 由此有
为
y = C1ex + C 2e2x + xex.
例13 求微分方程 y′′ − 3y′ + 2 y = 4x + e2x +10e−x cos x 的通解.
解 它相应的齐次方程 y′′−3y′+2 y=0 的特征方程为 r2 − 3r + 2 = 0, 特征根 λ1 = 1, λ2 = 2, 则此齐次方程的通解为 y = C1ex + C2e2x.
2
2
2
即
ln
|
1+ 1−
y2 x2
|=
ln
|
c
|,
故
y2
+1=
c(1 −
x2 )
为所求的通解.
易验证 x = ±1 为原方程的解，但不包含在上述通解之中，因此方程的全部解为
y2 +1 = c(1+ x2 ) 及 x = ±1 .
注意 在分离变量时要求 Q(x) ≠ 0, M ( y) ≠ 0, 因此可能会丢失原方程的某些解.
因α = 0 不是特征根，故设非齐次方程 y′′ − 3y′ + 2 y = 4x 有特解 y1*=Ax +B ，把它 代入该非齐次方程得 A = 2, B = 3, 则其特解 y1* = 2x + 3. 因α = 2 是单特征根，故设非齐 次方程 y′′ − 3y′ + 2 y = e2x 有特解， y2* = Axe2x , 把它代入该非齐次方程得 A = 1 ，则其特 解为 y2* = xe2x.因α = −1+ i 不是特征根，故设非齐次方程 y′′ − 3y′ + 2 y = 10e−xC3x 有特 解 y3* = e−x ( Acos x + B sin x), 把 它 代 入 该 非 齐 次 方 程 得 A = 1, B = −1, 则 其 特 解 y3* = ex (cos x − sin x) .
sin cos
y y
dy
=
−
1
1 +e
−
x
dx,
两边积分，得
∫
sin cos
y y
dy
=
−∫
d
(e ex
x +1) +1
,
− ln | cos y |= − ln(ex +1) + ln C,
398
故通解为
ex +1 = C. 由 y(0) = π , 得 C = 2 2, 从而特解为
cos y
4
= 0 时，
y
= 1,
y′(0)
=
p(1) =
2, 得 C1
= 0, 于是
p2 = 4 y3/ 2 , 即 p = dy = ±2 y3/4. 再由初始条件 p(1) = 2, 得 p = 2 y3/4 , ( p = −2 y3/ 4 dx
不满足条件 p(1) = 2).
分离变量，得
y−3/4dy = 2dx