2005年全国初中数学联赛试题及答案2005年全国初中数学联赛试题及答案

2005年全国初中数学联赛试题及答案
一、选择题：(每题7分，共42分) 111459+302
366402
＋－－
A 、无理数
B 、真分数
C 、奇数
D 、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102
3、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b 11r r+1，
c ＝
1r(r +r+1)
，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>c
B 、b>c>a
C 、c>a>b
D 、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 、5B 、6C 21252－πD 2
1162－π5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， y 教案探究经书的真意试卷试题即使冒
记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。

化学教案肋中豁然化学教案不为外物侵乱化学
A 、p>q
B 、p ＝q
C 、p<q
D 、p 、q 大小关系不能确定 0 1 x 6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005
－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则22222
12345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。

A 、1 B 、3 C 、5 D 、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2，则x ＝＿＿＿。

3、若实数x 、y 满足
3333y x =1,3+43+6＋3333
y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0，证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有大于34而小于1的根。

2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，交CA 的延长线于P ，过E 作BC 的垂线，交CD 于G ，交BA 的延长线于Q ，证明：BC 、DE 、FG 、PQ 四条直线相交于一点。

3、a 、b 、c 为正整数，且a 2＋b 3＝c 4，求c 的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分) 1
A 、无理数
B 、真分数
C 、奇数
D 、偶数 解
：
=
14
=
=
==-
所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102 解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112
－2×10×11×cos(180°－α) ∴221－140cos α＝221＋220 cos α ∴cos α＝0 ∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C
3、设r ≥4，a ＝11r
r+1－
，b
，c
，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>c
B 、b>c>a
C 、c>a>b
D 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有
a=1114520=－，b
＝(251 1.03622020
-==≈
， c
)
52 1.182020==≈
∴c>b>a ，选D 解法2：a ＝()
11111r
r r r =++－
， b
=
=c
()()
()()())
()()()())
()
4,111111111110
111,111110
111,:,D
r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r r r a b
r r r r r
r r
r r
r r r r r r r r
r r
b c a b c ≥∴+++=+++⎤=++->⎦
∴+>++<++-+=
++>++>+<<<故又 故综上所述选　
解法3：∵r ≥4 111
r r ++＜1
∴111111111a b r
r r r r r =<=+++
c 111111
r r r r b r r r r r +-+->==++
∴a<b<c ，选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 5B 6C 21252－πD 2
1162－π解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD 的面积 ∴2
12,2
AB AB π
π⋅=∴=
由垂径定
理
得
公
共
弦
为
2
222
16162124πππ--⎛⎫-== ⎪⎝⎭
∴选D
5、已知二次函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，
记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。

A 、p>q
B 、p ＝q
C 、p<q
D 、p 、q 大小关系不能确定解：由题意得：a<0，b>0，c=0
∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b|＋|2a －b|
又1,2,20,02b
b a a b a b a a
-
>∴-<∴+>+>->从而 ∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a ，q ＝|a ＋b|＋|2a －b|= a ＋b ＋b-2a=2b-a
∴p<q ，选C 6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242
，则22222
12345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。

A 、1 B 、3 C 、5 D 、7
解：因为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242
＝2·(-2)·4·6·(-6)
所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005－x 1)2＋(2005－x 2)2＋(2005－x 3) 2＋(2005－x 4) 2＋(2005－x 5) 2＝22＋(-2) 2
＋42＋62＋(-6) 2
＝96展开得：()()
222222
123451234552005-4010x +x +x +x +x +x +x +x +x +x 96⋅=
()()2222221234512345x +x +x +x +x =96-52005+4010x +x +x +x +x 1mod10A
∴⋅≡ ，选 二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2，则x ＝＿＿＿。

，
∵x ≠0，
2
两边平方化简得：72x -=
再平方化简得：2
12421x 8x 48=0()
73
x x --=
=-，解之得或舍去
3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6
＋则x ＋y ＝＿＿。

解法1：假设x ＋y ＝a ，则y ＝a －x
()()()()()()()()
()
333333332
3
3
3
3
33
3
3
3
3
3
36343634,64343
3436461x a x x a ∴++=++-++=+⋅+⋅+⋅＋－即
()()()()()()()()
()
333333332
3
3
3
3
33
3
3
3
3
3
56545654,64545
5456462x a x x a ∴++=++-++=+⋅+⋅+⋅＋－即
()()()()()()()2
2
3
3
333333333333215
3535345363456a a -=-+-⋅+-⋅∴=+++－得：
=432
解法2：易知3
3
33
35146
x y
t t t +=++、是关于的方程
的两根 化简得：()()
23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=
33333
3
3
3
35463456432
x y x y +=+--∴+=+++=由韦达定理得：
4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以
及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

解：
{}min ,,90A B B C A α=--︒-　
()()()(),,90623902709015901575,60,4515A B B C A A B B C A A B C A B B C A A B C αααααα∴≤-≤-≤︒-∴≤-+-+︒-=︒-++=︒
∴≤︒
-=-=︒-=︒=︒=︒=︒︒
另一方面，当时，有满足题设条件，故
可取得最大值
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0
，证明：一元二次方程ax 2
＋bx ＋c
＝0有大于
3
4
而小于1的根。

解：设()2
f x ax bx c =++
()()
()()
393141641
9121616
f f a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫
⋅=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++++则
2a+3b+
∴
(
)(
)(
)
2
91216916
33
33
a b c a b c a c a c
a c
a a
c
c c
⎛⎫
∴++++=--+-+
⎪
⎪
⎝⎭
⎤
⎡⎤
=++⎥
⎣⎦
⎣⎦
⎡-
⎡⎤
=++<
⎢
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∴()
3
10
4
f f
⎛⎫
⋅
⎪
⎝⎭
＜
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于
3
4而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。

证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN·CB，BD2＝BM·BC
∴
2
2
CN CE
BM BD
=
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴,
BD CE
GN CN FM BM
CD BE
=⋅=⋅
∴()
2
2
1
GN BD BE CN BD BE CE BE CE
FM
CD CE BM CD CE BD BD CD
⋅⋅⋅
=⋅=⋅=
⋅⋅⋅
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC
∴()2
BE CE EN TN
BD CD DM TM
⋅
==
⋅
由(1)(2)得：
,.
GN TN
GN FM F G T
FM TM
=∴
又，、、三点共线
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC
记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM∥AR∥EN
∴DF AH EG
FM HR GN
==
由合比定理得：
,,.DM EN GN EN TN
F G T FM GN FM DM TM
=∴==故、、三点共线 证法3：在△ABC 中，直线DET 分别交BC 、CA 、AB 于T 、E 、D ，由梅涅劳斯定理得：1(1)BT CE AD
TC EA DB
⋅⋅= 设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△ABC 的垂心，
∵DF ⊥BC 、EG ⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴
(),,1CE CG AD HF BT CG HF
EA GH
DB FB TC GH FB
==⋅⋅代入得由梅涅劳斯定理的逆定理得：F 、G 、T 三点共线.
证法4：连结FT 交EN 于G 为了证明F 、G 、T 可
∵
1
212sin sin sin BDF BMF BD BF ABE S DF FM S BM BF CBE BM CBE
∆∆⋅∠==⋅∠∠1212sin sin sin sin CEG CMG CE CG ACD S EG CE ACD GN S CN CG BCD CN BCD
∆∆⋅∠∠===⋅⋅∠∠ 又
,BD BC CE BC
BM BD CN CE
==
∴sin ,sin DF BC ABE FM BD CBE ∠=∠()sin 1sin EG BC ACD GN CE BCD
∠=∠ ∵CD ⊥AB 、BE ⊥CA ，∴B 、D 、E 、C 四点共圆 ∴∠ABE ＝∠ACD (2)
又
,sin sin sin sin BD CE
BC BD CBE CE BCD BCD CBE
==∴∠=∠∠∠ (3)
将(2) (3)代入（1）得：DF EG
FM GN
=，故F 、G 、T 三点共线. 3、设a 、b 、c 为正整数，且a 2
＋b 3
＝c 4
，求c 的最小值。

解：显然c ＞1.由题设得：(c 2-a)(c 2+a)=b 3
若取()22
22
1,2b b c a b c c a b
⎧+-==⎨+=⎩则 由大到小考察b ，使()12
b b +为完全平方数，易知当b ＝8时，
c 2
＝36，则c=6，从而
a=28。

下面说明c 没有比6更小的正整数解，列表如下：
显然，表中c -x 的值均不是完全平方数。

故c 的最小值为6
参考答案：一、1、D 原式14
+
=
=-2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A 、 ∠C 都是直角3、D
4、D
5、C
6、A
二、1、2418 2、127
3、x ＋y ＝33＋43＋53＋63＝432
4、15°三、1、略 2、略 3、c 的最小值为6。