2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线练习文
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第4讲不等式、线性规划练习文
第4讲 不等式、线性规划[考情分析] 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．热点题型分析热点1 不等式的性质及解法1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．2.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．3.简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x1.已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B ．①②④ C.①③④ D ．②③④答案 A解析 解法一：由a >b >0可得a 2>b 2，所以①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，所以②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，所以③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，有a 3＋b 3<2a 2b ，所以④不成立．故选A. 解法二：令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.2.函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3)C.(－∞，0]∪[3，＋∞)D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A解析 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0⇔x (x －3)≤0，解得0≤x ≤3，故选A.3.不等式2x －4x －1≤1的解集为( )A.{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C.{x |1<x ≤3} D ．{x |1<x <3}答案 C解析 由2x －4x －1≤1，移项得2x －4x －1－1≤0，即x －3x －1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x ≠1，解得1<x ≤3，故选C.1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a －b 或者a －b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a ＞b ＞0，∴a －b ＞b －b ＝0，即a －b ＞0.2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x －x 2≥0得出选项C.3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x －4≤x －1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.热点2 基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1)通过变形直接利用基本不等式解决．(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：①若a x ＋b y＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2mnab (字母均为正数)；②x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a ≥a ＋2b (x >a ，b >0)．1.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值 答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.故选C.2.已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．所以x (4－3x )的最大值为43，取得最大值时x 的值为23.3.设x >－1，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值为________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ＝x ＋x ＋x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋2＋x ＋＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取“＝”(由于x >－1，故x ＝－3舍去)，∴y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值为9.4.(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin60°＋12c ×1×sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，1a ＋1c ＝1，因此4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c 的最小值为9.1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点3 简单的线性规划问题1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．2.常见代数式的几何意义(1)z ＝Ax ＋By 表示与直线y ＝－A B x ＋z B 在y 轴上的截距z B成比例的数； (2)z ＝(x －a )2＋(y －b )2区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方； (3)z ＝y －bx －a表示区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3.求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．4.解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．题型1 已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.2.(2019·晋城一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≤0，y ≥2，则z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13的最小值为________． 答案 12解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13＝(x －2)2＋(y －3)2，故z 表示可行域内的点A (x ，y )与定点P (2,3)间距离的平方，即z ＝|PA |2.由图形可得|PA |的最小值即为点P (2，3)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋3－4|2＝22，所以z min ＝d 2＝12.第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形. 题型2 已知目标函数的最值求参数1.(2019·华南师大附中一模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．2答案 A解析 由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －得B (1，－2a )．当直线2x ＋y －z ＝0过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选A.2.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4， 则y ＝－ax ＋z 截距的最大值为4. ①若a <0，则不满足条件；②若a >0，当－a <－1，即a >1时，x ＝2，y ＝0是最优解，此时a ＝2；当－a >－1，即0<a <1时，x ＝1，y ＝1是最优解，此时a ＝3>1(舍)．故选B.第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y ＝a (x －3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y ＝－ax ＋z 截距最值相同，易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3 线性规划的实际应用(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2,2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600.1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B ．a <c <b C.c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a .故选B. 2.(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A.－15 B ．－9 C ．1 D ．9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.3.(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C.[－23，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 答案 A解析 关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2.综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.故选A. 4.(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b，因为对于任意x,2x>0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a＋2－3b≥22a ×2－3b＝22－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a＝2－3b，a －3b ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上可得2a＋18b 的最小值为14.专题作业一、选择题1.(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A.－7 B ．1 C ．5 D ．7答案 C解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z .作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.2.不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，x ≠－12，即－12<x ≤1.故选A.3.(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.∵a >b >0且ab ＝1，∴a 2>ab >b 2，则a >1,0<b <1， 于是2a>2，∴0<12a <12，则b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B.解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b.故选B. 4.(2019·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b的最小值为( )A.16 B ．9 C ．5 D ．4答案 A解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．∴a ＋9b 的最小值为16，故选A.5.已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2＋2a ＝4，2－2a ＝0，解得a ＝1，故选C.6.(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >c B ．b >a >c C.c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.7.已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A.8 B ．9 C ．10 D ．11答案 B解析 ∵x ，y >0且x ＋4y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋4·y x ＋x y≥5＋24·y x ·xy＝5＋4＝9，当且仅当4·y x ＝x y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12(舍去)时等号成立．故选B.8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．[0，2]答案B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取值范围是[0,2]．故选B.9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为( )A.1B ．－1C ．3D ．0答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.故选C.10.若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0的点(x ，y )，则实数k 的取值范围为( )A.(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，74C.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74答案 D解析 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0，对应的可行域如图中阴影部分：直线l ：kx －y ＋1＝0可化为y ＝kx ＋1，故直线l 过定点C (0,1)，由图可知，当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0的交点A (1,1)时，k ＝0；当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －4y －4＝0的交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－43时，k ＝74.由此可知当0<k <74时，直线与不等式组无交点，即直线l 上不存在满足不等式组的点．故选D.11.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，∴a >1且b >1.1a ＋1b ＝1可变形为a ＋bab＝1，∴ab ＝a＋b ，∴ab －a －b ＝0，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1，∵a －1>0， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1a －＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时取“＝”⎝ ⎛⎭⎪⎫由于a >1，故a ＝23舍去，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 12.(2019·太原模拟)已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[3，＋∞) B ．(－∞，3] C.(－∞，6] D ．[6，＋∞)答案 D解析 ∵a >0，b >0，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9ab＝16， 当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时等号成立，所以(a ＋b )min ＝16. 若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则－x 2＋4x ＋18－m ≤16，即m ≥－x 2＋4x ＋2对任意实数x 恒成立，∵－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6≤6，∴m ≥6. ∴实数m 的取值范围是[6，＋∞)．故选D. 二、填空题13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.15.(2019·衡水中学检测)设满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是______________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝10解析 作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO (含内部及边界)．易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0,6)，C (2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r ＝12|AC |＝10.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.16．若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 x 2＋y 2≤1表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，易得直线6－x －3y ＝0与圆相离，故|6－x －3y |＝6－x －3y ，当2x ＋y －2≥0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝x －2y ＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z ＝x －2y ＋4，则可知当x ＝35，y ＝45时，z min ＝3，当2x ＋y －2≤0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝8－3x －4y ，可行域为大的弓形内部，目标函数z ＝8－3x －4y ，同理可知当x ＝35，y ＝45时，z min ＝3，综上所述，(|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |)min＝3.。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第9讲函数的图象与性质练习2
(4)对于抽象函数一般用定义法． 3.三招判断函数奇偶性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的
1
1
e11k＝2，当 x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝8×192＝24.
1 本题易错点有二：一是指数式的运算 e22k＋b＝e22keb 能否正确运用；二是利用 e11k＝2整体代换的 技巧而求解本题.
真题自检感悟 1.(2018·浙江高考)函数 y＝2|x|sin2x 的图象可能是( )
答案 D
1 解析 如图，分别画出两函数 y＝f(x)和 y＝－4x＋a 的图象．
1
(1)先研究当 0≤x≤1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝2 x的图象只有一个交点的情况．
1
当直线 y＝－4x＋a 过点 B(1,2)时，
1
9
9
2＝－4＋a，解得 a＝4.所以 0≤a≤4.
1
1
(2)再研究当 x>1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝x的图象只有一个交点的情况：
是( )
A.0<f(1)<f(3)
B．f(3)<0<f(1)
C.f(1)<0<f(3)
D．f(3)<f(1)<0
答案 C
解析 由 f(x＋2)＝－f(x)得 f(x＋4)＝f(x)，故函数的最小正周期为 4，又函数 f(x)为奇函数，
且 f(x)在[0,2)上单调递减，
2020届高考数学第二轮填空题专项训练13 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（13）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α= ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =， 则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则O M O N ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f af b , ，（注：{}m a x x y ,表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14.1 .。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第8讲数列课件文
热点题型分析
真题自检感悟
专题作业
2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an＋1＝2Sn，则数列{an}的通 项公式为________．
答案 an＝12·，3nn－＝2，1n，≥2
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真题自检感悟
专题作业
解析 当 n≥2 时，an＝2Sn－1，∴an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，即 an＋1＝ 3an，∴数列{an}的第 2 项及以后各项构成等比数列，a2＝2a1＝2，公比为 3，
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真题自检感悟
专题作业
2.已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．
答案
21 2
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真题自检感悟
专题作业
解析 由题意得，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an －an－1＝2(n－1)，
将上述 n－1 个式子累加，得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2[1＋2 ＋…＋(n－1)]，
C.2n＋nln n D．1＋n＋nln n
答案 C
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真题自检感悟
专题作业
解析 由题意得na＋n＋11－ann＝ln (n＋1)－ln n，n 分别用 1,2,3，…，(n－1) 取代，累加得ann－a11＝ln n－ln 1＝ln n，ann＝2＋ln n，∴an＝(ln n＋2)n，故选 C.
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真题自检感悟
专题作业
2.(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn 是其前 n 项和．若 a2a5＋a8＝0，S9＝27，则 S8 的值是________．
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第7讲三角恒等变换与解三角形课件文
第7讲 三角恒等变换与解三角形
[考情分析] 三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角 函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化 弦、角的变换是常考的内容．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考 的必考内容，主要考查：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的 计算；(4)有关边、角的范围问题；(5)实际应用问题．
∴sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA， 得 2cosAsinB＝2sinAcosA， ∴cosA＝0 或 sinB＝sinA，∴A＝π2或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．故选 D.
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专题作业
3.(2018·浙江高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 若 a＝ 7，b＝2，A＝60°，则 sinB＝________，c＝________.
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专题作业
4.(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点 D 为 AB 延长线 上一点，BD＝2，连接 CD，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC＝________.
答案
15 2
10 4
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专题作业
解析 解法一：依题意作出图形，如图所示，
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专题作业
2.(2017·山东高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 △ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下 列等式成立的是( )
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第10讲函数与导数课件文
答案 D
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专题作业
解析 由 f(x)＝x2－aln x，得 f′(x)＝2x－ax， ∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－ax≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤2x2 在(1，＋∞)上恒成立， ∵当 x∈(1，＋∞)时，2x2>2，∴a≤2.故选 D.
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真题自检感悟
专题作业
3.利用导数研究函数极值与最值需注意的几点 (1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点； (2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值； (3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数 分类讨论．
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答案 D
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真题自检感悟
专题作业
解析 由 x2·f(x1)－x1·f(x2)<a(x1－x2)得 x2[f(x1)＋a]<x1[f(x2)＋a]，即fx1x1＋a<fx2x2＋a，令 h(x)＝fxx＋a，则对于 任意的 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，都有 x2·f(x1)－x1·f(x2)<a(x1－x2)成立，等 价于当 x1<x2 时，h(x1)<h(x2)恒成立，即函数 h(x)在[1，＋∞)上为增函数；h(x) ＝ex＋axx－2＋a，则 h′(x)＝xex－exx＋2 2－a≥0 在[1，＋∞)上恒成立．∴xex －ex＋2－a≥0，即 a≤xex－ex＋2 在[1，＋∞)上恒成立．令 g(x)＝xex－ex＋2， ∴g′(x)＝xex>0，∴g(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴g(x)≥g(1)＝2，∴a≤2. ∴a 的取值范围是(－∞，2]．故选 D.
2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训
高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a n ≠0，(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)，设b n ＝a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 100＝________.答案 9901解析 由(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)整理得a n ＋1·(S n ＋1－S n －1)＝2n (S n ＋1－S n )⇔a n ＋1·(a n ＋1＋a n )＝2na n ＋1，即a n ＋1＋a n ＝2n (n ≥2)，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，两式相减得a n ＋2－a n ＝2(n ≥2)，故{b n }从第二项起是以2为公差的等差数列，b 1＝a 1＝1，由于a 3＋a 2＝4，则a 3＝2，∴b 2＝a 3＝2，故T 100＝1＋2×99＋99×982×2＝9901. 3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )， 则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4. 所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆． 又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内， 所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ， 所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝－2＋2＋－2＝2，此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22， 所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点， 又圆Q 与圆C 的两圆心距离为 |CQ |＝t ＋2＋t －2＝2t 2＋2t ＋1，所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ， 即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2， 解得－3＋23≤t ≤3.所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x－2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点； 当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln (2a )或x >0，由f ′(x )<0得ln (2a )<x <0，∴f (x )在(－∞，ln (2a ))上单调递增，在(ln (2a )，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln (2a )，由f ′(x )<0得0<x <ln (2a )，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x－x 2－1x对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝x －x－x －x2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x－1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x>x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．高难拉分攻坚特训(二)1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，数列{b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，n ∈N *.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( ) A ．m ＝10，n ＝12 B ．m ＝9，n ＝11 C ．m ＝4，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝3答案 D解析 因为a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数y ＝12x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋12b 22＝a 11＋12a 211，得b 2＝a 11＝4，同理有b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋12a 211＝12，故b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.故选D.2．已知f (x )＝axx 2＋c＋b ，g (x )＝[f (x )]2－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}． 答案 ①③⑤ 解析 令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原点(0,0)对称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝axx 2＋c(a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而得到的，所以函数y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．当x >0时，y ＝axx 2＋c＝ax ＋cx，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋c x在(0, c )上单调递减，所以函数y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋c x在(c ，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则|f (x )|≤M 成立；当x ≠0时，y ＝axx 2＋c ＝ax ＋c x，则|y |＝|a ||x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c x ≤|a |2|c |＝|a |2c .所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋b ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋|b |≤|a |2c ＋|b |，令M ＝|a |2c＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确．若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝±1，从而得axx 2＋c＋b ＝±1，故axx 2＋c＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤|a |2c 即可，而b 不一定为零，故④不正确．由g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝axx 2＋c＋b ＝±1.取b ＝0，axx 2＋c＝1，整理得x 2－ax＋c ＝0.当a ＝3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝axx 2＋c为奇函数，故方程的解集为{1，－1,2，－2}，故⑤正确．综上可得①③⑤正确．3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0外切，同时与圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．解 (1)∵圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1. ∵圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5. 设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ， ∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1， ∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ， 两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|， 由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2 2. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0)， ∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2. ∵k AP ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)， y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得x S ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1；同理得，x T ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1.∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21， 又∵P ，A 在椭圆上，∴y 21＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219，y 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229， ∴y 22－y 21＝89()x 21－x 22，∴x 21y 22－x 22y 21＝8x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229－8x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝8(x 21－x 22)，∴|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21－x 2289x 21－x 22＝9.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x－12ax 2＋1，a ∈R .(1)当a ≤1时，讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝1时，证明不等式1f＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝x e x－ax ＝x (e x－a )． 当a ≤0时，e x－a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，若x <0，则e x－a <0，f ′(x )>0；若x >0，则e x－a >0，f ′(x )>0. 所以f (x )在R 上单调递增．当0<a <1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1时，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减． (2)证明：由题意知，当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－12x 2＋1.当n ＝1时，1f＝2<4，显然成立．当n ≥2时，由(1)知，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以g (x )≥g (0)＝0，即e x≥x ＋1.所以当n ≥2时，f (n )≥(n －1)(n ＋1)－12n 2＋1＝12n 2，1f n ≤2n 2，所以1f n <2n －n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .于是1f＋1f＋…＋1fn <2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝4－2n <4. 综上可知，1f ＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．高难拉分攻坚特训(六)1．已知函数f (x )＝x ＋1ex－ax 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e答案 A 解析 f (x )＝x ＋1ex－ax ，令f (x )＝0，可得ax ＝x ＋1ex，当x ＝0时，上式显然不成立；可得a ＝x ＋1x e x (x ≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g (x )＝x ＋1x e x的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝ex－x 2－x －x e x 2<0恒成立，可得当x ＞0时，g (x )单调递减；当x＜0时，g (x )单调递减．且g (x )＝x ＋1x e x>0在x >0或x <－1时恒成立，作出函数g (x )的大致图象，如图，由图象可得a >0时，直线y ＝a 和y ＝g (x )的图象有两个交点．故选A.2．已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．答案25π4解析 因为六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P －ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则13×⎝ ⎛⎭⎪⎫6×12×1×1×sin60°h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2，解得R ＝54，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4. 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2. 点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 2－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20.直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20， 即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8. 4．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，直线l ：y ＝2kx －1.(1)设P (x ，y )是y ＝f (x )图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率k ＝g (x )，若g (x )在x ∈(m ，m ＋1)(m >0)上存在极值，求m 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(3)试确定曲线y ＝f (x )与直线l 的交点个数，并说明理由． 解 (1)∵g (x )＝y x ＝ln x ＋xx(x >0)，∴g ′(x )＝1－ln xx2＝0，解得x ＝e. 由题意得，0<m <e<m ＋1，解得e －1<m <e.(2)假设存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线， 令切点Q (x 0，y 0)，∴切线的斜率2k ＝f ′(x 0)＝1x 0＋1.∴切线的方程为y －(ln x 0＋x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1(x －x 0)，又∵切线过点(0，－1)，∴－1－(ln x 0＋x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1(0－x 0)．解得x 0＝1，∴2k ＝2， ∴k ＝1.(3)由题意，令ln x ＋x ＝2kx －1，得k ＝ln x ＋x ＋12x .令h (x )＝ln x ＋x ＋12x (x >0)，∴h ′(x )＝－ln x2x 2， 由h ′(x )＝0，解得x ＝1.∴h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (1)＝1，又x →0时，h (x )→－∞；x →＋∞时，h (x )＝12＋ln x ＋12x →12，∴k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪{1}时，只有一个交点；k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，有两个交点；k ∈(1，＋∞)时，没有交点．高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，选C.2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233解析 如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2，又∵C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，设点C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2＝(x ，y )，∴32≤y ＝3λ＋μ2≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233.3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意的x >1恒成立，求k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1，令f ′(x )<0⇒0<x <e－a －1，故f (x )的极小值为f (e－a －1)＝－e－a －1＝－e －2，得a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln xx －1， 则g ′(x )＝x －2－ln x x －2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x＝x －1x>0， 故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2，∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0，∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值？若存在，求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 则圆心C (1,0)，半径r ＝1.设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝x ，R ＋1＝|PC |，所以|PC |＝x ＋1，即x －2＋y 2＝x ＋1，整理得y 2＝4x .所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1k，则直线l 的方程为y ＝1t(x －2)，即x ＝ty ＋2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋2，消去x ，得y 2－4ty －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－8.因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)， 故k 1＝y 1x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4y 1， 同理，得1k 2＝t ＋4y 2，所以1k 21＋1k 22－m k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 22－m k2＝2t 2＋8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×4t－8＋16×t2－－－2－mt 2＝2t 2＋4－mt 2＝(2－m )t 2＋4，要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值，且定值为4.高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1350.若a 2<2，则n 的最大值为( )A ．51B ．52C ．53D ．54 答案 A解析 因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2＋a 1－，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.当n 为偶数时，n n ＋2＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n 为奇数时，n n ＋2＋(a 1－1)＝1350，a 1＝1351－n n ＋2，因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1351－n n ＋2>1，所以n (n ＋1)<2700，又n ∈N *,51×52＝2652，所以n ≤51，故选A.2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．答案51281解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E 点，设BC ＝a ，则BO ＝22a ，在Rt △EOB 中，则有EO 2＋OB 2＝EB 2，故EO ＝4－a 22，正四棱锥的高为2＋4－a 22，正四棱锥的体积为V ＝13×a 2×⎝⎛⎭⎪⎫2＋4－a 22，令x ＝4－a 22，x ∈(0,2)，则V (x )＝13×(8－2x 2)×(2＋x )，即V (x )＝13×(－2x 3－4x 2＋8x ＋16)，对V (x )求导得，V ′(x )＝13×(－6x 2－8x ＋8)，令V ′(x )＝0，即－6x 2－8x ＋8＝0，解得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，V ′(x )<0，V (x )单调递减，故当x ＝23时，V (x )max ＝51281.3．已知F 是抛物线C ：x 2＝2py ，p >0的焦点，G ，H 是抛物线C 上不同的两点，且|GF |＋|HF |＝3，线段GH 的中点到x 轴的距离为54.点P (0,4)，Q (0,8)，曲线D 上的点M 满足MP →·MQ→＝0.(1)求抛物线C 和曲线D 的方程；(2)是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 分别与抛物线C 相交于点A ，B (A 在B 的左侧)、与曲线D 相交于点S ，T (S 在T 的左侧)，使得△OAT 与△OBS 的面积相等？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)由抛物线定义知54＋p 2＝32，得p ＝12，故抛物线的方程为x 2＝y .由MP →·MQ →＝0得点M 的轨迹D 是以PQ 为直径的圆， 其方程为x 2＋(y －6)2＝4.(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT |＝|BS |， 则|AS |＝|BT |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，S (x 3，y 3)，T (x 4，y 4)， 由AS →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，TB →＝(x 2－x 4，y 2－y 4)， 且AS →＝TB →得x 3－x 1＝x 2－x 4，即x 1＋x 2＝x 4＋x 3.(ⅰ)当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝m ，此时只需点(0，m )在圆D 内即可，此时4<m <8.(ⅱ)当直线l 的斜率不为0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝y 得x 2－kx －m ＝0，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点， 所以Δ＝k 2＋4m >0，① 且x 1＋x 2＝k .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y －2＝4得(1＋k 2)x 2＋2k (m －6)x ＋(m －6)2－4＝0，直线l 与圆D 交于S ，T 两点，所以圆心D (0,6)到直线l 的距离d ＝|m －6|1＋k2<r ＝2，即(m －6)2<4(1＋k 2)，②且x 3＋x 4＝－2km －1＋k2.因为x 1＋x 2＝x 4＋x 3，所以k ＝－2k m －1＋k 2，k ≠0，化简得k 2＝11－2m .代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧11＋2m >0，m －2－m ，解得－2<m <6.又k 2＝11－2m >0，∴－2<m <112. 综上所述，实数m 的取值范围为(－2,8)．4．已知函数f (x )＝ln x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1，a ∈R .(1)若f (x )≥0，求实数a 取值的集合；(2)当a ＝0时，对任意x ∈(0，＋∞)，x 1<x 2，令x 3＝x 2－x 1f x 2－f x 1，证明：x 1<x 3<x 2.解 (1)由已知，有f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.当a ≤0时，若取x ＝12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＋a <0，与条件f (x )≥0矛盾； 当a >0时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )<0，f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )在(0，＋∞)上有最小值f (a )＝ln a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝ln a ＋1－a .由题意f (x )≥0，∴ln a ＋1－a ≥0.令g (x )＝ln x －x ＋1，∴g ′(x )＝1x －1＝1－xx.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．∴g (x )在(0，＋∞)上有最大值g (1)＝0. ∴g (x )＝ln x －x ＋1≤0.∴ln a －a ＋1≤0. ∴ln a －a ＋1＝0，∴a ＝1，综上，当f (x )≥0时，实数a 的取值的集合为{1}．(2)证明：当a ＝0时，f (x )＝ln x ，则1x 3＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1.由(1)，可知ln x ＋1x－1≥0.∴ln x ≥1－1x(当且仅当x ＝1时取等号)． ①∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴ln x 2x 1>1－x 1x 2＝x 2－x 1x 2，∴1x 3>1x 2.∵当x >1时，有ln x <x －1，x 2x 1>1， ∴ln x 2x 1<x 2x 1－1＝x 2－x 1x 1.∴1x 3<1x 1. 综上所述，有1x 1>1x 3>1x 2>0，∴x 1<x 3<x 2.高难拉分攻坚特训(五)1．已知函数f (x )＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案 B解析 记直线2kx －2y －k π＝0为l ，则l 必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.又l 与f (x )的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以由题意可知，x 1＋x 3＝2x 2＝π，且l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，(x 3，f (x 3))是其中一个切点．因为f (x )＝sin2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ，所以切线l 的斜率k ＝2cos2x 3＝sin2x 3x 3－π2，即x 3－πx 3sin2x 3＝1，所以(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝(π－2x 3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 3＝π－2x 3x 3sin2x 3＝－1.故选B.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)，若λ(S n－a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的最小值为________．答案332解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)， 所以S n ＋1－S n ＝2n＋S n －S n －1，故a n ＋1－a n ＝2n(n ≥2)，因为a 2－a 1＝21，所以a n ＋1－a n ＝2n(n ≥1)， 所以a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －2，…，a 2－a 1＝21，则a n －a 1＝21＋22＋…＋2n －1，故a n ＝1＋21＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n －1， 所以S n ＝21＋22＋23＋ (2)－n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－n －2，所以S n －a n ＝2n－n －1，因为λ(S n －a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立， 所以λ≥⎝⎛⎭⎪⎫2n －72n max . 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋1<c n ， 因此c 1<c 2<c 3<c 4<c 5＞c 6＞c 7＞… 即λ≥c 5＝332，故λ的最小值为332.3．已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)若a ＝1，f (x )>x －k xx －1＋x －1在(1，＋∞)上恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由题可知f ′(x )＝1x －a x 2＋1＝x 2＋x －ax2(x >0)， ①当a ≤0时，此时f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >－1＋4a ＋12；令f ′(x )<0，解得0<x <－1＋4a ＋12.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋4a ＋12上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋4a ＋12，＋∞上单调递增．(2)原不等式等价变形为(k －1)ln x ＋x －1x>0恒成立． 令g (x )＝(k －1)ln x ＋x －1x(x >1)，则g ′(x )＝k －1x ＋1＋1x 2＝x 2＋k －x ＋1x 2.令h (x )＝x 2＋(k －1)x ＋1，①当k ≥－1时，此时h (x )的对称轴：x ＝－k －12＝1－k2≤1，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．又∵h (1)＝k ＋1≥0，∴h (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．∴g ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (1)＝0. ∴k ≥－1符合要求．②当k <－1时，此时h (1)＝k ＋1<0，∴h (x )＝0在(1，＋∞)上有一根，设为x 0， 当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减．∴g (x )<g (1)＝0.这与g (x )>0在(1，＋∞)上恒成立矛盾． 综合①②可得，k 的取值范围为[－1，＋∞)．4．已知点A 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝32上任意一点，点C (2，0)，线段AC 的中垂线交线段AB 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，且与动点M 的轨迹交于点E ，F ，求△OEF 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题知|MA |＝|MC |，∵|MA |＋|MB |＝42， ∴|MB |＋|MC |＝42>4＝|BC |，∴M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，其方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当l 的斜率存在时．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1，可得|EF |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22·1＋k 2·8k 2－m 2＋42k 2＋1， ∵l 与圆O 相切，∴3m 2＝8(1＋k 2)，从而|EF |＝463·＋k2k 2＋k 2＋2，令2k 2＋1＝t ，得k 2＝t －12(t ≥1)，∴|EF |＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t＋2 ＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≤433×32＝2 3. 当且仅当t ＝2，即k ＝±22时取等号． ∴(S △OEF )max ＝12×23×83＝2 2. ②当l 的斜率不存在时．易得l 的方程为x ＝263或x ＝－263.此时|EF |＝463，∴S △OEF ＝12×463×83＝83<2 2. 由①②可得，S △OEF 的最大值为2 2.。
2020年高考数学(文)二轮复习命题考点串讲系列-专题14 椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)
2020年高考数学（文）二轮复习命题考点串讲系列-专题14 椭圆、双曲线与抛物线1、考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．2、重点知识梳理一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎫p2，0轴 长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 e ＝c a＝1－b2a2(0<e<1)e ＝c a＝1＋b2a2(e>1)e ＝1 准线x ＝－p 2通径 |AB |＝2b 2a|AB |＝2p渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．3、高频考点突破考点1 椭圆的定义及其方程例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n++>+ ，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【答案】D考点2 椭圆的几何性质例2．【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A 13B 5C ．23D ．59【答案】B 【解析】94533e -==B ．【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0) x ya bab+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线P A交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．考点3 双曲线的定义及标准方程例3．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为()1332122⨯⨯-=，选D ．【变式探究】【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.考点4 双曲线的几何性质例4．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<，故选C.【变式探究】【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 【答案】D考点5 抛物线的定义及方程例5．【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得2222222102A B y py pb y y p a b b a a-+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为22y x =±【变式探究】【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A 3 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r Q()222max 22,,21121223633,,122212221,,22332OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤==∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【答案】C考点6 抛物线的几何性质例6．【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1【答案】D【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2)C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==B ．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A.5B.22C. 23D. 33 【答案】C5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U【答案】A6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A 6B ．3 C 2D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===故选A.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D8.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以1c a ==，解得2m = . 9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得222222210A B y py pb y y p a b a a-+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为2y x =±10.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =.学%科网11.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【答案】2312.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠， 2114x y =， 2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-. （2）由24x y =，得'2xy =.设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）. 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2,2+m ），|MN |=|m +1|.将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=.当()1610m ∆=+>，即1m >-时， 1,2221x m =±+从而()12||=2421AB x m -=+. 由题设知2AB MN =，即()()42121m m +=+，解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.13.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【答案】（1）（2）见解析14.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ） 22142x y +=.(II) 3π. 【解析】因为NF m =， 所以()()()2422222224318312121k k ND k NFkk+++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以()222161611112ND tNFt t t=+=++++ . 令1y t t =+，所以211y t'=-.当3t ≥时， 0y '>,从而1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<<且0m ≠.故12NFND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥ ，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线L 的斜率是0. 综上所述：当0k =， ()()2,00,2m ∈-⋃时， EDF ∠取到最小值π3.15.【2017北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214x y += ；（Ⅱ）详见解析.16.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737) 【解析】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(3- （C ）()0,3 （D ）(3 【答案】AF 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．2.【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A（B ）23（C（D ）1 【答案】C3.【2016高考新课标2文数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率e ==.选A. 4.【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A5.【2016高考浙江文数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==, 2222AC OC AO r +==,即22224(5)()(22)()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.7.【2016高考新课标3文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8.【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴22224444224x x y b bb y x y b ⎧=⎧+=⎪+⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⋅⎩⎪+⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 .【答案】6 【解析】由题意得33(,),C(,),22b b B a a -，因此2222236()()032.2b c a c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津文数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.11.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22221x y a b -= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是______.【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2.12.【2016年高考北京文数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】213.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是__________.【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=Q 焦距为2c故答案应填：14.【2016高考山东文数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --；②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(【解析】因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).316.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 17.【2016高考新课标3文数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以AR FQ P . ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而yba=+2，所以)1(12≠-=xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12-=xy. ....12分18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）2222211a kka k⋅++；（II）22e<≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx=+被椭圆截得的线段为AP，由22211y kxxya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx++=，故1x=，222221a kxa k=-+．因此22212222111a kAP k x x ka k=+-=⋅++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP AQ=．记直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1k，2k>，12k k≠．由（Ⅰ）知，22 11121a k kAP+=，2222221a k kAQ+=，故22221122122121a k k a k k++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k≠，1k，2k>得()2222221212120k k a a k k+++-=，19.【2016高考新课标2文数】已知椭圆:E2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于,A M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN==时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN=时，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)32,2.【解析】（Ⅰ）设()11,M x y，则由题意知1y>，当4t=时，E的方程为22143x y+=，()2,0A-.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4π.因此直线AM的方程为2y x=+.20.【2016年高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：22221+= x ya b （0a b>>）的离心率为3，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.21.【2016年高考四川文数】（本小题满分13分）已知椭圆E：22221(0) x ya ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得2PT PA PBλ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y+=，点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.所以P点坐标为（222,133m m-+），2289PT m=.设点A，B的坐标分别为1122(,)(,)A x yB x y，.由方程组2216312x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)23323m m mPA x y x =--++-=-- ， 同理252223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 22. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B、两点。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第5讲平面向量练习2
1.平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择
易求夹角和模的基底进行转化．
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决
问题，化形为数，使向量问题数字化．
2.夹角公式(θ 为向量 a，b 的夹角，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
→→ →
→→
P OF2 PF2
P OF2
又 3|PF1|＝4|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，则由(O ＋ )· ＝0，即(O ＋ )·(
→→
→→
OF2 OP
P OF2
－ )＝0，则有|O |2＝| |2，则在△PF1F2 中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，所以∠F1PF2＝90°，由勾股
[ ( ) ] P→A P→B P→C
∴ ·( ＋ )＝(－x，
3－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－
x2＋ 3y)＝2
33 y－ 2－
24
≥2×
( )3
－ 4
3 ＝－2.当且仅当
x＝0，y＝
23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小值为－32.故选
B.
解法二：(几何法)
P→B P→C P→D 如图 2 所示， ＋ ＝2 (D 为 BC 的中点)，则
→→ MF1 MF2 焦点，若 · <0，则 y0 的取值范围是( )
( ) 3 3
－， A. 3 3
( ) 3 3
－， B. 6 6
( ) 2 2 2 2
－， C. 3 3
( ) 2 3 2 3
－， D. 3 3
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 14 直线与圆(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B.3 C.33或0 D.3或0【答案】D【解析】因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋22【答案】A【解析】将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个 【答案】C【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2 【答案】D【解析】由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【答案】C【解析】设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.8．设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B【解析】由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.9．关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l>42；④曲线C所围成图形的面积S满足π<S<4.上述命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2D．1【答案】A【解析】①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题．③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题．④由③知，π×12<S<2×2，即π<S<4，故④是真命题．综上，真命题的个数为4.10．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6D ．210【答案】C【解析】由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，解得a ＝－1，∴A (－4，－1)，|AC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36，即|AB |＝6.11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．32 B ．－32 C ．6D ．－6【答案】B【解析】两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5] 【答案】A【解析】设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.13．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【解析】因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 【答案】C14．已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限， 所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)， 设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点 P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 【答案】B15．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34C. 3 D ．2 【答案】A【解析】因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.16．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 【答案】D【解析】直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.17．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 【答案】D【解析】设圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.18．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( ) A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ] 【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A. 19．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2 【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.20．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________． 【解析】由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6. 【答案】2621．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．【解析】由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋12＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.【答案】－722．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【解析】∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2. 【答案】5223．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________． 【解析】圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， 所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短． 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 【答案】x ＋y －3＝024．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 【解析】(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方， 得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)． 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为 y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为 d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134，又|OA |＝32＋52＝34， 所以S ＝12|OA |d ＝12.25．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 【解析】(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0， 因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1. 则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5， 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.26．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第13讲直线与圆练习文
第13讲 直线与圆[考情分析] 本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大．热点题型分析热点1 直线方程1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，其中k 为直线斜率，(x 0，y 0)为直线上一点； (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，其中k 为直线斜率，b 为直线纵截距； (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为直线上两点； (4)截距式：x a ＋y b＝1，其中a 为直线的横截距，b 为直线的纵截距； (5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0，其中A 2＋B 2≠0. 2.直线平行与垂直的判定若两直线方程为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．3.三种距离公式(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12；(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(3)两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.1.下列有关直线的四个命题中，真命题为( ) A.直线的斜率为tan α，则其倾斜角为αB.经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示C.经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示D.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交 答案 C解析 对于A ，如tan225°＝1可以看作是一直线斜率，但是225°并不为直线倾斜角；对于B ，当直线垂直于x 轴时，不能用点斜式写直线方程；对于D ，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于C ，当x 1≠x 2时，其直线斜率为kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2，则由点斜式可得方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1，也满足(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)，故C 正确.2.已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A.－4 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 B解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，即k AB ＝2－－3－a ＝1，所以a ＝0；由l 1∥l 2知－2b＝1，则b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.故选B.1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围．如第1题，不关注范围就容易错选A 选项．因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围)，即k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.2.在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件．如第1题，未考虑此情况，就容易错选B 选项．因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况．如第2题，先求出a ＝0即l 1的斜率存在，否则需要考虑b ＝0的情况；其中解两条直线平行的问题时，求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中x 与y 的系数是否一致.热点2 圆的方程求圆的方程的两种方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；(2)待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解．1.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为__________________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 解法一：所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )． 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， ∵圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即a －22＋32＝2a 2， 解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 解法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝a －b －22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0. ③ 联立①②③，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.2.(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 因为a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，其中D 2＋E 2－4F ＝1＋4－10＝－5<0，所以该方程不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2。
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(十四)理科数学
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x ＋1)(x －2)＜0,x ∈Z},则A ∪B=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} 2.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( )A.b a 11<B.b a 11> C.2a b > D.22a b > 3.在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB =(1,-2),AD =(2,1),则AD ·AC =( ) A.2 B.3C.4D.54.在等差数列{a n }中，a 2＋a 4=p ，a 3＋a 5=q ，则它的前6项的和S 6等于( )A.45(p ＋q)B.2(p ＋q)C.p ＋qD.23(p ＋q) 5.函数()f x =(x －x1)cos x(－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6.在ABC △中，若B b A a cos cos =，则ABC △的形状是（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形7.设p:实数x,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2,q:实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥111y x y x y ，则p 是q的( ) 条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要8.若函数y=Asin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω=（ ） A.5 B.4 C.3 D.29.设α,β是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且l ⊂α, m ⊂β( )A.若l ⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l ⊥mC.若l ∥β,则α∥βD.若α∥β,则l ∥m10.把函数y=cos(2x ＋34π)的图象按=(ϕ，0)(ϕ＞0)平移后图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为( )A.6πB.3πC.32πD.34π11.在x ∈(31，3)上恒有|log a x |＜1成立，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥3B.0＜a ≤31C.a ≥3或0＜a ≤31D.a ≥3或0＜a＜31 12.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.[－6，－89] C.[－6，－2] D.[－4，－3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量=(x －1，2)，=(2，1)，若⊥，则x=______. 14.正数a ，b 满足ab=a ＋b ＋3，则ab 的最小值为______. 15.设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________.16.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3=10,a 2＋a 4=5,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为_____.三、解答题：本大题6小题，共70分．17.(本小题共12分) 已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；(2)若()f α=，求sin 2α的值.18.(本小题共12分)在⊿ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，⊿ABD 的面积是⊿ADC 的2倍.(1)求C B ∠∠sin sin ；(2)若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长.19. (本小题共12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值； (3)设22-⋅=n a n n c ，求10321c c c c ++++ 的值．20. (本小题共12分 )如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AD ∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (1)证明:MN ∥平面PAB.(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.21. (本小题共12分 )已知函数ƒ(x)=(x ＋1)lnx －a(x －1).(1)当a=4时,求曲线y=ƒ(x)在(1, ƒ(1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1,+∞)时, ƒ(x)＞0,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(创新版)文档：题型1 第1讲 选填题的解法研究 Word版含解析
题型1选填题练熟练稳少丢分第1讲选填题的解法研究一选择题、填空题在高考中的地位选择题、填空题在当今数学高考(全国卷)中，题目数量多且占分比例高(选择12题，填空4题，共16题，共计80分，其中选择题60分，填空题20分，占全卷总分的53.3%)．二选择题、填空题难度及排序规律就一套试卷而言，选择题1～10题相对较简单，考查知识点明显，学生比较容易入手，11,12题对思维要求较高，重视对数学素养的考查，学生需要综合运用多种数学思想方法才能解决．填空题13～15题难度比较低，很常规，主要考查基础知识，解题思路清晰，16题难度相对较大，同样重视对数学素养的考查．今年的高考题设置了组合型选择题．为实现设置多选题过渡，填空题出现了一题双空，难度增加，思维量加大．三选择题、填空题特点及考查功能从解答形式上看，选择题、填空题都不要过程，形式灵活，选择题还有选项可以提供额外的信息；从考查知识点上看，选择题、填空题都能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；从运算因素上看，选择题、填空题都对运算要求较低，呈现多想少算的特点．四选择题、填空题解答策略选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法，除常规方法外，还有一些特殊的方法．解答选择题、填空题的基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等．填空题虽然没有选项提供参考，但依然可以根据其特点，考虑直接法、构造法、特例法等．五选择题、填空题答题禁忌选择题、填空题答题时，一定要注意认真审题，理解清楚题意后再作答．选择题确定选项后，其余选项也应该看一看，弄清楚它们错在哪里．不要一味图快，还是要以保证正确率为主．如果某题不太好解答，应及时调整策略，去解答下一题．切忌在某一道题上花费过多时间．这样很容易影响答题的心理状态，产生紧张、焦虑等负面情绪．另外涂答题卡时，要注意题号排列规律，不要出现答串行等低级失误．选择题要修改的话，一定要先把原有选项擦除干净，再用2B铅笔涂黑新选项．方法汇总选填通用方法一直接法直接法是指直接从题目条件出发，利用已知的条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨的推理、准确的运算、合理的验证，从而直接得出正确结论的解题方法．解答选择题、填空题时，此方法一般都会是考生最先考虑的方法，也是解题最常用的方法之一．但是此种方法并没有充分利用选择题、填空题的题型特点，因此多用于解答一些比较容易的选、填题．题型一(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A．334B．233C．324D．32思维启迪首先利用正方体的棱是3组且每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成的角相等，只需与从同一个顶点出发的3条棱所成的角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为22，所以其面积为S＝6×12×32×⎝⎛⎭⎪⎫222＝334，故选A．答案A特教评析该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.题型二设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________.思维启迪 本题以数列为背景，综合考查等比数列的通项公式，幂的运算性质，等比数列求和公式等多个知识点．数列是高中数学的一个重要模块，对数列的考查，在历年全国卷中都能见到．此类问题，多直接利用题目条件，结合数列的相关公式计算解决.本题中首先根据题目的两个条件，结合等比数列的通项公式，可以列出方程，解出首项及公比，进而可以将a 1a 2…a n 表示为关于n 的函数，利用函数的相关知识求解其最大值.解析 解法一：由题可得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，两式相除，解得q ＝12，a 1＝8，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4，所以a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －7)n 2. 由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，因此当n (n －7)2最小时，a 1a 2…a n 最大，即n ＝3或n ＝4时，a 1a 2…a n 有最大值26＝64.解法二：同解法一，解得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.设b n ＝a 1a 2…a n ， 由⎩⎨⎧ b n ≥b n ＋1，b n ≥b n －1，得⎩⎨⎧a n ＋1≤1，a n ≥1，解得3≤n ≤4. 所以当n ＝3或4时，b n 有最大值b 3＝b 4＝64.答案 64特教评析本题是根据题目条件，利用数列的相关公式，直接解决数列的最值问题．解法一是从数列是特殊函数这个角度予以求解的，解法二是利用数列本身的一些特性予以求解．这两种都是直接解决数列最值问题的常用方法.『针对训练』1.(2019·河南郑州一模)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25 答案 C解析 由题意知该女每天所织布的尺数可构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设该女最后一天织布尺数为a 30，则有30×(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21.故选C．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.答案x216＋y28＝1解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.二特例法特例法的原理：如果结论对一般情况成立，那么对特殊情况一定也成立．因此解选择、填空题时，可以考虑对题目条件特殊化，用特殊化后的条件解出问题的答案．这种方法主要用来解决选择和填空题中结论唯一或其值为“定值”的问题，常常取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置，特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等等)来确定其结果，从而节省推理、论证、演算的过程，加快解题速度．特例法是解决选填题的一种很好用的方法．大多数时候，都能化繁为简，快速找到问题的答案．但是，需要指出的是，特例法本身存在一定风险，即如果某题答案不唯一，那么用特例法有可能漏解．此时最好多举几个特例验证.题型一已知函数f(x)＝x＋x ln x，若k∈Z，且k(x－1)<f(x)对任意的x>1恒成立，则k的最大值为()A．2 B．3C．4 D．5思维启迪本题是以函数和导数为背景的恒成立问题，考查函数的单调性、最值与导数的关系等知识点．直接做的话，可以转化为y＝f(x)x－1的最小值大于k；或者y＝f(x)－k(x－1)的最小值大于0等，步骤繁琐，运算量较大；使用特例法更快捷，即原式对x >1恒成立，那么对类似x ＝2,3等这些特值也成立，从而可以缩小k 的范围.解析 解法一：(直接法)设g (x )＝x －ln x －2，可得g ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，而g (3)＝1－ln 3<0，g (4)＝2－ln 4>0，所以g (x )存在唯一一个零点x 0∈(3,4)，且当x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>g (x 0)＝0，由题意得x >1时，x ln x ＋x x －1>k 恒成立，设h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2＝g (x )(x －1)2.所以h ′(x )与g (x )同号，即x ∈(1，x 0)时，h ′(x )<0；x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以h (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0(ln x 0＋1)x 0－1＝x 0(x 0－1)x 0－1＝x 0. 故k <h (x )min ＝x 0，又k ∈Z ，则k 的最大值为3，故选B ．解法二：(特例法)由题意可知，当x ＝2时，k (x －1)<f (x )恒成立，即k (2－1)<f (2)，解得k <2＋2ln 2<2＋2＝4，因此k 的最大整数值为3，而当k ＝3时，令g (x )＝f (x )－k (x －1)＝x ln x －2x ＋3，g ′(x )＝ln x －1，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e)＝3－e>0，于是g (x )>0恒成立，即k ＝3满足题意，故选B ．答案 B特教评析解法一是直接法．计算量较大，对数学能力要求较高；解法二巧妙的利用x ＝2时的特殊情况，成功得到k ＝3.当然，从严谨性的角度出发，还需要检验一下k ＝3是否成立．就算如此，其计算量，思维量也远远小于直接法．解选择、填空题，用好特例法往往能起到事半功倍的作用.题型二 (2019·河北一模)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为△PF 1F 2的内心，满足S △MPF 1＝S △MPF 2＋λS △MF 1F 2，若该双曲线的离心率为3，则λ＝________(注：S △MPF 1，S △MPF 2，S △MF 1F 2分别为△MPF 1，△MPF 2，△MF 1F 2的面积).思维启迪 本题以双曲线为背景，综合考查了双曲线定义，三角形内心的性质，三角形面积计算公式等多个知识点，综合性较强．本题涉及双曲线焦点，一般需要考虑双曲线定义，由于M 是内心，因此涉及的三个三角形如果分别以PF 1，PF 2，F 1F 2为底，则高相等，离心率提供了双曲线a ，b 的关系．综合利用这些条件，可以完成本题求解．另一方面，本题属于结论为定值，且题干中未对双曲线方程及P 点位置作过多限制，因此可以考虑特例法，能更高效快捷地解答此题.解析 解法一：(直接法)设△PF 1F 2内切圆半径为r ，由S △MPF 1＝S △MPF 2＋λS △MF 1F 2得：12|PF 1|·r ＝12|PF 2|·r ＋λ·12|F 1F 2|·r ， ∴|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，∴|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，∵点P 为双曲线右支上一点，∴2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ，∵c a ＝3，∴λ＝13.解法二：(特例法)设双曲线为x 2－y 28＝1，则F 1(－3，0)，F 2(3,0)，取P (3,8)，如图，则此时△PF 1F 2为直角三角形，由勾股定理得|PF 1|＝10；所以S △PMF 1＝5r ，S △MPF 2＝4r ，S △MF 1F 2＝3r ，易得λ＝13.答案 13特教评析解法一是直接法．需要用双曲线定义得到2a ＝2λc ，对数学能力有一定要求；解法二巧妙的利用特殊双曲线和特殊点，能快捷的得出λ的值，思维量小于直接法．解选择、填空题，用好特例法常常能化难为易.『针对训练』1.(2019·长春一模)已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2－y 2＝λ(λ为正常数)上，过点M 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON |·|MN |的值为( )A ．λ4B ．λ2C ．λD ．无法确定 答案 B解析 因为点M 为双曲线上任一点，所以可取点M 为双曲线的右顶点，由渐近线y ＝x 知△OMN 为等腰直角三角形，此时|OM |＝λ，|ON |＝|MN |＝λ2，所以|ON |·|MN |＝λ2.2.(2019·佛山调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析 解法一：当△ABC 为等边三角形时，满足题设条件，则c ＝6，C ＝π3且a ＝b ＝ 6.∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝332.解法二：∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②联立①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.三 构造法构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、形式、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题.题型一 (2019·惠州市高三第一次调研考试)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x (其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 思维启迪 本题主要考查函数的单调性与导数，以及利用单调性比较函数值大小等知识点．难点是f (x )解析式未知，抽象性较强，可以根据所给条件特点，构造函数，然后利用其单调性解决问题.解析 (构造法)设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x，因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，所以g ′(x )＝1＋ln x cos 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2时，g ′(x )>0；所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2递增. 因为1e <π6<π4<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，选B ． 答案 B特教评析本题解法即利用积商函数求导法则以及三角函数求导的特点构造出函数g (x )＝f (x )cos x ，然后利用其单调性比较大小.题型二 已知实数μ，ν，x ，y 满足μ2＋ν2＝1，⎩⎨⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，x ≤2，则z ＝μx＋νy 的最大值是________.思维启迪 本题中第一个方程可以联想到圆或同角三角函数等，第二个不等式组可以转化为平面区域，而z 从形式上看，可以看成直线方程或者向量的数量积等．根据形式上的特点，可以考虑构造直线、向量等解决本题．另外，本题也可以直接使用柯西不等式求解.解析 解法一：(构造向量数量积)设a ＝(μ，ν)，b ＝(x ，y )，则z ＝a·b ＝|a ||b |cos θ≤|b |，结合图象知，当x ＝2，y ＝2时，|b |max ＝22，因此z max ＝22，此时a ，b 同向，即μ＝ν＝22.解法二：(柯西不等式)(μx ＋νy )2≤(μ2＋ν2)(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2；又因为⎩⎨⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，x ≤2，则结合图形知当x ＝2，y ＝2时，x 2＋y 2＝22，因此所求最大值为22，此时μ＝ν＝22.解法三：(构造几何图形)z ＝μx ＋νy 可以看作一条直线，原点到此直线的距离d ＝|z |μ2＋ν2＝|z |，因此|z |的几何意义是原点到此直线的距离，所以问题转化为何时原点到直线z ＝μx ＋νy 的距离最大，结合图形知，当直线过(2,2)点，且斜率为－1时，|z |最大，此时z ＝|z |＝2 2.答案 22特教评析解法一根据题目所求式子的形式，构造向量的数量积，成功将问题简化为两个向量何时数量积最大，结合图形，一目了然；如果学习过柯西不等式，那么解法二直接利用柯西不等式求解，也比较简洁．解法三考虑到z 的几何意义，构造几何图形解决问题．恰当的构造，可以使原问题中隐含的关系、性质等，清晰的展现出来，从而帮助我们简洁的处理原问题.『针对训练』1.(2019·河北石家庄高三一模)已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－eB ．a >1C ．a <－3或a >1D ．a >e答案 B解析 (构造方程)由f (x )＝g (x )得e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋e(a －1)ln x x ＋1－a ＝0，令h (x )＝ln x x ＝t (x >0且x ≠e)，则h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．又当x →＋∞时，h (x )→0，作出函数h (x )的大致图象，如图所示.e 2t 2＋e(a －1)t ＋1－a ＝0，因为原方程有三个解，故此方程两根满足0<t 1<1e ，t 2<0，令F (t )＝e 2t 2＋e(a －1)t ＋1－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧F (0)<0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0，∴a >1.故选B ． 2.f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )>f (x )，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )<f (0)e aD ．f (a )>f (0)e a 答案 B 解析 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x >0.所以g (x )在R 上为增函数．又a >0，故g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e a f (0)．故选B ．四 数形结合法中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些问题直接从“形”上解决起来比较困难，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等，借助代数方法研究并解决问题．“以形助数”就是有些“数”的问题直接解决比较困难，这时就需要结合代数式所表达的几何意义，从“形”上予以解决．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.题型一 已知a ＝1b >1，如果方程a x ＝log b x ，b x ＝log a x ，b x ＝log b x 的根分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( )A ．x 3<x 1<x 2B ．x 3<x 2<x 1C ．x 1<x 3<x 2D ．x 1<x 2<x 3思维启迪 本题考查指数、对数函数的性质．题目所给的三个方程都是超越方程，直接从代数上解出x 1，x 2，x 3是难以实现的．因此可以考虑“以形助数”，绘制出涉及函数的图象，借助图象解决问题.解析 解法一：(数形结合)由a ＝1b >1，可知0<b <1，因此函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝log b x ，y ＝log a x 图象如图所示，由图可以看出点A ，B ，C 对应的横坐标分别为x 1，x 3，x 2，故x 1<x 3<x 2.故选C ．解法二：(直接法)不妨设a ＝e ，b ＝1e ，则由题有e x 1＝－ln x 1，1e x 2＝ln x 2，1ex 3＝－ln x 3；由题知－ln x 1>0，ln x 2>0，－ln x 3>0，所以x 1，x 3∈(0,1)，x 2>1，即x 2最大. 若x 3<x 1，则ln x 3<ln x 1，所以－ln x 3>－ln x 1，所以1e x 3>e x 1，所以－x 3>x 1，因为x 1，x 2，x 3>0，所以不可能成立，即x 3>x 1，所以x 2>x 3>x 1，选C ．答案 C 特教评析本题无论哪种方法，都必须绕开解方程．数形结合法巧妙的借助了指数、对数函数的单调性，简洁明了的比较出了三个数的大小．第二种方法，直接从“数”的角度比较三者大小，综合利用了指数、对数函数的单调性，反证法等多种知识、方法．难度较大，而且没有第一种方法直观.题型二 (2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________.思维启迪 本题考查点到直线的距离的最值问题，由于题目涉及两个变量θ和m ，因此难度较大．可以从代数角度，直接利用点到直线距离公式计算d ，然后利用不等式放缩等代数技巧求解d 的最大值．也可以数形结合地分析问题，将问题转化为圆上动点到某直线的距离的最值问题.解析 解法一：(直接法)d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m 2＋1sin (θ＋φ)－2|m 2＋1≤m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1≤3， 当sin(θ＋φ)＝－1且m ＝0时，取等号.解法二：(数形结合)如图，d ＝PM ≤OP ＋ON ≤OP ＋OA ＝3，当A ，N 重合，且O ，P ，N 共线时取等号.答案 3 特教评析本题解法二，利用点到直线之间垂线段最短，及直角三角形中斜边大于直角边等简单的几何定理，很快的求出了d 的最大值，运算量非常小．在解决类似问题的过程中，应该数形结合地分析问题.『针对训练』1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1答案 B解析 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.2.(2019·湖北八校高三联考)若函数y ＝f (x )图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对[M ，N ]与[N ，M ]看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ＜0，x 2－4x ，x ＞0，则此函数的“和谐点对”有________对. 答案 2解析 作出f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ＜0，x 2－4x ，x ＞0的图象，f (x )的“和谐点对”数可转化为y＝e x (x <0)与y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数(如图)．由图象知，函数f (x )有两对“和谐点对”.五 极限法极限法是解选择题、填空题的一种有效方法，它根据题干及选项的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案．极限法是一种基本而重要的数学方法，通过考察问题的极端状态，灵活地借助极限思想解题，往往可以避开抽象复杂运算，探索解题思路，优化解题过程，降低解题难度.题型一 (2019·郑州一模)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x ·cos x 的图象大致为( )思维启迪 本题考查根据解析式寻找函数的图象，所给函数学生较陌生，不好直接得出其图象．本题用直接法不好解答，可以考虑利用f (x )的性质，或者特殊点的函数值、导数值等，排除干扰项，从而选出正确答案．观察A ，B ，C ，D 四个选项，发现在原点附近的函数值，四个选项都不同，因此可以利用极限思想，估算x 在原点左侧，并且无限接近原点时的函数值和x 在原点右侧，并且无限接近原点时的函数值，利用这两个极限值，便能一次性排除干扰项.解析 解法一：(极限法)当x →0＋时，2x >1，所以1－2x1＋2x<0，又cos x >0，所以f (x )<0，排除A ，D ．当x →0－时，2x<1，所以1－2x1＋2x>0，又cos x >0，所以f (x )>0，排除B ，所以选C ．解法二：(排除法)观察发现A ，B 为偶函数，C ，D 为奇函数，因此可以考虑利用奇偶性排除干扰项．计算f (－x )＝1－2－x 1＋2－x cos(－x )＝2x －12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此f (x )为奇函数，排除A，B．观察C，D发现二者在原点处导数符号不同，因此计算f′(0)的值来排除干扰项，但是直接求f′(x)计算过于繁琐，设h(x)＝1－2x1＋2x＝21＋2x－1，显然h(x)单调递减；设g(x)＝cos x，则f(x)＝h(x)g(x)，所以f′(0)＝h′(0)g(0)＋g′(0)h(0)＝h′(0)<0，排除D，故选C．答案C特教评析两种解法都是排除法，但是第一种解法是利用极限思想，计算f(x)在原点左、右两侧的函数值，通过其符号排除干扰项；第二种解法比较常规，利用奇偶性排除两个选项，再利用特殊点导数值排除一个选项．两种方法比较，明显第一种解法更快捷.题型二双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是()A．(－∞，0) B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)思维启迪本题以双曲线为背景，考查双曲线的渐近线，直线的倾斜角、斜率等知识要素，以点P在双曲线的左支下半支上运动来解决本题.解析由题意条件知双曲线的其中一条渐近线y＝x的倾斜角为45°，当点P 向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°.所以直线PF的倾斜角的范围是(45°，180°)．由此可知直线PF的斜率的变化范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).答案C特教评析本题运用运动变化的观点，灵活的用极限思想来思考，避免了复杂的运算，简化了解题过程，节省了解题时间.『针对训练』1.(2018·北京高考)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；ca的取值范围是________.答案π3(2，＋∞)解析解法一：(直接法)由余弦定理知a2＋c2－b2＝2ac cos B，又S△ABC ＝12ac sin B，所以12ac sin B＝34×2ac cos B，化简得tan B ＝3，因为0<B <π2，所以B ＝π3， 又c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin A ＝12＋32tan A ， 又因为C 为钝角，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，所以tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，所以c a ∈(2，＋∞).解法二：(极限法)同解法一得B ＝π3. 当C →π2时，ca →2，固定a 不变，当C → 2π3时，c a →＋∞，所以ca ∈(2，＋∞).2.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β的值是________.答案 π2解析 解法一：(极限法)令β →0，则tan α→1， 所以α→π4，所以2α－β →π2，故2α－β的值是π2. 解法二：(直接法)tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β2＋cos β22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β2－sin β2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β2＋sin β2 ＝sin β2＋cos β2cos β2－sin β2， 所以tan α＝tan β2＋11－tan β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝β2＋π4，所以2α－β＝π2.方法汇总选择独用方法一 排除法排除法是指通过快捷有效的手段将与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确的结论的解答选择题的方法．适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选项．它与特例法结合使用是解答选择题的常用方法.题型一 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线交于两点P 和Q ，则PQ 中点轨迹方程是( )A ．y 2＝2x －1B ．y 2＝2x －2C ．y 2＝－2x ＋1D ．y 2＝－2x ＋2思维启迪 本题是考查抛物线过焦点的弦的中点的轨迹方程，可以设出直线方程，用参数法求解，也可以考虑点差法．当然，最快捷的应该是使用排除法.解析 解法一：(排除法)当弦PQ 垂直于x 轴时，易知此时PQ 中点为(1,0)，而选项A ，C 所给曲线均不过(1,0)，所以排除A ，C ；又考虑极限位置，当x P →0时，显然x Q →＋∞，因此线段PQ 中点横坐标趋于无穷大，即抛物线开口必须向右，排除D ，综上选B ．解法二：(直接法一)设PQ 的中点M (x ，y )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2).当x 1≠x 2时，有y 1－y 2x 1－x 2y ＝2，所以y －0x －1·y ＝2，化简得y 2＝2(x －1)，x ≠1，当x 1＝x 2时，有y ＝0，此时x ＝1，综上y 2＝2x －2，故选B ．解法三：(直接法二)设PQ 的中点M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的方程为x ＝ty ＋1，与抛物线联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋1，化简得y 2－4ty －4＝0，所以y 1＋y 2＝4t ，即y ＝2t ，所以⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝2t 2＋1，消参得y 2＝2x －2，故选B ． 答案 B 特教评析三种解法里，解法一根据题目特点，利用特殊位置排除掉干扰项，选出了正确答案．由于本题涉及弦中点问题，因此如解法二那样采用点差法也可以很好的解决问题；解法三利用参数t ，先解出轨迹的参数方程，进一步得到普通方程．三者比较，就本题而言排除法更快捷.题型二 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为f ′(x )，满足f (x )＋f (2－x )＝(x －1)2，且当x ≤1时，恒有f ′(x )＋2<x .若f (m )－f (1－m )≥32－3m ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1C ．[1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12思维启迪 本题考查函数、导数的相关知识．由于不知道函数f (x )的解析式，导致此题有一定的困难．但是根据本题特点，通过m 取一些特殊的值进行排除，能回避此题难点，快速得到答案.解析 解法一：(直接法)∵f ′(x )＋2<x ，即f ′(x )－x ＋2<0， 可构造函数g (x )＝f (x )－x 22＋2x .∵g (x )＋g (2－x )＝f (x )＋f (2－x )－x 22＋2x －(2－x )22＋2(2－x )＝3， ∴g (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中心对称. 又x ≤1时，g ′(x )＝f ′(x )－x ＋2<0，∴g (x )在R 上单调递减. ∵f (x )＝g (x )＋x 22－2x ，∴f (m )＝g (m )＋m 22－2m . f (1－m )＝g (1－m )＋(1－m )22－2(1－m )，∴f (m )－f (1－m )≥32－3m 等价于g (m )－g (1－m )≥0. ∴g (m )≥g (1－m )．即m ≤1－m ，∴m ≤12.故选D ．解法二：(排除法)因为f (x )＋f (2－x )＝(x －1)2，所以取x ＝1，易知f (1)＝0.设g (x )＝f (x )－12x 2＋2x ，由题意可知，当x ≤1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (1)<g (0)，即f (0)>32，所以f (1)－f (0)<－32，即m ≠1，排除A ，B ，C ．故选D ．答案 D 特教评析本题的难点在于，分析出函数g (x )的中心对称性，而排除法成功的回避了这个难点，极大的节省了解题时间．在解选择题时，用好排除法往往能取得很好的。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线练习2
第14讲 圆锥曲线[考情分析] 圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度．热点题型分析热点1 圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆的标准方程：＋＝1，其中a >b >0；x 2a 2y 2b 2(或y 2a 2＋x 2b 2＝1)(2)双曲线的标准方程：－＝1，其中a >0，b >0；x 2a 2y 2b 2(或y 2a 2－x 2b 2＝1)(3)抛物线的标准方程：x 2＝±2py ，y 2＝±2px ，其中p >0.1.(2019·广州测试)已知双曲线C ：－＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别x 2a 2y 24是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A.1 B ．13 C ．4或10 D ．1或13答案 D解析 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝2＝2，由点P 在双9＋413曲线C 上，则||PF 1|－|PF 2||＝6，可得|PF 2|＝1或13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝2或13|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝2均能满足三角形成立的条件．故选D.132.椭圆＋＝1的离心率为，则k 的值为( )x 29y 24＋k 45A.－21 B ．21C.－或21 D.或2119251925答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝，由＝，即＝，得k ＝－；若5－k c a 455－k 3451925a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝，由＝，即＝，解得k ＝21.故选C.k －5c a 45k －54＋k 451.运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件．如第1题，忽略此条件可能因为|PF 1|＝7,2a ＝6，而直接根据|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得出|PF 2|＝1，错选A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|、双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||<|F 1F 2|，满足这样点的轨迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点，这也是第1题后续需要验证的原因．2.求标准方程时不考虑焦点位置，如第2题，不考虑焦点在y 轴上的情况，而导致漏解．因此求圆锥曲线方程时，当焦点位置不明时要注意根据焦点位置进行分类讨论．热点2 圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中，a ，b ，c 三者之间的关系(1)椭圆：a 2＝b 2＋c 2，离心率e ＝＝∈(0,1)；ca 1－(b a )2(2)双曲线：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝＝∈(1，＋∞)．ca 1＋(b a )22.确定离心率的值或范围时，充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点坐标等，建立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的关系式．3.双曲线－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±x ，双曲线 －＝1(a >0，b >0)的渐近线x 2a 2y 2b 2b a y 2a 2x 2b 2方程为y ＝±x ；同时注意渐近线斜率与离心率e 的关系．ab1.设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，x 2a 2y 2b 2PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A. B. C. D.36131233答案 D解析 解法一：如图，在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝＝，2ccos30°43c 3|PF 2|＝2c ·tan30°＝.23c 3∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即＋＝2a ，可得c ＝a .∴e ＝＝.故选D.43c 323c 33c a 33解法二：(特殊值法)在Rt△PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝.3∴e ＝＝＝＝.故选D.c a 2c 2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|332.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径x 2a 2y 2b 2作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案 233解析 如图，取MN 中点P ，连接AP ，则AP ⊥MN ，所以∠MAP ＝30°.因为A (a,0)，M ，N 为y ＝xba 上的点，则|AP |＝＝.|ab |a 2＋b 2abc在Rt△PAM 中，cos∠PAM ＝，则＝＝，所以e ＝＝.|AP ||AM |ab bc a c 32c a 2333.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的x 2a 2y 2b 2直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若＝，·＝0，则C 的离心率为________．F 1A → AB → F 1B → F 2B→ 答案 2解析 解法一：由＝，F 1A → AB→得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2.又·＝0，F 1B → F 2B→∴∠F 1BF 2＝90°.∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为.(c2，－32c)∵点B 在直线y ＝－x 上，∴＝，b a ba 3∴离心率e ＝＝2.ca解法二：∵·＝0，F 1B → F 2B→∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt△F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，|BH ||OH |ba ∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又＝，∴A 为F 1B 的中点．F 1A →AB→∴OA ∥F 2B ，∴∠F 1OA ＝∠F 1F 2B ，又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∴∠BOF 2＝∠F 1F 2B ，∴＝，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝＝2.b a bc －a c a1.双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，还是y ＝±x ，是最容易混淆出错的点．如第2题，如果将b a ab MN 所在渐近线错写为y ＝x ，则|AP |＝.再根据cos∠PAM ＝得到关于e 的方程a b a 2a 2＋b 2|AP ||AM |3e 4－3e 2－4＝0，从而形成错解．因此双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导，即对于双曲线－x 2a 2＝1，令－＝0，则＝，＝±，即y ＝±x ，而不要死记硬背．y 2b 2x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2x a y b ba 2.解决有关几何性质问题时，既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算，也可以选择利用平面图形的几何性质求解．二者比较起来，代数运算的计算量较大，出错率较高．因此求解此类问题时，要根据题目给出的已知条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐含的几何性质，从而简化计算过程．3.求解离心率的值或范围的问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同．热点3 交汇题型解析几何与其他知识相结合，各种题型均有可能出现，要求较高，其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查．解决此类问题，关键在于能“透过现象看本质”，从而选择相应方法求解．交汇点一 与不等式交汇典例1 (2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A.16 B ．14 C ．12 D ．10解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线1k l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－(x －1)．1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝1，2k 2＋4k 2所以|AB |＝ ·|x 1－x 2|1＋k 2＝ · 1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝ ·＝.1＋k 2(2k 2＋4k 2)2－44 1＋k 2k 2同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，4 1＋k 2 k 2(1k 2＋1＋1＋k 2)(k 2＋1k 2)当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A.1k 2答案 A解析几何与不等式交汇，主要体现在运用不等式的相关知识，解析或证明几何图形的某些特征．交汇点集中在利用不等式的解法求参数范围，或构造函数利用均值不等式求最值等问题上.(2019·江西南昌一模)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝|AB |，则∠AFB 的最大值为( )233A. B. C. D.π33π45π62π3答案 D解析 因为x 1＋x 2＋4＝|AB |，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，所以|AF |＋|BF |＝|AB |，在△AFB233233中，由余弦定理得：cos∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |＋|BF | 2－2|AF |·|BF |－|AB |22|AF |·|BF |＝－1＝－1，43|AB |2－|AB |22|AF |·|BF |13|AB |22|AF |·|BF |又|AF |＋|BF |＝|AB |≥2，233|AF |·|BF |所以|AF |·|BF |≤|AB |2，13则cos∠AFB ＝－113|AB |22|AF |·|BF |≥－1＝－，13|AB |22×13|AB |212所以∠AFB 的最大值为，故选D.2π3交汇点二 与向量交汇典例2 (2019·吉林四平质检)经过椭圆＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆x 22于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则·等于( )OA → OB→A.－3B ．－13C.－或－3D ．±1313解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝.所以两个交点坐标为x 2243A (0，－1)，B ，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得(43，13)OA → OB → (43，13)13·＝－.故选B.OA → OB→ 13答案 B平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理．解决此类问题基本思想：一是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；二是考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.设F 1，F 2分别是椭圆＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(＋2)·2＝0(O 为x 24OP →OF→ PF→坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A.4 B ．3 C ．2 D ．1答案 D解析 ∵(＋2)·2＝(＋)·2＝·2＝0，OP →OF→ PF→OP →F 1O→ PF →F 1P → PF→∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，∴2mn ＝4，mn ＝2，∴S △F 1PF 2＝mn ＝1.12真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.＋y 2＝1B.＋＝1x 22x 23y 22C.＋＝1D.＋＝1x 24y 23x 25y 24答案 B解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .x 2a 2y 2b2∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，32∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，＝2，得B .由点AF 2→ F 2B → (32，b 2)B 在椭圆上，得＋＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.94a 2b 24b 2∴椭圆C 的方程为＋＝1.故选B.x 23y 222.(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离x 2a 2y 2b 2心率为( )A.2sin40° B ．2cos40° C. D.1sin50°1cos50°答案 D解析 由题意可得－＝tan130°，所以e ＝ba 1＋b 2a 2＝＝＝＝.故选D.1＋tan2130°1＋sin2130°cos2130°1|cos130°|1cos50°3.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为x 2a 2y 2b 2直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. B. C ．2 D.235答案 A解析 设双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件x 2a 2y 2b 2|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得2＋2＝a 2，故＝，即e ＝.故选A.c2(c 2)(c2)ca 224.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，x 2a 2y 2b 2点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )36A. B. C. D.23121314答案 D解析 依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，c )．3又因为k AP ＝，即＝，所以a ＝4c ，e ＝，故选D.363c2c ＋a 3614专题作业 一、选择题1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2x 2a 2y 2b 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B. C. D.63332313答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝a ，解得a ＝b ，2aba 2＋b 23∴＝，∴e ＝＝＝ b a 13c a a 2－b 2a 1－(b a )2＝＝.故选A.1－(13)2632.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原x 24y 22点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A. B. C ．2 D ．332432222答案 A 解析 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y ＝x ，不妨设点P 在x 24y 22622第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO 的底边长为，高622262326为，所以它的面积为××＝.故选A.32126323243.(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝x ，且与x 2a 2y 2b 252椭圆＋＝1有公共焦点，则C 的方程为( )x 212y 23A.－＝1 B.－＝1x 28y 210x 24y 25C.－＝1 D.－＝1x 25y 24x 24y 23答案 B解析 由题意可得＝，c ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝5，则C 的方程为－＝1，b a 52x 24y 25故选B.4.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得x 2a 2y 2b 2的弦长为2，则C 的离心率为( )A.2B.C.D.32233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，ba 因为圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.22－123根据点到直线的距离公式得＝，|2b |a 2＋b 23解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝＝ ＝＝2.c a c 2a 21＋b 2a 25.(2019·长沙市高三一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A.x ＝－1 B ．y ＝－1C.x ＝－2 D ．y ＝－2答案 A解析 如图，过A 作AB ⊥x 轴，AC 垂直于准线，因为∠OFA ＝120°，|AF |＝4，所以∠AFB ＝60°，|BF |＝2，根据抛物线定义知|AC |＝4且|AC |＝|BF |＋p ，所以p ＋2＝4即p ＝2.即抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A.6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A. B. C. D.132323223答案 D解析 由Error!消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∵Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4，①8k 2x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝，89∵0<k <1，∴k ＝.故选D.2237.(2019·唐山模拟)双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±x ，则E 的离心率x 2a 2y 2b 27为( )A.2B. C ．2 D ．2214723答案 C解析 由题意，双曲线－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±x ，即＝，所以双曲线的x 2a 2y 2b 27ba 7离心率为e ＝＝＝＝2，故选C.c a a 2＋b 2a 21＋(b a )228.(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过x 2a 2y 2b 2F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±xB ．y ＝±x 23C.y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝2a ，|F 1B |＝2b .2又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －2a ＝2a .2整理，得b ＝a .所以＝.2ba 2所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x .故选A.29.(2019·华南师大附中一模)已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)，点F 为E 的左焦点，点P x 2a 2y 2b 2为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |＝3|FQ |，若|OP |＝b ，则E 的离心率为( )A. B. C ．2 D.235答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，因为P 关于原点的对称点为Q ，所以F 1PFQ 是平行四边形，所以|PF 1|＝|FQ |.根据双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，又|PF |＝3|FQ |＝3|PF 1|，所以|PF 1|＝a ，|OP |＝b ，|OF 1|＝c ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以∠OPF 1＝90°.又因为|PQ |＝2b ，|QF 1|＝3a ，|PF 1|＝a ，所以(3a )2＝a 2＋(2b )2，整理得b 2＝2a 2即c 2＝3a 2，所以e ＝＝，ca 3故选B.10.(2019·湖北八校二模)设F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )FA → FB → FC →A.3 B ．6 C ．9 D ．12答案 B解析 因为＋＋＝0，所以F 为△ABC 的重心，设A ，B ，C 三点的纵坐标分别为FA →FB → FC →y 1，y 2，y 3，则＝y F ＝1，所以y 1＋y 2＋y 3＝3.由抛物线定义可知y 1＋y 2＋y 33|FA |＝y 1＋1，|FB |＝y 2＋1，|FC |＝y 3＋1，所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋y 2＋y 3＋3＝6，故选B.11.(2019·郑州第三次质量预测)椭圆＋＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点x 25y 24M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A. B. C. D.55655855455答案 C解析 设椭圆的右焦点为F 1，由椭圆定义知△FMN 的周长为|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(2－|MF 1|)＋(2－|NF 1|)＝4＋|MN |－|MF 1|－|NF 1|.因为555|MF 1|＋|NF 1|≥|MN |，所以|MN |－|MF 1|－|NF 1|≤0，当MN 过F 1时取等号，即直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大，此时|MN |＝，|FF 1|＝2，所以S △FMN ＝××2＝，故选C.8551285585512.(2019·汕头市一模)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，右顶点为A ，过F x 2a 2y 2b 2作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋c ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－1,0)∪(0,1)C.(－∞，－)∪(，＋∞)22D.(－，0)∪(0，)22答案 B解析 如图，因为AB ⊥BD 且BF ⊥AD ，所以|BF |2＝|AF |·|DF |.因为A (a,0)，F (c,0)，所以B ，则|DF |＝＝.又因为D 到直线BC 的距离即为|DF |，所以<a ＋c ，即(c ，b 2a )|BF |2|AF |b 4a 2 c －a b 4a 2 c －ab 4<a 2(c －a )(a ＋c )，整理得b 4<a 2b 2，所以k 2<1，解得－1<k <1.又因为k ≠0，故选B.二、填空题13.(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝上一点，A (－，0)，B (，0)，若|PB |＝2，则4＋y 255|PA |＝________.答案 4解析 由2x ＝，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，4＋y 2即x 2－＝1(x >0)，y 24故P 为双曲线x 2－＝1右支上一点，y 24且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.14.(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝|FO |＝1.12又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.15.(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足＝λ，|PA ||PB |当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆＋＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端x 2a 2y 2b 2点，动点P 满足＝2，△PAB 的面积的最大值为，△PCD 的面积的最小值为，则椭圆的离心率为|PA ||PB |16323________．答案 32解析 依题意A (－a,0)，B (a,0)，设P (x ，y )，依题意得|PA |＝2|PB |，即＝2，x ＋a 2＋y 2 x －a 2＋y 2两边平方化简得2＋y 2＝2，(x －53a )(43a )故椭圆的圆心为，半径r ＝.(5a 3，0)4a 3所以△PAB 的最大面积为·2a ·a ＝，解得a ＝2，又因△PCD 的最小面积1243163为·2b ·＝b ·＝，解得b ＝1.12(5a 3－4a 3)a 323故椭圆的离心率为e ＝＝＝.1－(b a )21－143216.(2019·广东六校联考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆C 1：x 2＋(y ＋1)2＝2相交于A ，B 两点，且△C 1AB 的面积取得最大值，又直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析 根据题意得到△C 1AB 的面积为r 2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C 1AB 为等腰直12角三角形，则圆心到直线的距离为d ＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1⇒1＋k 2＝(1＋t )|1＋t |1＋k 22⇒k 2＝t 2＋2t ，直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，联立直线和抛物线方程得到x 2－2kx －2t ＝0，只需要此方程有两个不等根即可，所以Δ＝4k 2＋8t ＝4t 2＋16t >0，解得t 的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).。
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版 课件：第一部分 第1讲 选择题、填空题的解法
答案 C 解析 如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,因为AD=AB=3,故 △ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB= (180°-12012°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB. 因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB. 因为DB∩PB=B,DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以CB⊥平面
B. si1n1,+∞ D. co1s1,+∞
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答案 (1)A (2)C 解析 (1)由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为l:x=-2,直线y=k(x+2) 恒过定点P(-2,0).如图,过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,连接OB, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=1
|������������|=|������������|cos θ=������������·������������ =
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
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例2
如图所示,在▱ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,
则������������ ·������������=
强化卷01(4月)-冲刺2020高考数学(理)之少丢分题目强化卷(新课标版)(解析版)
专题01 4月二模精选（第2卷）一、单选题1．集合{|A y y ==，2{|20}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．[2,)+∞B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】求解函数y ={}|0A y y =≥，求解一元二次不等式220x x --≤可知：{}|12B x x =-≤≤， 结合交集的定义有：A B ⋂={}|02x x ≤≤，表示为区间形式即[]0,2. 本题选择D 选项.2．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi+互为共轭复数，则()2i =a b +（ ） A ．3+4i B ．5+4iC ．34i -D ．54i -【答案】A【解析】∵a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数， ∴a=2，b=1．则（a+bi ）2=（2+i ）2=3+4i ． 故选A ．3．“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,3k =∴=±.所以“3k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选A4．已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C. 5．已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,)eB ．(0,1)C ．(0,)eD ．(0,1)【答案】A【解析】当0a =时，()x e f x x =，令=0x e x ，则>=00x xe e ，恒成立，=0x e x ∴无解，即()x ef x x=无零点。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第6讲三角函数的图象与性质练习2
第6讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等．三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)．热点题型分析热点1 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．3.已知tan α的值，求关于sin α与cos α的齐n 次分式的值：分子、分母同除以cos nα，转化为关于tan α的式子求解．1.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 2.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －79解析 由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.第1题中易忽略sin 2α＋cos 2α＝1的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解．第2题易错点有二：一是不能把角α与角β的终边关于y 轴对称正确转化出角α与角β的关系；二是由α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )不能利用诱导公式正确得出角α与角β的正余弦之间的关系.热点2 三角函数的图象与解析式1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置．2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．周期变换只是相对于自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．题型1 三角函数的图象与变换(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 解法一：因为C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把C 1：y ＝cos x 图象上各点的横坐标变为原来的12，得到y ＝cos2x ，再把y ＝cos2x 图象上各点的横坐标向左平移π12个单位得到C 2.故选D.解法二：因为C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把C 1：y ＝cos x 图象上各点的横坐标向左平移π6个单位得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标变为原来的12得到C 2.故选D.变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.题型2 利用三角函数图象求解析式已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y ＝g (x )的图象重合，则( )A.g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝2sin2x D ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 A解析 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，可得34T ＝34·2πω＝2π3＋π12，∴ω＝2，利用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝0，可得ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y ＝g (x )的图象重合，故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.本题易错点有二：一是不能由图象得出34T 的值，从而不能正确得出ω；二是判断不准零点x ＝－π12对应的是ωx ＋φ＝0还是ωx ＋φ＝π，从而影响φ的正确得出．一般地，利用零点时，图象上升时与x 轴的交点：ωx ＋φ＝0；图象下降时与x 轴的交点：ωx ＋φ＝π.如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的.热点3 三角函数的性质(高频考点)求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识：(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的x ，采用整体代换求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.题型1 三角函数的定义域和值域1.(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析 ∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝23＋8k (k ∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为23.2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.第2题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.题型2 三角函数的单调性(2019·汕头一模)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2内是增函数，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1 B ．f (x )的周期为π2C.ω的最大值为4 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0答案 C解析 解法一：由题知，π2－π4≤T 2，又T ＝2πω，∴π4≤πω，即14≤1ω，ω≤4，C 正确．故选C. 解法二：当ω＝1，φ＝0时，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＝sin x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22≠－1，排除A ；f (x )的最小正周期为2π，排除B ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝22≠0，排除D.故选C.本题对y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间求法不熟易导致无从下手. 题型3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(2019·青岛模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法错误的是( )A.y ＝g (x )的最小正周期为πB.y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π6对称C.y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 D.y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0答案 C解析 把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，得到y ＝g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，故g (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 正确；令x ＝π6可得g (x )＝1，为最大值，故y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故B 正确；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上没有单调性，故C 错误；由x ＝5π12，可得g (x )＝0，故y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，故D 正确．故选C.本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致g (x )解析式错求为g (x )＝sin2x ；二是不会利用y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55 C.33D.255答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B.2.(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4 D ．π答案 A解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )， ∴[－a ，a ]⊂⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴－a <a ，－a ≥－π4，a ≤3π4，∴0<a ≤π4，从而a 的最大值为π4，故选A.3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 4.(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．答案 －π6解析 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，所以2π3＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.专题作业一、选择题1.(2019·河北唐山二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点A (2sin α，3)，则cos α＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 由三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，故选A.2.已知tan α＝－12，且α∈(0，π)，则sin2α＝( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 答案 B解析 由tan α＝－12，且α∈(0，π)，得sin α＝15＝55，cos α＝－255，由二倍角公式得sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45.故选B. 3.函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 y ＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∵sin x ∈[－1,1]，当sin x ＝12时，y max ＝32.故选C.4.(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A.2B.32 C ．1 D.12答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0，即2sin x －2sin x ·cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B.6.(2019·衡水联考)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移π6个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A.最小正周期为πB.图象关于直线x ＝π12对称C.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D.初相为π3答案 C解析 易求得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其最小正周期为π，初相为π3，即A ，D 正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin π2＝2.故函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，即B 正确，C 错误．故选C.7.(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A.－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin2x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.8.(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24答案 A 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.9.(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 答案 C 解析 T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2x －π2＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．故选C.10.(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B ．②③ C.①②③ D ．①③④答案 D解析 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，所以③正确．故选D.二、填空题11.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.答案 35 45解析 由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)，即sin α·cos α＝1225.又∵0<α<π4，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.12.(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为________．答案π12解析 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝－2cos2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)， 则由图象知，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z )． 又0<φ<π2，所以φ＝π12.13.(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎪⎫ω＞23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78解析 f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则T 2＝πω≥2π－π，∴ω≤1，∴23<ω≤1.令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z )．∴3π4ω＋k πω≤π且3π4ω＋k ＋1πω≥2π(k ∈Z )， ∴ω≥34＋k 且ω≤k ＋12＋38(k ∈Z )，∴k ＝0.此时，ω≥34且ω≤78.综上，34≤ω≤78.14.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12解析 ∵f (x )＝1－23cos 2x －(sin x －cos x )2＝sin2x －3cos2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第11讲空间几何体练习
第11讲 空间几何体[考情分析] 空间几何体的命题常以三视图为载体，以几何体或者组合体的面积、体积等知识为主线进行考查，难度中等，相对稳定．个别试题融入对函数与不等式的考查，难度较大．热点题型分析热点1 空间几何体的三视图1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．2.由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面；(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱的位置；(3)确定几何体的直观图形状．3.多角度、多维度、多方位观察长方体、三棱锥、四棱锥不同放置的投影，在头脑中形成较为清晰的模型意象，提升空间想象能力．1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )175A.2 B．2 C．3 D．2答案 B解析 根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋225＝2，故选B.2.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )答案 A解析 解题时在题图2的右边放扇墙(心中有墙)可得答案为A.1.三视图与直观图相互转化时，根据观察视角的不同，实虚线的正确使用至关重要，它是决定几何体形状的关键因素．2.解题时可以借助长(正)方体为框架，充分利用正(长)方体中棱与面的垂直关系进行投影.热点2 空间几何体的表面积与体积(高频考点)1.空间几何体的常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式①S 直棱柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为体高)；S 圆柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为体高)；12②S 正棱锥侧＝ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；12S 圆锥侧＝cl (c 为底面周长，l 为母线)；12③S 正棱台侧＝(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)；12S 圆台侧＝(c ＋c ′)l (c ′，c 分别为上，下底面的周长，l 为母线)．12(2)柱体、锥体、台体的体积公式①V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为体高)；②V 锥＝Sh (S 为底面面积，h 为体高)；13③V 台＝(S ＋＋S ′)h (S ′，S 分别为上，下底面面积，h 为体高)(不要求记忆)．13SS ′(3)球的表面积和体积公式①S 球＝4πR 2(R 为球的半径)；②V 球＝πR 3(R 为球的半径)．432.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上；(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解；(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个面是梯形，这些梯形的面积之和为( )A.10 B ．12 C ．14 D ．16答案 B解析 根据三视图，得到该几何体的直观图如右图所示，由图可知，该几何体的面AA ′DC 和面BB ′DC 是两个全等的梯形，因此所求的梯形面积和为2×(2＋4)×2×＝12，故选B.122.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π－B ．4π－163163C.8π－4D ．4π＋83答案 A 解析 该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V ＝π×22×4－××2×4×4＝8π－.1213121633.(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )55A.18＋36B．54＋18C.90 D．81答案 B解析 由三视图可知，该几何体是以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱(如图所示)，所以该几32＋625何体的表面积为S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×＝54＋18，故选B.几何体的表面积与体积的考查，往往是结合三视图进行的．易错点主要有两个：(1)不能准确将三视图还原几何体(特别是求面积或者棱长问题)；如第1题和第3题，特别是第3题，题中几何体为斜四棱柱，俯视图由上下底面的投影组合而成，因而容易使得还原出现偏差．因此，借助长(正)方体准确还原几何体的直观图是有效的手段．(2)应用公式不熟练，获取数据信息有误导致计算错．如第3题中，常误用左视图的高，作为几何体左右侧面的高，从而导致计算有误．因此求解此类问题时，一是由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量；二是熟练掌握各类几何体的表面积和体积公式求解.热点3 多面体与球的切、接问题通常利用球与多面体(棱柱、棱锥)，球与旋转体(圆柱、圆锥)的内接与外切等位置关系，考察两个几何体的相互联系．求解这类问题时，一般过球心及多面体中的接点、切点、球心或侧棱等作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．也可以只画内接、外切的几何体直观图，确定圆心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量间的关系，列方程(组)求解．(2019·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为( )A. B. C. D ．29294192292答案 A解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ，取GH 的中点O ，连接OA ，由题意，得A 1B ＋B 1C ＝A 1C ，即△A 1B 1C 1为直角三角形，则点O 为外接球的球心，OA 为半径，则外接球的半径212121R ＝OA ＝＝；1＋254292如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r ＝＝1，也是内切球的半径，因为R ∶r ＝∶2，所以其外接球与内切球的表3＋4－5229面积的比值为＝.故选A.4πR 24πr 2294解决多面体与球的切、接问题时，利用几何体与球的空间直观图分析问题很难求解，这时就需要根据图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，从熟悉的圆的性质中找到球的性质，从而找到解决问题的关键.热点4 交汇题型立体几何内容与平面解析几何之间关系密切，也与函数、三角、不等式有着千丝万缕的联系．近年高考对立体几何的考察，会适度与上述内容进行融合，用代数的方法思考、解决空间几何问题．交汇点一 空间几何体与函数、方程及不等式 典例1 如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝4，EB ＝2.3设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，则函数V (x )的解析式为________，三棱锥B －ACE 体积的最大值为________．解析 ∵DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt△ABC 中，∵AC ＝x ，∴BC ＝(0<x <4)，16－x 2∴S △ABC ＝AC ·BC ＝x ·，121216－x 2∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC ＝x ·(0<x <4)．3316－x 2∵x 2(16－x 2)≤2＝64，(x 2＋16－x 22)当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝2时取等号，2∴当x ＝2时，体积有最大值.2833答案 V (x )＝x ·(0<x <4) 3316－x 2833空间几何体与函数、方程及不等式相交汇问题，常以考查某几何量的最值为主要方式．其解决的常用方法是，找到引起变化的几何量(线段长或角度)，并建立起所求几何量与变化量之间的函数关系，再运用函数的单调性或均值不等式求解.(2017·全国卷Ⅰ) 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．答案 415解析 如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝BC .36设OG ＝x ，则BC ＝2x ，DG ＝5－x ，3三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝＝，25－10x ＋x 2－x 225－10x S △ABC ＝×2x ×3x ＝3x 2，则三棱锥的体积1233V ＝S △ABC ·h ＝x 2·13325－10x＝·.325x 4－10x 5令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈，(0，52)则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈时，f ′(x )(2，52)＜0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤×＝4.38015所以三棱锥体积的最大值为4 cm 3.15交汇点二 空间几何体与命题典例2 (2019·东北三省四市高三第二次模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等；q：A，B在同高处的截面面积不恒等．根据祖暅原理可知，p是q的( )A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A空间几何体与命题交汇的问题，常在充要条件处设置障碍．解决此类问题的关键，在于明确命题的条件和结论互推的结果．因其内容主要与几何体的基本概念相结合，因此解决过程中，一是要明确各基本定义、定理，正确的能进行论证；二是利用具体图形作分析，举出相应的反例.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β ”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )6666A.8π B．4π C．2π D.π答案 D解析 设PA ＝PB ＝PC ＝2a ，则EF ＝a ，FC ＝，∴EC 2＝3－a 2.3在△PEC 中，cos∠PEC ＝.a 2＋3－a 2－ 2a 22a 3－a 2在△AEC 中，cos∠AEC ＝.a 2＋3－a 2－42a 3－a 2∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a 2＝1，a ＝，22故PA ＝PB ＝PC ＝.又AB ＝BC ＝AC ＝2，2∴PA ⊥PB ⊥PC ，∴外接球的直径2R ＝ ＝，2 2＋ 2 2＋ 2 26∴R ＝，∴V ＝πR 3＝π×3＝π.故选D.624343(62)62.(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案 26 －12解析 先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长．如图，作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝x .22又AM ＋MN ＋NF ＝1，即x ＋x ＋x ＝1.2222解得x ＝－1，即半正多面体的棱长为－1.223.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案 36π解析 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB .设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝×·OA ＝，13(12SC ·OB )r 33即＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.r 33专题作业一、选择题1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案 D 解析 ①正方体的三个视图均为正方形，因此①不符合题意；②圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形，俯视图为圆，因此②满足条件；③三棱台的正视图为梯形，俯视图为三角形，侧视图也为梯形，但其腰长与正视图的腰长不等，故③不符合题意；④正四棱锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形，俯视图为正方形，所以④满足条件，故选D.2.某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为( )A.3π B ．4π C ．5π D ．12π答案 A解析 通过已知可得，本题的几何体为半球，所以其表面积为半球面积加上一个大圆面积，即×4π×12＋π×12＝3π，故选A.12 3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A.12πB. C ．8π D ．4π32π3答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为34πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.4.(2019·湖南郴州4月模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A.①② B ．①③ C ．③④ D ．②④答案 D解析 将正方体进行展开(如下图1所示)，从A 走到C 1的最短路线有图中的a ，b ，c 三个情况．将其折叠回正方体(如下图2所示)，路线为图中位置，因此在正视图中线路b 满足图②，线路c 满足图④，线路a 没有满足条件的正视图，故选D.5．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥3A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32答案 C解析 如题图，因为△ABC 是正三角形，且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高．所以V 三棱锥A －B 1DC 11＝S △B 1DC 1·AD ＝××＝1.故选C.1313336.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.25π B ．26π C ．32π D ．36π答案 C解析 由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A －BCD 即为该几何体，且AB ＝BD ＝4，CD ＝2，BC ＝2，则BD 2＝BC 2＋CD 2，即∠BCD ＝90°，故3底面外接圆的直径2r ＝BD ＝4.易知AD 为三棱锥A －BCD 的外接球的直径．设球的半径为R ，则由勾股定理得4R 2＝AB 2＋4r 2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR 2＝32π.7.等腰直角三角形ABC 中，A ＝90°，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为( )A.1∶B.∶122C.1∶2 D ．2∶1答案 B解析 依题意，得出两个几何体直观图如图1和图2所示，设AB ＝1，则BC ＝，可得图1几何2体的体积V 1＝×1×π×12＝，图2几何体的体积V 2＝2×××π×2＝，因此两个几何体13π31322(22)2π6的体积之比＝＝，故选B.V 1V 2π32π628．(2019·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A.圆面B ．矩形面C.梯形面D ．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.9.已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝2，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )3A.4π B ．12π C ．16π D ．64π答案 C解析 如图三棱锥S －ABC ，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝，SA ＝2为长、宽、高的长方体，33∴球O 的直径为＝4，12＋ 3 2＋ 23 2故球O 的表面积为4π×22＝16π.故选C.10.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案 C解析 由图中所给数据，可得几何体①④在同高处截得两个几何体的截面面积相等，故选C.11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A. B ．16π C ．9π D.81π427π4答案 A解析 由图知，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴R ＝.94∴S 表＝4πR 2＝4π×＝，故选A.811681π412.三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB ＝BC ＝CA ＝2，平面PAB ⊥平面3ABC ，则三棱锥P －ABC 体积的最大值是( )A.4 B ．3 C ．4 D ．332答案 B解析 依题意，三棱锥各顶点在半径为2的球面上，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则△ABC 的截面为球3大圆上的三角形，设圆心为O ，AB 的中点为N ，则ON ＝1.因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC的体积取最大值时，PN ⊥AB ，PN ⊥平面ABC ，PN ＝，所以三棱锥的最大体积为××(2)3133432×＝3，故选B.3二、填空题13．如图，三棱柱ABC －A ′B ′C 的底面面积为S ，高为h ，则三棱锥A ′－BB ′C 的体积为________．答案 Sh13解析 三棱柱可以分割为体积相等的三个三棱锥，故三棱锥体积为棱柱体积的.1314.(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底25面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．答案 π4解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径2为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为125 ＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V ＝π2·1＝.5 2－12(12)π415.已知在三棱锥P －ABC 中，V P －ABC ＝，∠APC ＝，∠BPC ＝，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面433π4π3PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．答案 32π3解析 根据题意三棱锥如图，取PC 中点D ，连接AD ，BD .因为∠APC ＝，∠BPC ＝，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以AD ＝PD ＝CD ＝BD ，因此D 即为三棱锥外接球球心．由直π4π3角三角形可得PC ＝2r ，PB ＝r ，BC ＝r .又因为平面PAC ⊥平面PBC ，AD ⊥PC ，所以AD ⊥平面PCB ，故3V P －ABC ＝·AD ··PB ·BC ＝r 3＝⇒r ＝2，所以外接球的体积为V ＝πr 3＝.1312364334332π316.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g ．答案 118.8解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm 3)．1312又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).。
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第14讲 圆锥曲线
[考情分析] 圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度．
热点题型分析
热点1 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；
(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；
(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭
⎪⎫或y 2a 2＋x 2b 2＝1，其中a >b >0； (2)双曲线的标准方程：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭
⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1，其中a >0，b >0； (3)抛物线的标准方程：x 2＝±2py ，y 2
＝±2px ，其中p >0.
1.(2019·广州测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24
＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )
A.1 B ．13 C ．4或10 D ．1或13
答案 D
解析 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，则||PF 1|－|PF 2||＝6，可得|PF 2|＝1或13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213或|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213均能满足三角形成立的条件．故选D.
2.椭圆x 29＋y 2
4＋k ＝1的离心率为45
，则k 的值为( ) A.－21 B ．21 C.－1925
或21 D.1925
或21 答案 C 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925
；若a 2
＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45
，解得k ＝21.故选C.
1.运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件．如第1题，忽略此条件可能因为|PF 1|＝7,2a ＝6，而直接根据|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得出|PF 2|＝1，错选A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|、双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||<|F 1F 2|，满足这样点的轨迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点，这也是第1题后续需要验证的原因．
2.求标准方程时不考虑焦点位置，如第2题，不考虑焦点在y 轴上的情况，而导致漏解．因此求圆锥曲线方程时，当焦点位置不明时要注意根据焦点位置进行分类讨论．
热点2 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中，a ，b ，c 三者之间的关系
(1)椭圆：a 2＝b 2＋c 2，离心率e ＝c a ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈(0,1)； (2)双曲线：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c
a ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
∈(1，＋∞)． 2.确定离心率的值或范围时，充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点坐标等，建立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的关系式．
3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线 y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a
b
x ；同时注意渐近线斜率与离心率e 的关系．
1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33
答案 D
解析 解法一：如图，
在Rt △PF 2F 1中，
∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，
∴|PF 1|＝2c cos30°＝43c 3
， |PF 2|＝2c ·tan30°＝23c 3
. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33
.故选D. 解法二：(特殊值法)
在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，
∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.
∴e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33
.故选D. 2.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 答案 233
解析 如图，取MN 中点P ，连接AP ，则AP ⊥MN ，所以∠MAP ＝30°.因为A (a,0)，M ，N 为y ＝b
a x 上的点，则|AP |＝|a
b |a 2＋b 2＝ab c
.。