2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2012年⾼教社杯全国⼤学⽣数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国⼤学⽣数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明⽩，在竞赛开始后参赛队员不能以任何⽅式（包括电话、电⼦邮件、⽹上咨询等）与队外的任何⼈（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别⼈的成果是违反竞赛规则的, 如果引⽤别⼈的成果或其他公开的资料（包括⽹上查到的资料），必须按照规定的参考⽂献的表述⽅式在正⽂引⽤处和参考⽂献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的⾏为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择⼀项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
2.
3.
指导教师或指导教师组负责⼈(打印并签名)：指导教师组
⽇期：2012 年9 ⽉10 ⽇赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进⾏编号）：
编号专⽤页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进⾏编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进⾏编号）：
太阳能⼩屋的设计
摘要
本⽂针对太阳能⼩屋设计问题，根据题⽬中附件所给的数据，结合实际情况，建⽴了天空各向同性模型，利⽤⽬标优化思想，分析了光伏电池的不同安装⽅式时，⼩屋外表⾯光伏电池的优化铺设⽅案。

并计算出了⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限。

针对问题⼀，建⽴天空各向同性模型，算出了⼤同市太阳能⼩屋⼀年中各个⾯的太阳能辐照量，仅考虑贴附安装⽅式，从电池的性能、价格、转换率、寿命等⽅⾯设计出了⼩屋外表⾯光伏电池的铺设⽅案，从⽽给出⼩屋各外表⾯光伏电池的优化⽅案。

并且计算出⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量为777846度，净收⼊为109697元，投资的回收年限为21年。

针对问题⼆，由太阳辐射能公式可以计算出⼭西⼤同地区的电池板最佳倾⾓为34度，在问题⼀的基础上，得到了架空⽅式安装光伏电池时，⼩屋各外表⾯光伏电池的优化⽅案。

并可以计算出⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量为943177度，净收⼊为192362元，投资的回收年限为20年。

针对问题三，依据该地区光伏电池板的最佳倾⾓
34，并结合房屋设计的基本要求条件，设计出使⼩屋尽可能多得接收太阳能的⽅案，并得到了⼩屋的设计效果图。

计算出⼩屋各外表⾯光伏电池的铺设⽅案。

得到了⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量为665985度，净收⼊为332993 元，投资的回收年限为19年。

关键词：天空各向同性模型⽬标优化太阳能
⼀、问题重述
近年来，利⽤太阳能发电已成为社会的热门话题，⽽太阳能⼩屋的设计也吸引了⽆数⼈的眼球。

在设计太阳能⼩屋时，需在建筑物外表⾯（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产⽣的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使⽤，并将剩余电量输⼊电⽹。

不同种类的光伏电池每峰⽡的价格差别很⼤，且每峰⽡的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线⼊射⾓、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的⽓候与⽓象条件、安装部位及⽅式（贴附或架空）等。

因此，在太阳能⼩屋的设计中，研究光伏电池在⼩屋外表⾯的优化铺设是很重要的问题。

根据题中提供的数据，对下列三个问题，分别给出⼩屋外表⾯光伏电池的铺设⽅案，使⼩屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能⼤，⽽单位发电量的费⽤尽可能⼩，并计算出⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民⽤电价按0.5元/kWh 计算）及投资的回收年限。

在求解每个问题时，都要求配有图⽰，给出⼩屋各外表⾯电池组件铺设分组阵列图形及组件连接⽅式（串、并联）⽰意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。

在同⼀表⾯采⽤两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同⼀型号的电池板可串
联，⽽不同型号的电池板不可串联。

在不同表⾯上，即使是相同型号的电池也不能进⾏串、并联连接。

应注意分组连接⽅式及逆变器的选配。

问题1：请根据⼭西省⼤同市的⽓象数据，仅考虑贴附安装⽅式，选定光伏电池组件，对⼩屋的部分外表⾯进⾏铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾⾓均会影响到光伏电池的⼯作效率，请选择架空⽅式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据题中给出的⼩屋建筑要求，请为⼤同市重新设计⼀个⼩屋，要求画出⼩屋的外形图，并对所设计⼩屋的外表⾯优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接⽅式，选配逆变器，计算相应结果。

⼆、模型的假设
1. 太阳能⼩屋不受建筑物等其他物体的遮挡。

2. 同种规格的光伏电池性能完全相同。

3. 散射和反射特性都是完美的，即各向同性。

4. 电池板在规定年限内没有损坏。

三、符号说明
I：倾斜⾯上的⼩时太阳总辐射照量。

t
I：⽔平⾯上的太阳直射辐照度
b
H：⽔平⾯散射辐射强度。

d
H:⽔平⾯总辐射强度。

H：倾斜⾯上的散射辐射量。

βb
H:地⾯反射辐射照量。

βr
H：倾斜⾯上的散射辐照量。

βd
p:各个墙⾯的最⼤输出功率，i=
i
c:各个墙⾯所需的最⼩费⽤，i=
i
s：房屋表⾯积
v：第i种材料的最⼤电压。

i
i：第i种材料的最⼤电流。

i
ρ：地表反射⽐。

R：北半球倾斜⾯和⽔平⾯上⼩时直射辐射⽇照量的⽐值。

b
α：太阳⾼度⾓
θ：电池板的倾⾓
β：倾斜⾯与⽔平⾯之间的夹⾓。

：当地纬度。

δ：太阳⾚纬⾓。

ω：时⾓。

s t ：太阳时。

n ：为⽇期序号。

四、问题分析
太阳能是⼀种新型的洁净可再⽣资源，合理的开发和利⽤太阳能具有重要的意义。

在设计太阳能⼩屋时，光伏电池在⼩屋表⾯的优化铺设⽅案极其重要。

针对问题⼀，由⼩屋的外观尺⼨图，计算各个⾯的⾯积。

根据⼤同典型⽓象年逐年时参数及各⽅向辐射强度，计算各个⽅向⼀年的辐射强度，对于屋顶的辐射强度，建⽴天空各向同性模型计算倾斜⾯上的⼩时太阳总辐射照量。

将伏安特性、转换效率、价格作为考核光伏电池的指标，根据输出功率最⼤和所需费⽤最⼩，建⽴⽬标优化模型[6]。

⽬标函数为：约束条件为：
利⽤约束条件，以及各个墙⾯⼀年中不同时刻所受光照的强弱得出表1：
则，去除收益为负值的东⾯墙和北⾯墙。

并确定光伏电池组件的分组阵列串并联的⽅式，根据设计的电池组件分组阵列的输出电压和总功率，选配相应⼯作电压和功率的逆变器的容量和数量，从⽽设计⼩屋外表⾯光伏电池的优化铺设⽅案。

由电池的转换效率得出⼀年的发电总量，已知光伏组件在0~10年效率为100%，10~25年效率为90%，25年后为80%，当前民⽤电价按0.5元/kWh ，可得计算出⼩屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限。

针对问题⼆，当接收器安装⾓度与⽔平⾯有⼀定夹⾓θ时，接收器所接受的太阳辐
射量为：)sin(20
θα+=I
S Q （其中，0S 为太阳常数，I 为给定时间的⽇地距离的⽐值，H 为太阳⾼度⾓）。

根据有关资料显⽰，⼭西⼤同市所在地的最佳电池组倾⾓为?=34θ。

计算⼩屋各个⾯和屋顶的辐射强度，借⽤问题⼀的思想，从⽽求出相应答案。

针对问题三，根据题⽬中的⼩屋的建筑要求，调整⼩屋的设计⽅案。

设定⼩屋的电池板的铺设倾⾓为最佳倾⾓，再次利⽤第⼀问的优化思想设计优化铺设⽅案。

五、模型的建⽴与求解
5.1 问题⼀的求解
5.1.1 天空各向同性模型[4]的准备
北半球倾斜⾯和⽔平⾯上⼩时直射辐照量的⽐值
ωδ?δ?δβ?ωδβ?cos cos cos sin sin sin )sin(cos cos )cos(+-+-=
b R （1）
⾚纬⾓也称为太阳⾚纬，即太阳直射纬度，其计算公式近似为
())
(3652842sin 45.23度
+=n πδ（2）其中，n 为⽇期序号
时⾓是以正午12点为0度开始算，每⼀⼩时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度。

因此，时⾓的计算公式为
()()度1215-=s t ω（3）其中，s t 为太阳时（单位：⼩时）。

倾斜⾯与⽔平⾯之间的夹⾓6400
1200
tan 2360a πβ=。

解得?=6.10β。

其中，)12(15),365
)
284(2sin(
45.23,6.10,1.40-=+===s t n ωπδβ? 带⼊公式（1），得出⼀年内每天每时的太阳辐射照量。

⽔平⾯上的太阳直射辐照度d b H
H I -=，根据⼭西⼤同典型⽓象年逐年时参数和⽔平总辐射强度及⽔平⾯散射辐射强度，计算得出了⼤同⽔平⾯上每⼩时的太阳直射辐照度。

5.1.2 天空各向同性模型的建⽴与求解
对于斜⾯上的辐射来说，除了直射外，还有天空中的散射以及地⾯反射部分。

为了简化问题，⽅⾯计算，我们假设散射和反射各向同性。

在斜⾯上的⼩时太阳总辐照量由太阳直射辐照量、散射辐照量和地⾯反射辐照量，即
)2
cos 1()2cos 1(βρβ-+++=H H R I I d b b T [3]
（4）
整理后得
)2
cos 1()2cos 1()(β
ρβ-+++-=H H R H H I d b d T （5）
其中，资料显⽰，ρ常取0.2。

直射部分为：
)
(d b H H H -=β（6）
反射部分：
)c o s 1(21
βρβ-=
H H r （7）散射部分：
)c o s 1(21
ββ+=
d d H H （8）
由公式（5），利⽤题⽬中⼤同辐射数据可计算太阳能⼩屋屋顶⼀年中每时的辐照量。

5.1.3 求解⼩屋外表⾯光伏电池的铺设⽅案
填充因⼦[1]（曲线因⼦）是表征太阳电池性能优劣的⼀个重要参数，定义为太阳电池的最⼤功率和开路电压和短路电流的乘积之⽐，通常⽤FF(或CF)表⽰
其中，m I 为最佳⼯作电流，m U 为最佳⼯作电压，m P 为最⼤输出功率，sc I 为短路电流，oc U 为开路电压。

计算结果如表2所⽰
其中，a 为光伏电池每峰⽡的价格，P 为组件功率。

计算结果如表3所⽰
和功率容量（W ）等参数进⾏分组设计。

电池组件可以通过同类型组件的串联叠加电压和功率形成“⼀串”连接组件及相应的输出电压（V ）和功率（W ）。

为了保证光伏组件正常⼯作，只允许相同型号的光伏组件进⾏串联。

多个光伏组件串联后可以再进⾏并联，并联的光伏组件端电压相差不应超过10%。

⼀串或多串（相同电压、功率）组件通过并联即形成“分组阵列”，
该“分组阵列”的总功率（W ）为所有组件功率的总和。

同⼀分组阵列中的组件在安装时，尽可能保证具有相同的太阳辐射条件（朝向、倾⾓等）。

除此之外，影响⼩屋各外表⾯电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式（串、并联）的因素还有：铺设墙⾯的⾯积、光伏电池性能、价格、转换效率、寿命等，根据这些条件的限制，设计光伏电池的优化铺设⽅案。

光伏电池的最⼤输出功率为：HS P m η=
其中，η为太阳能电池的变换效率，S 为太阳能电池受光⾯积。

计算太阳能⼩屋各个⾯铺设光伏电池后35年的所需投⼊的费⽤和收益，结果如表4所⽰：
则，通过表4的计算结果进⾏利润的筛选后，我们只在⼩屋的南⾯、西⾯和顶⾯铺设光伏电池。

逆变器对于接⼊的光伏分组阵列有以下要求：a ）光伏分组阵列的端电压应满⾜逆变器直流输⼊电压范围，当电压低于其范围下限时，逆变器将停⽌运⾏。

此时光伏发电系统不输出电⼒，即认为系统不能发电，应在发电量计算中予以剔除。

b ）光伏阵列的最⼤功率不能超过逆变器的额定容量。

逆变器的选配容量应≥光伏电池组件分组安装的容量。

由逆变器选配要求和光伏电池的容量，根据设计的电池组件分组阵列的输出电压和总功率选配相应⼯作电压和功率的逆变器的数量和类型，结果如表5所⽰：
计⽅案进⾏优化，进⽽可以计算出优化⽅案的35年所需投⼊的费⽤和收益，结果如表6所⽰。

⽤后的第21年达到收⽀平衡。

第22年后开始盈利。

所以，投资回报年限为21年。

对于顶层，题⽬的附件4中列⽰了⼀年中每⽇每时刻的太阳光照辐射量，对数据进⾏处理，我们可以分析出顶层的光照辐射量最⼤，且其单位时刻的辐射量基本都满⾜太阳光辐照阈值，即辐照强度⼤于200W/㎡，以及根据附件3中对各种材料及型号的组件尺⼨、组件功率、转换效率等指标的描述，对于顶层铺设光伏电池组件应选择A 单晶硅电池中的A3型号，另外，根据顶层⾯积及A3组件尺⼨，可以计算出顶层铺设51块
A3电池板最为合适。

每17个光伏电池串联后并联。

对于南⾯，根据⼩屋的坐落的纬度、朝向，及题⽬的附件4中列⽰的南向总辐射强度⼤⼩，我们可以发现其辐照强度⽐顶层略⼩，且其单位时刻的辐射量⼤部分都满⾜太阳光辐照阈值，即辐照强度⼤于200W/㎡，因此应部分选⽤A3型号的单晶硅电池，剩余部分选⽤多晶硅电池和薄膜电池，出于对组件尺⼨、组件成本、转换效率和南⾯墙的⾯积考虑，可以计算出10块
C10, 29块C8 ，5块C6型号的电池板最为合适。

对于西⾯，根据⼩屋的坐落⽅位及附件4所给出的数据，我们可以看出选择B和C 种电池时，能够最⼤限度的接收太阳能量，并转化为电能。

通过计算得出，铺满西⾯的墙⾯需3块C9，10块C7和9块B2。

太阳能⼩屋顶层、南⾯和西⾯的光伏电池的优化铺设⽅案如图1~3所⽰：
图1. ⼩屋顶层光伏电池的优化铺设
图2. ⼩屋南墙光伏电池的优化铺设
图3. 西墙⾯光伏电池的优化铺设
⼩屋各外表⾯电池组件铺设分组阵列图形及组件连接⽅式（串、并联）⽰意图如图4~6
图4. 顶层电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
顶层电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式:51个A3：每20个并联后，选择逆变器SN6，共选择两个逆变器SN6；剩余11个并联，选择逆变器SN5。

图5. 南墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
南墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式:4个A3并联，选择逆变器SN3；10个C10并联与5个C6并联与14个C8并联，选择逆变器SN1， 15个C8并联，选择逆变图6. 电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式: 3个C9并联,10个中，相邻两个先串联，再与3个C9并联，选择逆变器SN1，9 个B2中，每四个先串联，再并联，选择逆变器SN14。

5.2 问题⼆的求解
5.2.1 电池板倾斜时太阳辐射模型
由太阳发射出的太阳辐射能到达地球时，如果暂不涉及地球表⾯外围的⼤⽓层及其它因素的⼲扰，则它所接受的太阳辐射能数量为：
α
sin 20
0I S Q = （9）
式中，0S 为太阳常数，指位于地球的⼤⽓层外，在⽇地平均距离上，垂直于太阳射线的1平⽅厘⽶⾯积上，每分钟所接受的太阳辐射能数值。

I 为给定时间的⽇地距离与平均⽇地距离的⽐值。

由公式（12）可计算
0sin Q S I α
=
(10) 当接收器安装⾓度与⽔平⾯为最佳倾斜⾓度θ时，接收器所接受的太阳辐射能数值
为
)sin(2
θα+=
I S Q （11）其中，经查阅资料得知?=34θ。

利⽤公式（9）~（11）即可求出每⼀时刻单位⾯积上接收的太阳辐射能。

在第⼀问求解的基础上，利⽤求得的每⼀时刻单位⾯积上接收的太阳辐射能，计算太阳能⼩屋各个⾯铺设光伏电池后35年的所需投⼊的费⽤和收益，结果如表6所⽰：
则，表6的计算结果显⽰，当光伏电池铺设东墙和北墙时，利润为负值，我们将它们舍去，只对南⾯、西⾯和⼩屋顶⾯进⾏铺设，则优化⽅案的35年的所需投⼊的费⽤和收益表8所⽰。

表9所⽰：
设⽅案相同。

随着太阳能电池板的投⼊使⽤，每年的发电量近似相同，并不断积累，并在投⼊使⽤后的第20年达到收⽀平衡。

第21年后开始盈利。

所以，投资回报年限为20
年。

5.3 问题三的求解 5.3.1 太阳能⼩屋的设计
由问题⼆的结果可知，当倾⾓为?34时，光伏电池的⼯作效率最⼤。

因此，本⽂重新设计的⼩屋的电池板的倾⾓为?34。

从⼩屋东北⾓观察（⼤门⾯向南），⼩屋的外形如图7所⽰。

图7. ⼩屋外形图
根据⼩屋的⼩屋的建筑要求，其设计的各个指标如图8所⽰。

图8.⼩屋轮廓图
在问题⼀和问题⼆结果的基础上，根据⼩屋设计轮廓图的数据，计算出太阳能⼩屋的电池组件分组阵列容量及选配的逆变器规格如表10所⽰：
设计的太阳能⼩屋的35年的所需投⼊费⽤和收益如表11所⽰：⽤后的第19年达到收⽀平衡。

第20年后开始盈利。

所以，投资回报年限为19年。

5.3.2 求解⼩屋外表⾯光伏电池的铺设⽅案
⼩屋各外表⾯电池组件铺设分组阵列图形及组件连接⽅式（串、并联）⽰意图如下：
图8. 顶层电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
顶层电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式: 20 个B2,其中 15个，3个，3个串联后，再并联，选择逆变器SN8，剩下5 个B2并联，选择逆变器SN4,31个C8串联，选择逆变器SN1。

图9. 南墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
南墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式：10个B2，5个并联，需要2个SN4，。

图10. 东墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式
东墙电池组件铺设分组阵列及组件连接⽅式：2个A3并联，选择逆变器SN3，7个B2并联，选择逆变器SN5。

六、模型评价
6.1.1 模型优点
1. 天空各向同性模型计算简便，实⽤性强。

2. 模型假设和设计与实际情况相⽐较较为合理。

3. 模型计算结论有很好的实⽤价值和经济效益。

6.1.2 模型缺点
1. 天空各向同性模型假设环绕太阳的散射和倾斜⾯上的地⾯亮度各个⽅向都相同，事实并⾮如此。

所以与实际情况有差距，需改进。

2. 电池板倾斜时太阳辐射模型假设太阳发射出的太阳辐射到达地球过程中，不受外界因素⼲扰，有⼀定的局限性。

七、参考⽂献
[1] 冯垛⽣，王飞编著，太阳能光伏发电技术图解指南，北京：⼈民邮电出版社，2011.5
[2] 任新兵编著，太阳能光伏发电⼯程技术，北京：化学⼯业出版社，2011.9 [3] 杨⾦焕，于化丛，葛亮编著，太阳能光伏发电应⽤技术，北京：电⼦⼯业出版社，2009.1
[4] 冯垛⽣，张淼，赵慧，林珊编著，太阳能发电技术与应⽤，北京：⼈民邮电出版社，2009.9
[5]⾼援朝，沙永玲，王建新编著，太阳能热利⽤技术与施⼯，北京：⼈民邮电出版社
[6]胡运权主编，运筹学教程（第三版），北京：清华⼤学出版社，2007.4
[7]韩忠庚编著，数学建模⽅法及其应⽤，北京：⾼等教育出版社，2005.6。