5.2 相遇问题(二)

2 相遇问题（二）
学习目标:
1、认识速度和、相遇时间、相遇路程，掌握三者之间的等量关系；
2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题；
3、在解决相遇问题的过程中，运用问题解决的模式，让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，发展学生的模型思想。

教学重点:
1、掌握速度和、相遇时间、相遇路程三者之间的等量关系；
2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题。

教学难点：
如何解决较复杂的相遇问题
教学过程：
一、情景体验
PPT展示图片，师根据书本讲解故事。

师：同学们，你知道这条小狗一共跑了多少路程吗？实际上小狗跑的时间就是小奥和朋朋相遇时所用的时间。

这里面就涉及到我们之前学习的行程问题中的相遇问题。

首先来看两道简单的应用题。

实用文档
1、A、B两地相距500千米，甲、乙两车以每小时60千米、40千米的速度分别从A、B两地同时相向出发，几小时两车相遇？
学生读题
师：本题关键词“从A、B两地同时相向出发”，说明是什么问题？
生：相遇问题。

师引导学生画出线段图
师：之前已经学过相遇问题，现在我们再来复习回顾一下。

甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，那么甲乙两车合起来一小时行60+40=100（千米）。

所以两车相遇，即走完全程500千米需要的时间为500÷100=5（小时）。

列综合算式：500÷（60+40）=5（小时）
500是指A、B两地的距离，也是甲乙两车所走的路程和，我们称为相遇路程。

60是甲车的速度，40是乙车的速度，所以60+40是两车的速度和。

5小时是两车的相遇时间。

因此可以得出：相遇路程÷速度和=相遇时间。

根据这个数量关系，还可以得到：相遇路程÷相遇时间=速度和，相遇时间×速度和=相遇路程。

2、A、B两地相距500千米，甲、乙两人相向而行，5小时相遇，已知甲每小时比乙快20千米，甲、乙的速度各是多少？
学生读题
实用文档
师：读完题目，发现这仍然是什么问题？
生：相遇问题。

师：刚才我们已经得到了相遇问题中三者之间的数量关系（按PPT上格式板书），“A、B两地相距500千米，甲乙两人相向而行”，所以相遇路程是500千米。

“5小时相遇”，相遇时间是5小时。

这样，已知相遇路程和相遇时间，我们能够先求出什么？
生：求两人的速度和，500÷5=100（千米/时）。

师：“已知甲每小时比乙快20千米”，这是告诉了两人的速度差。

那么，知道甲乙的速度和与速度差，如何求出他们各自的速度呢？
生：用和差问题解决。

师和学生一起利用和差公式完成计算。

二、思维探索（建立知识模型）
展示例1：
例1：在某战役中，侦察员侦查到敌军与我军原相距125千米，3小时之前敌军以每小时8千米的速度攻击我军。

我军指挥员当即命令部队以每小时12千米的速度向前迎头攻击敌军，估计敌我相距1千米时发生战斗，问战斗几小时后打响？
学生读题
师：遇到这种较复杂的行程问题，我们不妨画线段图来帮助分析。

师引导学生先画一条长线段，标注敌军、我军原相距125千米。

实用文档
师：“3小时之前敌军以每小时8千米的速度攻击我军”，说明敌军先出发3小时，画出敌军3小时走的路程是8×3=24（千米）。

“我军指挥员当即命令部队以每小时12千米的速度向前迎头攻击敌军”，说明敌军、我军同时出发。

“敌我相距1千米时发生战斗”，标注出1千米和敌军、我军所走的路程。

师：线段图画完了，这是相遇问题吗？
生1：敌军、我军没有相遇，不是相遇问题。

生2：有一段路程是敌军、我军同时出发走的，可以看作是相遇问题。

师讲解：本题中虽然敌我两军没有相遇，但是在敌我相距1千米时发生战斗，而问题要求的是战斗几小时打响。

如果去掉这1千米，敌我两军就相遇了，要求的问题就转化为求相遇时间了。

师按PPT格式板书相遇路程、相遇时间、速度和。

师：那么，敌我两军的相遇路程是多少呢？
学生思考
师引导：相遇路程就是两者同时出发所走的路程和，即图中红色箭头表示的路程，为125-24-1=100（千米）。

敌军、我军的速度题目已告诉了，所以速度和为8+12=20（千米/时）。

师：已知相遇路程、速度和，因此相遇时间为：100÷20=5（小时）。

即战斗5小时打响。

实用文档
师引导学生写出完整的解题算式
学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

三、思维拓展（知识模型拓展）
展示例2：
例2：小猫和小狗赛跑，它们同时从同一起点出发，当跑到距起点1500米处时就折返往回跑。

小猫每分钟跑20米，小狗每分钟跑180米。

当小猫和小狗相遇时，小猫离折返点还有多少米？
学生读题
师：读完题后，你知道小猫和小狗相遇时，它们的相遇路程是多少吗？不妨也画线段图分析吧。

师引导学生先画一条线段长1500米，标注出起点、小猫、小狗。

师：题目说“它们同时从同一起点出发，当跑到距起点1500米处时就折返往回跑”，你能判断出是谁折返往回跑吗？
生：是小狗，因为小狗跑的比小猫快。

师：对的，一定要先判断出是小狗在折返往回跑，这是关键。

师引导学生画出小猫小狗相遇时所跑的路程
师：小猫小狗是同时出发，因此从图中能看出相遇路程是多少吗？
生：两个1500米。

实用文档
师追问：为什么？
生：相遇路程就是小猫小狗同时出发所走的路程和，即图上蓝色和红色箭头所指的路程，是1500×2=3000（米）。

师：对的，看来大家已经完全理解相遇路程的含义了。

“小猫每分钟跑20米，小狗每分钟跑180米”，从题中还可以知道什么？
生：小猫小狗的速度和，20+180=200（米/分）
师：既然已知相遇路程、速度和，能不能求出相遇时间？
生：能，3000÷200=15（分）
师：也就是小猫小狗各自跑了15分钟。

问题要求小猫离折返点还有多少米，我们可以先求出小猫跑的路程，为20×15=300（米）。

所以小猫离折返点还有1500-300=1200（米）。

师引导学生写出完整的解题算式
学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例3：
例3：甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，如果各自按原来的速度前进，则4小时相遇；如果两人各自都比原来每小时少走1千米，则5小时相遇。

那么A、B 两地相距多少千米？
学生读题
实用文档
师：读完题，发现本题有两种相遇情况。

第一种“如果各自按原来的速度前进，则4小时相遇”，可以得到甲乙的速度和×4=路程和。

因为甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，所以路程和就是A、B两地之间的距离。

第二种“如果两人各自都比原来每小时少走1千米，则5小时相遇”，这时甲的速度要比原来的速度少1，即甲的原速度减1。

同样的，这时乙的速度也是乙的原速度减1。

因此此时的速度和就变成了甲乙原来速度和减2，即(原速度和-2)×5=路程和，路程和是A、B两地之间的距离。

师：观察得到的这两个等量关系，哪些是已知量？哪些是未知量？
生：相遇时间已知，原速度和、路程和未知。

师：是的，有两个未知量，不能直接用算式计算。

这两个等量关系都是做乘法运算，同学们还记得上节课学习的画矩形图的方法吗？不妨借助矩形图来分析。

首先画出一个矩形，水平边表示原速度和，竖直边表示相遇时间4小时，这个矩形的面积就表示路程和（A、B之间的距离）。

再画一个矩形，水平边表示后来速度和，竖直边表示相遇时间5小时，它的面积表示路程和（A、B之间的距离）。

（注意，水平边和竖直边要与原来的矩形重合）。

原速度和-2=后来速度和，在图上标注出2。

因为两个矩形的面积都是表示路程和，所以面积相等，除去重叠的部分，剩下的两个绿色阴影部分面积也相等。

观察矩形图，可知其中一个绿色部分矩形的一边是4，另一边是2，面积=4×2=8，实用文档
因此另一个绿色部分面积也是8，它的水平边表示后来速度和，竖直边表示两个相遇时间之差，为5-4=1，已知面积和其中一条边，就可以求出另一条边，即后来速度和为8÷1=8（千米/时）。

后来的速度和是8千米/时，相遇时间是5小时，因此路程和为8×5=40（千米），即A、B两地之间的距离是40千米。

师小结：对于较复杂的相遇问题，要学会运用数形结合的思想解决。

四、融汇贯通（知识模型的运用）
展示例4：
例4：甲、乙两人从相距48千米的两地相向而行。

若甲先出发3小时，则在乙动身2小时后两人相遇；若乙先出发3小时，则甲动身3小时后两人相遇，求甲、乙两人的速度。

学生读题
师：读完题，发现本题和例题3一样也是有两种相遇情况，区别在于本题是一个人先出发，另一个人后出发。

不妨画线段图来帮助分析。

师：“若甲先出发3小时，则在乙动身2小时后两人相遇”，可以画出甲先出发3小时走的路程，在乙动身2小时后两人相遇，乙出发2小时，甲是不是也要走2小时呢？要注意，这里指的是甲乙同时出发2小时后相遇。

师引导学生画出线段图
实用文档
同理，师引导学生画出第二种情况的线段图。

师：线段图画出来了，同学们仔细观察，从图中能得到什么等量关系式呢？
学生思考
师引导学生比较上下两个线段图
师：大家看，这两条线段是一样长，前面一部分都是表示甲3小时走的路程，说明前面这一部分相等，那么剩下的后面这一部分也相等。

即甲2小时+乙2小时的路程=乙6小时的路程。

进而可以得到甲2小时的路程=乙4小时的路程，所以甲1小时的路程=乙2小时的路程。

知道了甲1小时走的路程等于乙2小时走的路程，那么第二条线段中，甲3小时走的路程就可以转化为乙6小时走的路程。

这样一来，乙用6+3+3=12小时就走完全程48千米。

所以乙的速度为：48÷12=4（千米/时）。

甲1小时走的路程=乙2小时走的路程，所以甲的速度为：4×2÷1=8（千米/时）。

师小结：对于较复杂的相遇问题，要学会正确画线段图分析。

五、创新应用
展示例5：
例5：龟兔赛跑，全程5100米。

兔子每分钟跑300米，乌龟每分钟跑50米，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩
15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，又跑……，那么先到达终点的要比后到达终点实用文档
的快多少分钟？
学生读题
师：读完题，同学们想到了什么故事？
生：龟兔赛跑。

师：龟兔赛跑的故事结局是谁先到达终点呢？
生：乌龟。

师：好，那么在这道题中，乌龟是不是仍然先到达终点呢，我们一起来看看。

已知全程5100米，兔子和乌龟的速度也知道。

乌龟不停地跑，你知道乌龟到达终点需要多长时间吗？
生：路程÷速度=时间，5100÷50=102（分）
师：兔子是边跑边玩，先跑1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟……兔子每次玩的时间是固定的15分钟，但是要想知道兔子到达终点需要多长时间，就必须先知道兔子跑了多长时间，玩了多长时间。

怎么算呐？
学生思考
师引导：假设兔子也是不停地跑，到达终点需要多长时间？
生：5100÷300=17（分）
师：兔子先跑1分钟，又跑2分钟，再跑3分钟，……，相当于是把17分钟分成1+2+3，一直加到几？
实用文档
生：1+2+3+4+5=15,1+2+3+4+5+6=21，没有等于17分钟。

师：1+2+3+4+5=15，兔子先跑1分钟，又跑2分钟，再跑3分钟，再跑4分钟，再跑5分钟，最后只需要再跑17-15=2分钟就到达终点。

所以17=1+2+3+4+5+2。

兔子跑了6次，前面5次都是跑一次玩15分钟，所以计算兔子到达终点需要的时间，一定要记得把玩5次的时间加上。

兔子用的时间=跑的时间+玩的时间，17+15×5=92（分钟）。

乌龟是102分钟，兔子是92分钟，所以兔子先到达终点，比乌龟快102-92=10（分钟）。

展示例6：
例6：甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行。

甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，途中乙车因修车耽误了1小时，两车在离中点10千米的C地相遇。

求A、B两地之间的距离。

学生读题
师：“甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行”，先画出线段图。

“两车在离中点10千米的C地相遇”，标注出中点。

请同学们动脑思考一下，相遇点C地应该标在图上哪里？
学生思考
生1：乙的速度比甲快，两车同时出发，那么乙走的路程比甲多，相遇点应该在中点左实用文档
边；
生2：虽然乙的速度比甲快，但是乙中途修车耽误1小时，相遇点也可以在中点右边。

师：大家说的都很有道理。

我们不妨分两种情况讨论一下。

第一种：C在中点左边
师引导学生标出C点、10km、用箭头表示出甲、乙所走的路程。

师：甲乙两车同时出发，按道理，相遇的时候两车所用的时间是相同的。

但是因为乙在中途修车耽误了1小时，所以实际上相遇时，甲用的时间比乙多1小时，也就是甲比乙多走1小时的路程。

假设甲乙两车用的时间相同，那么甲就要少走1小时路程，甲每小时行50千米，因此甲就要少走50×1=50千米。

（用箭头表示出甲少走50千米后的路程）。

大家能从线段图中看出乙比甲多走多少路程吗？
学生观察，回答。

师引导学生比较得出：乙比甲多走50+10+10=70（千米）。

师：已知甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，乙每小时比甲多行60-50=10千米。

那么两车同时出发多长时间，乙车才能比甲车多走70千米呢？
生：70÷10=7（小时）
师：对的，乙出发7小时走的路程是60×7=420（千米），因此A、B两地之间的距离为：（420-10）×2=820（千米）。

实用文档
第二种：C在中点右边
师引导学生标出C点、10km、用箭头表示出甲、乙所走的路程。

方法和第一种一样，师可先让学生回答，再作补充。

六、总结
通过这次课的学习，你学到了什么呢？
实用文档。