黄安基--第14讲 了解力学基础

20121112 均质棒AB 得质量为m=4kg ，其两端悬挂在两条平行绳 上，棒处在水平位置，如图（a ）所示。

其中一绳BD
突然断了，求此瞬时AC 绳得拉力F 。

A
B
C
D
(a)
I C
M )
(τCA
a mg
τ
A
a T
F τ
A
a C
I Rx
F I Ry
F (b)
α
【解】 当BD 绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的
简化中心在质心C 上。

因瞬时系统的速度特征量均为
零，则点A 加速度为 。

以A 为基点，有
τ
A a ττCA
A n CA n CA A C a a a a a a +=++=
ττCA
A n CA n CA A C a a a a a a +=++=其中
,l 为棒长。

ατ
2
l
a CA =虚加惯性力系，如图（
b ）所示，有
I I I 2
C C Rx A Ry
ml
M J F ma F τ
αα===，，0
2220)(=-⋅-=∑ααC A J l
ml l mg F m ， 则 因
，得 2
121ml J C =l
g 23=α0
20=-+=∑mg ml F F T y α，又 N
mg F 8.91
==得
质量为m
1和m
2
的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕
在半径为r
1和r
2
并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O
的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度（轴O处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。

, 111I a m F =由动静法：
, 0)(=∑F M
O
列补充方程： αα2211 , r a r a ==g J
r m r m r m r m ++-=2
222112
211α取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：
解： 方法1 用达朗伯原理求解
, 222I a m F =ααJ J M O O ==I 0I 22I 11I 2211=----O M r F r F gr m gr m 0
2221112211=----⇒αJ r a m r a m gr m gr m 代入上式
方法2 用动量矩定理求解 ω
ω)( 2
222
11222111J r m r m J r v m r v m L O ++=++=g J
r m r m r m r m ++-=2
222112
211 α所以根据动量矩定理：
22112
22211])[(d d gr m gr m J r m r m t
-=++ω取系统为研究对象
2211)
e ()(gr m gr m F M O -=
1212，得由∑=-W T T )
(2
2121212
222112
22222112J r m r m J v m v m T ++=++=ωω取系统为研究对象，任一瞬时系统的
g r -m r m r g m r g m s g m s g m W ϕϕϕ⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=)( 22112211221112r m r m d -2
211ωα两边对时间t 求导数，得 方法3 用动能定理求解
)
(1
某确定值C T =ϕω⋅-=-++g r m r m C J r m r m )()(2
22112
222112 dt
d )g r m r (m J)r m r (m dt d ωωϕ⋅-=++2211222211 任意假定一个初始值
第十四章分析力学基础
§14－1 质点系的自由度
§14－2 虚位移原理
§14－3 保守系统平衡的稳定性
§14－4 达朗贝尔原理与动力学普遍方程
§14－5 第二类拉格朗日方程
网上作业系统
1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。

2、告知学生用户的初始密码都是：123。

3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。

4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并等候教师审批。

1．约束及分类
约束：限制质点或质点系在空间的几何位置和运动的条件
称为约束。

（1）几何约束和运动约束
几何约束：限制质点或质点系在空间的几
何位置的条件。

§14－1 质点系的自由度
2
22l
y x =+o
y
x
)
,(y x A 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

如图1所示的平面单摆，其约束方程可表示为
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。

首先介绍一些基本概念。

一般用坐标的方程形式表示。

又如图2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为
2
22a
y x A
A =+2
2
2
)()(b
y y x x A B A B =-+-0
=B y O
y
x
b
a
)
,(A A y x A )
,(B B y x B 图2
ωr 0v o y x 图3
r
y O =0
0=-ωr v )0(0=-ϕ r x 单纯从作滚动角度看，其几何约束为：
从作纯滚动角度看，还应满足运动约束为：
运动约束：对质点或质点系的运动进行限制的条件。

一般用坐标的微分方程形式表示。

如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图3所示。

非定常约束：约束条件随时间而改变的约束。

2022)(vt l y x -=+方程中显含时间t ，此约束为非定常约束。

o
y x
)
,(y x M l v ϕ
（2）定常约束和非定常约束
定常约束：约束条件不随时间改变的约束。

如前面1、2、3中各例的约束条件皆不随时间变化（约束方程中不显含时间t ），它们均是定常约束。

如图4所示，重物M 由一条穿过固定圆环的细绳系住。

设初始摆长为l 0，匀速v 拉动绳子。

其约束方程为
如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，
（3） 完整约束和非完整约束
即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。

一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。

例如冰刀在冰面上的运动， 显然属于平面运动，
运动过程中冰刀的质心速度应沿杆方向，即满足
C C B A B A x
y x x y y =--=θtan 2B A C v v v +=⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=⇒22B A C B A C y y y x x x B A B A B A B A x x y y x x y y ++=--⇒显然导数不能经过积分运算消除
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。

例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到
（常数），该约束仍为完整约束。

0=-ϕ r x O
C r x O =-ϕ 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。

非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。

例如车轮沿直线轨道作纯滚动的运动约束 )0(0=-ϕ r x
在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。

（4） 单面约束和双面约束
刚杆 x 2+y 2=l 2 绳 x 2+y 2≤ l 2
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。

双面约束的约束方程为等式，
单面约束的约束方程为不等式。

我们只讨论质点或质点系受定
常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为： )
,,2,1( 0),,;;,,(111s j z y x z y x f n n n j ==（s 为质点系所受的约束数目，n 为质点系的质点个数）
一个自由质点在空间的位置：（ x , y , z ) 3个。

2. 自由度和广义坐标 一个自由质点系在空间的位置：( x i , y i , z i ) (i =1,2……n ) 3n 个。

对一个非自由质点系，受s 个完整约束，（3n -s )个独立坐标。

其自由度为 N =3n -s 。

确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。

例如, 前述曲柄连杆机构例子中， 确定曲柄连杆机构位置的四个坐标x A 、y A 、x B 、y B 须满足三个约束方程，因此有一个自由度。

一个自由质点在平面运动某瞬时的位置：（ x , y ) 2个。

一个自由质点系在某平面运动某瞬时的位置：( x i , y i ) (i =1,2……n ) 2n 个。

对一个非自由质点系在某平面，受s 个完整约束，有（2n -s )个独立坐标。

其自由度为 N =2n -s 。

考虑空间问题，由n个质点组成的质点系受到s个约束其自由度为
=3
N-
n
s
通常，n 与s 很大而N 很小。

为了确定质点系的位置，适当选择N 个参数（相互独立），
用来确定质点系位置，这N个独立参数，称为广义坐标。

广义坐标的选择不是唯一的。

广义坐标可以取线位移（其形式为x, y, z, s，r等）；
也可以取角位移（其形式为α,β, γ, ϕ等）。

在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

一般地，设有由n 个质点组成的质点系，具有N 个自由度， )
,,,()
,,,()
,,,()
,,,(21212121N i i N i i N i i N i i q q q r r q q q z z q q q y y q q q x x ===
=)
,,2,1(n i =取q 1、q 2、……、q N 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径都可表示为广义坐标的函数。

例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA 的转角ϕ为广义坐标，则：
, cos ϕr x A = 广义坐标选定后，质点系
中每一质点的直角坐标都可表
示为广义坐标的函数。

ϕ
sin r y A = , sin cos 2
22ϕϕr l r x B -+=0 =B y 本问题也可取点A 的坐标x A 为广义坐标
例如：双锤摆。

设只在铅直平面内摆动。

)
,( , ),(2211y x y x 两个自由度
ϕ
ϕcos , sin 11a y a x ==22121 a
y x =+2212212)()(b
y y x x =-+- 取广义坐标ϕ，ψ
ψ
ϕψϕcos cos , sin sin 22b a y b a x +=+=本问题也可取点A 、点B 的坐标x 1、x 2为广义坐标
注意ϕ，ψ可以作为广义坐标； x 1、x 2也可以作为广义坐标； 但x 1、 ϕ不可以作为广义坐标；因为二者不是两个相互独立的变量，同样x 1、 ϕ、 ψ只能算是两个独立变量。

3．虚位移
虚位移：在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点可能发生的由约束允许的任意的无限小位移。

虚位移可以是线位移，也可以是角位移。

x z
y r
M r δ图7 A r δB
r δA B δϕ图8
r δ如图7所示，可设想质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移 。

δδϕA r δB r δ通常用变分符号 来表示。

如图8中的
、 和 。

虚位移与实位移是不同的概念。

4．虚功
力在虚位移中作的功。

一般将力 在虚位移
上作的虚功表示为 ： F r δr
F W δδ⋅=力偶 所做的虚功则表示为 ： M δϕ
δ⋅=M W 应注意：因虚位移只是假想的，不是真实发生的，
实位移是质点系在一定时间内真实发生的，它除了与约束条件有关外，还与时间间隔、主动力及运动初始条件有关，且有确定的方向。

而虚位移是在约束容许的条件下可能发生的微小位移，并视约束情况可能有几种不同的方向，
虚位移无限小，实位移为有限量。

它与作用力及时间无关，与质点运动情况无关，即使质点系静止，各质点也可以有微小虚位移，是一个纯几何的概念。

故虚功也是假想的，是虚的
20121119(1)刚体
作平动 a 、力F 的虚功
r r F F W F δδδ),cos(= b 、力偶M 的虚功
0=M W δ(2)刚体作定轴转动
a 、力F 的虚功
δϕδ)(F M W z F = b 、力偶M 的虚功
δϕδM W M =(3)刚体作平面运动
a 、力F 的虚功
为速度瞬心P F M W P F ,)(δϕδ= b 、力偶M 的虚功 δϕδ
M W M = 或
r
r F F W F δδδ),cos(=
5．理想约束
理想约束：约束反力所做的虚功之和等于零的约束。

用数学公式可以表示为
=⋅==∑∑i Ni Ni N r F W W δδδ式中 表示某质点上的约束力， 表示该质点的虚位移， 表示约束反力在虚位移中所做的功。

Ni F i r δNi W δ光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束的典型例子。

设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点 ，如图9所示。

i m 0
=+Ni i F F 若给质点系以某种虚位移，其中质点 的虚位移为 ，则有 i m i r δ0
=⋅+⋅i Ni i i r F r F δδ对于质点系则有 0=⋅+⋅∑∑i Ni i i r F r F δδi m i F Ni F i r δ图9
§14－2 虚位移原理
i F Ni F 质点上作用有主动力合力 、约束反力合力
，则有
对于理想约束，存在 ，故上式变为
0=⋅∑i Ni r F δ0=⋅∑i i r F δ0
=∑Fi W δ或 上述两式称为虚功方程，即对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：
可以证明 ，不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条件。

0=⋅∑i i r F δ 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做虚功的和等于零。

这个结论称为虚位移原理，又称为虚功原理。

若有非理想约束，则把非理想约束的约束反力（动滑动摩擦力、弹簧弹力等）作为主动力处理。

应用举例
应用虚位移原理，通常可以求解以下几类问题：1．系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2．求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3．求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
考虑n 个质点组成的系统受到s 个完整双面约束
),,3,2,1(0),,,,(21s k t r r r f n k ==（14-3）
设
为系统的一组广义坐标，我们可以将各质点的位置矢径表示为所选取的广义坐标的函数：
)3(,,,21s n N q q q N -= ),,3,2,1(0),,,,(21n i t q q q r r N i i ===（14-4） 由虚位移的定义，对上式进行变分运算（计算方法等同于偏微分、微分运算），得到 ),,3,2,1(1n i q q r r N k k i i =δ∂∂=δκ
=∑（14-5） 其中
为广义坐标q k 的变分，称为广义虚位移。

),,3,2,1(N k q =δκκ=δ∂∂=δ∑q q x x N k k i i 1投影若质点系在空间运动自由度为N = ；若在某平面运动自由度为N =。

3n -s 2n -s 有几个自由度就选几个广义坐标 这样就可以把各个质点的虚位移用所选定的广义坐标的虚位移进行表示。

矢量形式具体应用时需投影 该法称为解析法
例如：考虑只在铅垂平面内摆动的双锤摆。

),( , ),(2211y x B y x A 两个自由度 ϕ
ϕcos ,sin 11a y a x ==2212
1 a y x =+2212212)()(b
y y x x =-+- 取ϕ，ψ 作为广义坐标
ψ
ϕψϕcos cos ,sin sin 22b a y b a x +=+=本问题也可取点A 、点B 的坐标x 1、x 2为广义坐标
注意ϕ，ψ可以作为广义坐标； x 1、x 2也可以作为广义坐标；
但x 1、 ϕ不可以同时作为广义坐标；因为二者不是两个相
互独立的变量，同样x 1、 ϕ、 ψ只能算是两个独立变量。

ϕϕcos ,sin 11a y a x ==ψ
ϕψϕcos cos ,sin sin 22b a y b a x +=+=ϕδϕδϕδϕδsin ,cos 11a y a x -==ψδψ
ϕδϕδψδψϕδϕδsin sin ,cos cos 22b a y b a x --=+=约束方程
有两个 动质点有两个
例14-1 求图10所示椭圆规机构平衡时，主动力P 和Q 之间的关系。

已知杆AB 长为l ，铰链是光滑的，杆重和滑动摩擦不计。

B x
y
P
Q o ϕA
y δB x δA
图10
（1）用解析法求解。

设
为变量，则有 ϕϕ
sin l y A =δϕ
ϕδ⋅=cos l y A ϕcos l x B =δϕϕδ⋅-=sin l x B 又由虚位移原理：
0=--B A x Q y P δδϕ
tan Q P =0
)sin cos (=+-δϕϕϕl Q P 代入
和 ，则有 A y δB x δ因
是任意的，得 δϕ负号表示P 、Q 分别沿x 、y 轴负向而虚位移假定沿轴正向。

B
x
y
P Q
o
ϕ
A
y δB
x δA
图10
（2）虚速度法求解。

又由虚位移原理： 0
=-B A x Q y P δδ0
)sin cos (=-δϕϕϕl Q P 代入
和 ，则有 A y δB x δ因
是任意的，得 δϕ可利用运动学中各点速度之间的关系找出其虚位移之间的关系。

运动学中各点速度分布的规律，例如平动、定轴转动、平面运动瞬时转动、速度投影定理等求速度规律都可用来确定刚体内各点虚位移之间的关系。

系统若运动则杆AB 作平面运动，P 为
其速度瞬心，给AB 一逆时针虚位移 。

δϕϕδϕδϕδcos l PA y A =⋅=ϕδϕ
δϕδsin l PB x B =⋅=称为虚速度
,,dt
r v dt r v B
B A
A δδ=
=B
x
y P
Q
o
ϕ
A
y δB
x δA
图10
P
图示机构重P ，且AC ＝BC ＝DC ＝DG ＝EG ＝EC ＝l ，弹簧原长为l ，弹簧系数为k 。

试用虚位移原理求机构平衡时，力P 与角θ的
关系。

)1sin 2(3
2-=θkl P 答案： x
y
P
θ
A
D
C
B
E
G
C C G G G y F y F y P W δδδδ⋅+⋅-⋅=,sin ,sin 3θθl y l y C G ==θδθ
δθδθδcos ,cos 3l y l y C G ==)
()sin 2(cos 3G C y y l l K l P W δδθθδθδ-⋅-+⋅=⇒0
))cos 2()sin 2(cos 3(=-⋅-+⋅=⇒δθθθθδl l l K l P W 0
)cos 2()sin 2(cos 3=-⋅-+⋅⇒θθθl l l K l P )
1sin 2(3
2cos 3)cos 2()sin 2(-=⋅-=⇒θθθθKl l l l l K P
作业：
今天交上次：全部交作业
布置本次：
P67，习题2-18（a）、(b)，要求：利用虚位移原理方法求解）
P125，习题3-14（b），要求：利用虚位移原理方法求解）P125，习题3-15（a），要求：利用虚位移原理方法求解）
曲柄OA 以匀角速度绕轴O 转动，并通过连杆AB 带动轮B 沿水平面作纯滚动。

如已知各构件均为均质且质量均为m ，几何尺寸如图所示，则图示瞬
时系统的动量大小为（ ），对轴O 的动量矩的大小为
（ ），动能为（
）。

若在图示位置给OA 一虛角位移™⎫，则轮B 的虛角位移™⎝与™⎫的关系是
（ ）。

A
O
B
r ω
l
ωml P 25
=)35(62l
r
ml L O +=ω221217ωml T =r
l δφ
δθ=
δϕδδδl r r r B D A ===C B r r δϕδ=cos OA 杆： δϕδM W M =AB 杆： ϕδϕ
δϕδcos cos Fl r F W D F -=⋅-=0
=M W δ滑块C ： ϕδϕ
δδcos Fl r F W C F -=⋅-=ϕ
ϕ
M
F
F
M
B
C
O 1
O 2
A
D
O 1A =O 2B
P
B C
A
M
ϕ
Q
δϕ
ϕδϕδ⋅⋅=⋅=)cos 2()(l
Q Q M W P Q C
r δδϕ
δϕδ2l
PC r C =⋅=ϕ
δϕδδcos 2⋅⋅=⋅=l
Q r Q W C Q
例14-2 如图11所示多跨静定梁，求支座B 处约束反力。

【解】 将支座B 除去，代入相应的约束反力R B 。

m
m 4m 4m 3m
6m 3m 6m
4A
B
C
D
E
F
G
1
P 2
P 图11
m
A
B
C
D
E
F G
1
P 2
P 1
r δB
r δB F C
r δE
r δδθ
m
4m 4m
3m 6m
3m 6m
4
211=--+-δθδδδm r P r F r P C B B B
B C B B r m r r P r r P F δδθδδδδ++=211
2
11=B r r δδ8
11
=B C r r δδ96
11
8111211121614=⨯=⋅=⋅=⋅=B C B E B G B r r r r r r r δδδδδδδδθ∴
m P P F B 96
118112121++
=而
∴
m
A
B
C
D
E
F G
1
P 2
P 1
r δB
r δB F C
r δE
r δδθ
m
4m 4m
3m 6m
3m 6m
4
Q
M
B
A C
a
a a
P
B
x δC
r δδϕ
δψ
求支座B 的水平约束反力F B x 。

Q
M
B
A
C
a
Bx
F 0
)()(=⋅+⋅-⋅=∑δψδψδϕδBx P A
F M M Q M
W 0
2=+-⇒δϕδϕδϕa F M Qa Bx δψδψδϕδa CP a r C 22===δϕ
δψ=⇒a Qa
M F Bx 2-=
⇒
20121126曲柄OA 以匀角速度绕轴O 转动，并通过连杆AB 带动轮B 沿水平面作纯滚动。

如已知各构件均为均质且质量均为m ，几何尺寸如图所示，
则图示瞬时系统的动量大小为（ ），对轴O 的动量矩的大小为
（ ），动能为（ ）。

若在图示位置给OA 一虛角位移™⎫，则轮B 的虛角位移™⎝与™⎫的关系是
（ ）。

A
O
B
r ω
l
ωml P 25=)
35(62l r ml L O
+=ω2212
17ωml T =r
l δφδθ=
广义力的概念及其计算
∑∑∑∑∑===κ=κ=κδ∂∂+δ∂∂+δ∂∂=δ=δn i n i N
k k
i
iz N k k i iy N k k i ix Fi F q q z F q q y F q q x F W W 11111)
(设作用在第i 个质点上的主动力的合力F i 在三个坐标轴上的投影分别为
（F ix ,F iy ,F iz ），令 由虚位移原理 ，考虑: κ=δ∂∂=δ∑q q r r N
k k
i
i 1∑==⋅n i i i r F 10δ（14-6）
0)(11
=δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=κ==∑∑q q z F q y F q x F N
k n i k i iz k i iy k i ix 各个质点的虚位移用所选定的广义坐标的虚位移进行表示
考虑无限小时间内力的元功
dz
F dy F dx F r d F W z y x ++=⋅=12δ力的虚功 z F y F x F r F W z y x δδδδδ++=⋅=12各个质点的虚位移用所选定的广义坐标的虚位移进行表示
考虑改变计算求和顺序，N 比较少
∂∂∂n
z y x 针对静力学
全部力的虚功 ∑
=κδ∂∂=δN
k k
i i q q x x 1相当于土1、土2、土3三个班的总人数，等于土1女生数加
男生数+土2女生数加男生数+土3女生数加男生数；也等于
土1、土2、土3的女生总数+土1、土2、土3的男生总数
),,3,2,1()
(1
N k q z F q y F q x F Q n
i k i
iz k i iy k i ix q k =∂∂+∂∂+∂∂=∑=令（14-7）
则（14-6）可以写成
1
=δ=δ∑=k N
k q F q Q W k （14-8）
式中
具有虚功的量纲，称Qq k 为与广义坐标q k 相对应的广义力。

k q q k δQ 是线位移时， 具有力的量纲；
是角位移时， 具有力矩的量纲。

k q k q Q k q k q Q 0====N q q q Q Q Q 21（14-9）
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。

由于广义坐标的独立性， 可以任意选取，则若 成立
，必须有
κδq 01=δ=δ∑=k N
k q F q Q W k 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。

系统有N 个自由度，有N 个广义力。

k
q F q Q W k δ=δ从而
k
F
q q W Q k δδ=
（14-10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便，但是有时也比较难以理解。

求广义力的方法有两种：解析法、几何法
∑=∂∂+∂∂+∂∂=n
i k i
iz k i iy k i ix q q z F q y F q x F Q k 1
)(一种方法是直接从 出发进行计算（解析法） ； κδq 另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个
不等于零，而其他N -1个广义虚位移都等于零，代入（几何法）
有非理想约束时，把非理想约束的反力作为主动力来处理。

A
F By
F Bx
F 考虑前面铅垂平面内摆动的双锤摆，受力F A 、F Bx 、F By 作用而处于平衡，求 ， 与F A ，F Bx 、F By 之间的关系。

法一（解析法）：
ϕψϕ
ϕcos ,sin 11a y a x ==ψ
ϕψϕcos cos ,sin sin 22b a y b a x +=+=ϕϕ
sin 1
a y -=∂∂ϕϕsin 2
a y -=∂∂ϕ
ϕϕϕ∂∂+∂∂+∂∂=2
21y F x F y F Q By
Bx A ψ
ψψψ∂∂+∂∂+∂∂=2
21y F x F y F Q By
Bx A ψψcos 2b x =∂∂01
1=∂∂=∂∂ψ
ψy x ϕϕcos 2a x =∂∂ψψsin 2
b y -=∂∂)
sin ()cos ()sin (ϕϕϕa F a F a F By Bx A -++-=)
sin ()cos (0ψψb F b F F By Bx A -++⋅=质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零：
By
Bx
F F Q =
⇒=ψψtan 0By A Bx F F F Q +=⇒=ϕϕtan 0ϕϕ
cos 1
a x =∂∂
A
F By
F Bx
F ϕδϕδsin 1a y -=ϕδϕδδcos 12a x x ==)
sin ()cos ()sin (ϕϕϕa F a F a F By Bx A -++-=)
sin ()cos (0ψψb F b F F By Bx A -++⋅=质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零：
20121203法二（几何法）：令 ，即保持 不变，只有
有虚位移 0,0≠=δϕδψψϕϕδϕ
δδsin 12a y y -==ϕ
δδδϕϕδ++=δδ=∑221y F x F y F W Q By Bx A F 则对应于
的广义力 ϕψ
δδδψψδ++=δδ=∑221y F x F y F W Q By Bx A F 011==y x δδψδψδcos 2b x =令
，即保持 不变，只有 有虚位移 0,0=≠δϕδψϕψψδψδsin 2b y -=则对应于
的广义力 ψ相当于OA 作定轴转动，而AB 作曲线平动。

相当于OA 保持静止不动，而AB 绕A 作定轴转动。

δϕδδa r r A B ==δψδδb r r B A ==,0F F OA
r r A B ⊥δδ,AB
r B ⊥δ
A
F F Bx
F ϕδϕδsin 1a y -=ϕδϕ
δcos 2a x =)
sin ()cos ()sin (ϕϕϕa F a F a F By Bx A -++-=)
sin ()cos (0ψψb F b F F By Bx A -++⋅=质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零：
F F 法三（几何法，从纯数学角度）：
0,0≠=δϕδψ令ϕδϕδsin 2a y -=ϕ
δδδϕϕδ++=
δδ=∑221y F x F y F W Q By Bx A F 则对应于 的广义力 ϕψ
δδδψ
ψ
δ++=
δδ=
∑2
21y F x F y F W Q By Bx A F
1=y δψδψδcos 2b x =0
,0=≠δϕδψ令ψδψ
δsin 2b y -=则对应于
的广义力 ψϕ
cos 1a y =ψϕψϕcos cos ,sin sin 22b a y b a x +=+=ϕδϕδsin 1a y -=ψδψ
ϕδϕδψδψϕδϕδsin sin ,cos cos 22b a y b a x --=+=
§14-3 保守系统平衡的稳定性
针对静力学
则虚功方程（14-6）中各力的投影可以表达为
i iz i iy i ix z V F y V F x V F ∂∂-
=∂∂-=∂∂-=,,于是有
V
z z V
y y V x x V z F y F x F W i i
i i i i i iz i iy i ix F δ-=δ∂∂+δ∂∂+δ∂∂-=δ+δ+δ=δ∑∑)()(这样，虚位移原理的表达式成为
（14-12）
=δV 上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能
在平衡位置处的一阶变分为零。

下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守系统），则势能应为各质点坐标的函数，为
)
,,,,,,(111n n n z y x z y x V V =（14-11）
有势力在直角坐标上的投影等于
势能对该坐标的偏导数冠以负号
如果用广义坐标q 1,q 2,…,q N 表示质点系的位置，则有
)
,,,,(111N q q q q V V =∑∑∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=)
()(k
i
i k i i k i i k i iz k i iy k i ix q q z z V q y y V q x x V q z F q y F q x F Q k 根据广义力表达式（14-7），在势力场中可将广义力Qq k 表达为
（14-13）
),,3,2,1(N k q V k
=∂∂-=则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
)
,,3,2,1(0
N k q V Q k
q k
==∂∂-=（14-14）
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。

上面两式对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意义。

=δV )
,,3,2,1(0
N k q V Q k
q k
==∂∂-=
O y
x
l
l
A
B
k
F W
ϕ例 图示杆长均为l ，铰A 处挂一重物W ，滑块B 联一刚度系数为k 的弹簧，当 时，弹簧弹性力等于0，不计各处摩擦、杆和滑块自重，求机构的平衡条件。

0ϕϕ=机构约束均为理想约束，主动力有重力W 和弹簧弹力F k ，都是有势力。

机构有1个自由度，以
为广义坐标。

ϕ以Ox 轴为重力零势能位置，以弹簧原长为弹性力零势能位置。

机构在任意位置
时： ϕϕsin 1W l V =2
022)]cos (cos 2[22ϕϕδ-==l k
k V 系统总势能：
2
022
1)cos (cos 2sin ϕϕϕ-+=+=kl W l V V V 机构平衡条件： 0=V δ0sin )cos (cos 4cos 02
=--ϕϕϕϕkl W l ϕ
ϕϕtan )cos (cos 40-=kl W 0=∂∂ϕ
V 或。