2021-2022年高一上学期第一次月考数学试卷 含解析

2021-2022年高一上学期第一次月考数学试卷含解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确的说法是（）
A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上四种说法都不对
2．已知集合A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x＞1}那么A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x∈R|1＜x≤5} 3．下列表示图中的阴影部分的是（）
A．（A∪C）∩（B∪C）B．（A∪B）∩（A∪C）C．（A∪B）∩（B∪C）D．（A∪B）∩C
4．下列四组函数中表示同一函数的是（）
A．f（x）=x，B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2
C．，g（x）=|x|D．f（x）=0，
5．=（）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．下列四个图象中，不是函数图象的是（）
A．B．C．D．
7．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）
A．x=60t
B．x=60t+50t
C．
D．x=
8．设A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）
A．a≥3 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤3
9．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=（x≠0），则f（）等于（）
A．15 B．1 C．3 D．30
10．f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则当x＜0时，f（x）=（）
A．2x﹣1 B．﹣2x+1 C．2x+1 D．﹣2x﹣1
11．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是（）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
12．对于函数f（x）=，下列结论中正确的是（）
A．是奇函数，且在[0，1]上是减函数
B．是奇函数，且在[1，+∞）上是减函数
C．是偶函数，且在[﹣1，0]上是减函数
D．是偶函数，且在（﹣∞，﹣1]上是减函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）
13．若A={﹣2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示B=．
14．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人．
15．函数f（x）的定义域为[a，b]，且b＞﹣a＞0，则F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的定义域是．
16．若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）
17．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值．
18．已知△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），求函数f（t）的表达式．
19．确定函数y=x+（x＞0）在区间（1，+∞）的单调性，并用定义证明．
20．已知函数，求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．
21．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
22．已知定义在[﹣3，2]的一次函数f（x）为单调增函数，且值域为[2，7]，
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数f[f（x）]的解析式并确定其定义域．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确的说法是（）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上四种说法都不对
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法．
【分析】（1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；
（2）由集合中元素的无序性知（2）正确；
（3）由集合中元素的互异性知（3）不正确；
（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．
【解答】解：（1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，
由集合中元素的无序性知（2）正确；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}，
由集合中元素的互异性知（3）不正确；
（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．
故选C．
2．已知集合A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x＞1}那么A∩B等于（）
A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5} C．{2，3，4}D．{x∈R|1＜x≤5}
【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集的定义，求出两个集合的交集．
【解答】解：∵A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x＞1}，
∴A∩B={x∈R|1＜x≤5}
故选D
3．下列表示图中的阴影部分的是（）
A．（A∪C）∩（B∪C）B．（A∪B）∩（A∪C）C．（A∪B）∩（B∪C）D．（A∪B）∩C
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．
【解答】解：图中阴影部分表示元素满足：
是C中的元素，或者是A与B的公共元素
故可以表示为C∪（A∩B）
也可以表示为：（A∪C）∩（B∪C）
故选A．
4．下列四组函数中表示同一函数的是（）
A．f（x）=x，B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2
C．，g（x）=|x|D．f（x）=0，
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数是同一个函数的定义，函数的三要素均相等，或两个函数的图象一致，根据函数的定义域与函数的解析式一致时，函数的值域一定相同，我们逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致，即可得到答案．
【解答】解：∵y=x（x∈R）与（x≥0）两个函数的定义域不一致，
∴A中两个函数不表示同一函数；
∵f（x）=x2，g（x）=（x+1）2两个函数的对应法则不一致，
∴B中两个函数不表示同一函数；
∵f（x）=|x|与g（x）==|x|，且两个函数的定义域均为R
∴C中两个函数表示同一函数；
f（x）=0，=0（x=1）两个函数的定义域不一致，
∴D中两个函数不表示同一函数；
故选C．
5．=（）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由f（x）=，知f[f（﹣1）]=f（1），由此能够求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f[f（﹣1）]=f（1）=1+2=3．
故选A．
6．下列四个图象中，不是函数图象的是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的定义，在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
【解答】解：根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，
对照选项，可知只有B不符合此条件．
故选B．
7．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）
A．x=60t
B．x=60t+50t
C．
D．x=
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【分析】由已知中A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B
到A时路程x（km）表示为时间t（h）的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式．
【解答】解：由题意得A，B两地相距150km，
某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B须要2.5小时，以50km/h
的速度返回A地，从B到A需要3小时
∴当0≤t≤2.5时，x=60t，
当2.5＜t≤3.5时，x=150，
当3.5＜t≤6.5时，x=150﹣50（t﹣3.5），
故
故选D
8．设A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）
A．a≥3 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤3
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意，利用数轴表示集合A，结合题意，由A⊆B，分析可得a的取值范围．【解答】解：根据题意，A={x|2＜x＜3}，如图
若B={x|x＜a}，且A⊆B，必有a≥3，
则a的取值范围是[3，+∞）；
故答案为：A．
9．已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=（x≠0），则f（）等于（）
A．15 B．1 C．3 D．30
【考点】函数的表示方法．
【分析】可令g（x）=，得出x的值，再代入可得答案．
【解答】解：令g（x）=，得1﹣2x=，解得x=．
∴f（）=f[g（）]===15．
故选A．
10．f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则当x＜0时，f（x）=（）
A．2x﹣1 B．﹣2x+1 C．2x+1 D．﹣2x﹣1
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】先根据f（x）为偶函数得到f（﹣x）=f（x），从而可设x＜0，进而﹣x＞0，根据条件即可求出f（﹣x）=﹣2x﹣1=f（x），这样即求出了x＜0时，f（x）的解析式．
【解答】解：f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x）；
设x＜0，﹣x＞0，则：
f（﹣x）=2（﹣x）﹣1=f（x）；
∴x＜0时，f（x）=﹣2x﹣1．
故选D．
11．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是（）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴不等式等价为f（|2x﹣1|），
∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，
∴，解得．
故选A．
12．对于函数f（x）=，下列结论中正确的是（）
A．是奇函数，且在[0，1]上是减函数
B．是奇函数，且在[1，+∞）上是减函数
C．是偶函数，且在[﹣1，0]上是减函数
D．是偶函数，且在（﹣∞，﹣1]上是减函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】求得定义域为R，再由奇偶性的定义和二次函数的单调性，即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）=的定义域为R，
f（0）=1，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x+1）2=（x﹣1）2=f（x），
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x﹣1）2=（x+1）2=f（x），
综上均有f（﹣x）=f（x），
则f（x）为偶函数，且在（﹣∞，﹣1]上是减函数．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）
13．若A={﹣2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示B={4，9，16} ．
【考点】集合的表示法．
【分析】由题意，A={﹣2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，依次计算出B中元素，按题目要求用列举法写出即可
【解答】解：由题，A={﹣2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，
∴B={4，9，16}，
故答案为{4，9，16}
14．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为26人．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】画出表示参加体育爱好者、音乐爱好者集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．
【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，
设参加体育爱好者、音乐爱好者的人数构成的集合分别为A，B，
则card（A∪B）=55﹣4=51．card（A）=43，card（B）=34，
由公式card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）
知51=43+34﹣card（A∩B）
故card（A∩B）=26
则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为26人．
故答案为：26．
15．函数f（x）的定义域为[a，b]，且b＞﹣a＞0，则F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的定义域是[a，﹣a] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】先根据函数f（x）的定义域为[a，b]，求出f（﹣x）中x的范围，而函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的定义域，为f（x）中x的范围与f（﹣x）中x的范围的交集，再根据b＞﹣a＞0，取交集即可．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[a，b]，
∴f（﹣x）中a≤﹣x≤b，即﹣b≤x≤﹣a
∴函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）要成立，需满足
，
又∵b＞﹣a＞0，∴a≤x≤﹣a
故函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的定义域是[a，﹣a]
故答案为[a，﹣a]
16．若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是[0，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x），解出k的值，化简f（x）的解析式，通过解析式求出f（x）的递减区间．
【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即（k﹣2）x2 ﹣（k﹣1）x+3=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3，∴k=1，
∴f（x）=﹣x2 +3，f（x）的递减区间是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）
17．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A∩B={﹣3}得﹣3∈B，分a﹣3=﹣3，2a﹣1=﹣3，a2+1=﹣3三种情况讨论，一定要注意元素的互异性．
【解答】解：∵A∩B={﹣3}，
∴﹣3∈B，而a2+1≠﹣3，
∴当a﹣3=﹣3，a=0，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，
这样A∩B={﹣3，1}与A∩B={﹣3}矛盾；
当2a﹣1=﹣3，a=﹣1，符合A∩B={﹣3}
∴a=﹣1
18．已知△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），求函数f（t）的表达式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由于△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的形状在t取不同值时，形状不同，故可以分当0＜t≤1时（此时满足条件的图形为三角形）和当1＜t≤2时（此时满足条件的
图形为四边形）及t＞2时（此时满足条件的图形为三角形OAB）三种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到函数f（t）的表达式．
【解答】解：由图，
当0＜t≤1时，
此时满足条件图形为以t为底，以t为高的三角形
∴
当t＞2时，
此时满足条件图形为△OAB
∴
当1＜t≤2时，
此时满足条件图形为△OAB减一个以（2﹣t）为底，以（2﹣t）为高的三角形所得的四边形
∴
综上可得
19．确定函数y=x+（x＞0）在区间（1，+∞）的单调性，并用定义证明．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】可设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可得出y1＞y2，这样即得出函数在区间（1，+∞）上的单调性．
【解答】解：设x1＞x2＞1，则：
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，；
∴；
∴y1＞y2；
∴在区间（1，+∞）上单调递增．
20．已知函数，求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．
【分析】先利用单调性的定义，确定函数的单调性，再求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．
【解答】解：在[2，5]上任取两个数x1＜x2，则有…．
∵2≤x1＜x2≤5
∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
所以，函数f（x）在[2，5]上是增函数．…．
所以，当x=2时，f（x）min=f（2）=2…．
当x=5时，…．
21．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，（C R A）∩B；
（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，
B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，
∴（C R A）∩B{7，8，9}
（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
∴解得3≤a＜6
实数a的取值范围是3≤a＜6
22．已知定义在[﹣3，2]的一次函数f（x）为单调增函数，且值域为[2，7]，
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数f[f（x）]的解析式并确定其定义域．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法．
【分析】（I）由已知中函数f（x）为一次函数，我们可以用待定系数法求解函数的解析式，设出函数的解析式，然后根据已知中函数f（x）的定义域为[﹣3，2]，值域为[2，7]，构造关于k，b的方程组，解方程组，即可得到函数f（x）的解析式．
（II）欲求[f（x）]的解析式，先将f（x）的解析式代入其中得到f（x+5），再根据f（x）的对应法则得到[f（x）]的解析式，最后利用x+5∈[﹣3，2]求出x的范围即可确定其定义域．
【解答】解：（I）设f（x）=kx+b（k＞0）
由题意有：，
∴，
∴f（x）=x+5．
（II）f（f（x））=f（x+5）=x+10，
由x+5∈[﹣3，2]得x∈[﹣8，﹣3]，
f（f（x））的定义域[﹣8，﹣3]．
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