直角三角形的边角关系

A. 2
B. 3 2
C. 3 1
D.不能确定
4.在△ABC中，∠C=90°，若BC=4cm，sinＡ=2 ，
则AC的长是
()
B
5
A.6cm B. 2 2c1m
C. 3 5 cm D. 2 13cm
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于D，cos A53 = BD=8，则AC=D( )
10、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8， BC=18，求tanB。
试一试：在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC， tan∠BCD=0.5，AB=4 ，求AC。2
E
B
∠A的对边
tanA
A的对边 A的邻边
A ∠A的邻边 C
有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,求山坡的坡度i。
求锐角三角函数值
求比值
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分
别为c 、a、b ，其中除直角c 外，其余的5个元素之间有以下关系：
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
正弦 余弦 正切
b a
cotB=
a b
观察以上结果，你发现了什么?
A
c
b
BaC
同角三角函数之间的关系
1、sin2A+cos2A= 1
2、cotA= 1 tan A
{tanA= 1
cot A
或 tanA•cotA=
sin A
1}
3、tanA= cos A
cos A 3、cotA= sin A
互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系
Rt△ABC∽Rt△DEF
已知：如上图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=900，∠A=∠D， 则tanA和tanD有什么关系？你能得出什么结论？
两个锐角相等,则两锐角的正切值相等。 Rt△ABC∽Rt△DEF
已知∠A、∠B为锐角
（1） 若∠A=∠B，则tanA = tanB；
BC EF AC DF
┌ DB
7、在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB。
A
8.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给数据求出tanC吗？
13 12
13
B 5D
C
10
9、在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=25，AB=27，求tanA和tanB (2)BC=3，tanA=0.6，求AC 和AB。 (3)AC=4，tanA=0.8，求BC。
13
求:AB，sinB。
3、如图所示，在△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°，AD 是∠BAC
的平分线。已知AB= 4 3 ，那么AD= 4 .
1 , 在 等 腰 三 角 形 A B C 中 ， A B=A C=5 ， B C=6 ， 求 s i n B , c o s B , t a n B .
（2）若tanA=tanB，则∠A = ∠B。
判断对错:
BC
1、如图，tanA=
错
AC
如图
AC
(2) tanA= （ ）
BC
(3)tanA= BC （ ）
AB
(4)tanA=0.7m（ ）
(5) tanA 0.7
tanA=0.7或tanA=-0.7 （ ）
(6)tanB= 10 （ ）
2、在右图中求tanA的值
itan 603.
1005
60m
α
┌
坡度等于坡角的正切。 100m
1、在红顶工程中，要求许多楼顶是人字型并挂红瓦 装饰，现知道楼顶的坡度超过1.3时瓦片挂不住。下 图是某一建筑楼顶的初步设计方案。你根据图 中数
据说明这一建筑的楼顶是否能挂住红瓦？
A
10
10cm
m
12m
B
D
12cm
C
3、在“小车下滑的时间”的实验过程中，如图所 示，小车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果是 4秒，木板的坡度为0.75。请你根据图中数据计算小车 的平均速度是多少？
2m
1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较； 2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。
观察下面两组图,请你根据数据,判断每组图中的两个 梯子哪一个更陡些?你是用什么方法判断的?
A
E
A E
3m 4m
5m 5m
B
2m
C
F
D
(1) 1m
B
2m
C
F
D
1.2m
(2)
想一想: (1) 梯子AD如图放置,梯子与地面形成的角是哪一个? 如果梯子的位置不变,那么这个角变不变?
当Rt△ABC中的锐角A确定时， ∠A的对边和邻边的比是确定的。 那么,其他各边之比也确定吗？
正弦 余弦 正切
∠A的对边 sinA= 斜边
=
a c
cosA=
∠A的邻边 斜边
=
b c
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a b
B
c
a
A
b
C
余切
∠A的邻边 cotA= ∠A的对边
=
b a
定义: 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数。
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB (2)BC=3，tanA= 5 ，求AC 和AB。
12
例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=15，tanA= 3 ，求AC和BC。 4
C
6、在右图中,若BD=6,CD=12。求tanA的值。
taA n ta n BC B D D 61 CD 122A
2、对这节课的学习，你还有 什么想法吗？
小结
1、正切的定义。
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。（∠A和tanA 之间的关系）。
3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识； 方程思想。
4、“一般 方法。
特殊
一般”的数学思想
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
36cm
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边 的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切。
tanA
A的对边 A的邻边
B
斜边
∠A的对边
A
∠A的邻边
C
cotA
A的邻边 A的对边
这个比叫做∠A的余切。
sin
A
A的对边 斜边
这个比叫做∠A的正弦。
cosA
A的邻边 斜边
这个比叫做∠A的余弦。
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠ A的三角函数。
A.15 C.18
B.16 D. 15
2
一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段 60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的 高度吗？
C
200m
B
E
300m
A
FD
梯子的倾斜程度与sinA和cosA有什么关系？ sinA的值越大，梯子越陡； 课本第9页 cosA的值越小，梯子越陡；
(2) BC:AC与DE:AE的值有什么关系?如果改变点B 在AD上的位置,这个比值变不变?
(3)如果改变这个角的大小,这个比值变不变?
你认为这个比值能用来描述梯子的倾斜程度吗?
D B
A
C
E
在墙角处放有一架较长的梯子，你有什 么方法得到梯子的倾斜程度？
A E
用AC或EF表示 BC BF
B
FC
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么 ∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个 比叫做∠A的正切。
∠A的对边 sinA= 斜边
=
a c
∠A的邻边
cosA=
斜边
=
b c
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a b
B
c
a
┌
A
b
C
余切
∠A的邻边 cotA= ∠A的对边
=
b a
1、在Rt△ABC中，∠B=900，AC=200，sinA=0.6。求BC的长.
2、在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cosA 12.
sinA=cosB, cosA=sinB tanA=cotB， cotA=tanB 条件：∠A+∠B=900
观察一副三角板,其中有几个锐角,他们分别等于多少度?
完成下表
角α 三角函数 sinα cosα
30º 45º 60º
1
3
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
tanα
3 3
1
3
1、通过这节课的学习活动你 有哪些收获？
3、如图, ∠C=90°，CD⊥AB
(CD) (AC) (AD)
tan
B
( BD)
(BC)
(CD)
A
C
┌ DB
子母图
tanB的大小只与∠B的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
4、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍， tanA的值（ ） A、扩大100倍 B、缩小100倍 C、不变 D、不能确定
乙梯中: tanD6 3. 84
∵tanD＞tanA,∴乙梯更陡.
生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=900，tanA=tanD，
则∠A与∠D有什么关系？你能得出什么结论？
两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等。
BC EF AC DF
B
tanA
A的对边 A的邻边
∠A的对边
A
∠A的邻边
C
在前面的学习过程中，你认为梯子的倾斜程 度与tanA有什么关系？
tanA的值越大，梯
C
子越陡，∠A越大；
∠A越大，梯子越陡，
tanA的值越大。
A
D
下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
B
E
13m
5m 6m
A
甲
C
8m F乙 D
解:甲梯中:tanA 5 5. 13252 12
5、已知∠A、∠B为锐角 （1） 若∠A=∠B，则tanA tanB （2）若tanA=tanB，则∠A ∠B。
B
A ∠A的邻边
∠A的对边
tanA
A的对边 A的邻边
C
定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角 （注意数形结合，构造直角三角形）。 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号。但tan∠BAC， tan∠1中的“∠”不能省略。 3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位。 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角 形的边长无关。 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等。
2,在 △ ABC中 ， ∠ C=900， sinA=4,BC=20, 5
求 △ ABC的 周 长 和 面 积 。
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=3 ,则
tan A=
2
3 3
。
2．等腰三角形底角为30°，底边长为 2 ，3 则腰长为
()
C
A.4 B. 2 3
C.2
D.
3
2
3.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上， ∠CBD=30°，则AD/DC的值为( ) C
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200， sinA=0.6，
求BC的长
C
cosA=
。
sinC=
。
cosC=
。
tanA=
。cotA=
.B
A
tanC=
。cotC=
.
你能得出什么结论？
如图，
sinA=
a c
cosA=
b c
tanA=
a b
cotA=
b a
a c
tanB=
直角三角形的边角关系
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个梯 子哪个更陡吗？你 有哪些办法？
在图中的梯子AB和梯子EF哪个更陡，你是怎样判断的？你有 几种判断方法？能与大家交流一下吗？
1、可以从梯子与地面夹角的大小来比较；
2、可以从夹角的对边与邻边的比值来比较。
A
E
5m
5m
B
G
2.5m
C
F
D