概率论与数理统计练习题(含答案)

第一章 随机事件及其概率
练习： 1. 判断正误
（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）
（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）
（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）
（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，
{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P
{}1
=3
两个女孩。

（B ）
（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()
i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互
独立。

（B ）
（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题
（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©
A. A 与B 互斥
B. AB 是不可能事件
C. AB 未必是不可能事件
D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)
A. P(A)-P(B)
B. P(A)-P(B)+P(AB)
C. P(A)-P(AB)
D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)
A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”
B. “甲乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品滞销”
D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设
(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)
A. ()a c c + B . 1a c +-
C.
a b c +- D. (1)b c -
（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)
A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)
A. 事件A, B 互不相容
B. 事件A 和B 互相
对立
C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立
8.,,.,,.D ,,.,,.,,141
9.(),(),(),(),()375
14131433.,.,.,.,37351535105
A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）
若则一定独立；若则一定独立；
若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)
三解答题
1.(),(),(),(),(),(),().
P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：
解：由德摩根律有____
()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-
()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-
()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-
________
()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-
2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：设事件A A B 甲乙表示甲命中，表示乙命中，表示目标被命中。

()()0.6
()=0.75()()0.6+0.5-0.60.5
()=()()()()P A B P A P A B P B P A A A B A B A P B P A A P A A P A P A =
==⋃⨯⊂=⋃=甲甲甲甲乙甲甲甲甲乙甲乙甲乙（因为，所以），
目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以甲乙独立射击，所以。

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。

解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以 设B 表示潜艇被击沉，,1,2,3,4i A i =为第i 枚深水炸弹击沉潜艇。

_______________________
123412344
12341234()()1()1()1()()()()10.4
P B P A A A A P A A A A P A A A A P A P A P A P A =⋃⋃⋃=-⋃⋃⋃=-=-=-
4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。

设患肺癌的人占人群的0.1%。

求在吸烟的人中患肺癌的概率。

解：设A 表示吸烟，B 表示患肺癌。

已知条件为()90%,()20%,()0.1%.
()()()
()()()()()()
0.0010.9
0.0010.90.9990.2
P A B P A B P B P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B =====
+⨯=
⨯+⨯ 5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求 （1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。

（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

解：参考书上24页例4 第二章随机变量及其分布
练习题： 1判断正误：
（1） 概率函数与密度函数是同一个概念。

（B ）
（2） 超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。

（A ）
（3）()P λ中的λ是一个常数，它的概率含义是均值。

（A ） （3） ()()P a X b P a X b <<=≤≤。

（B ） （4） 若X 的密度函数为()f x =cos x ，则0(0)cos .P X tdt π
π<<=⎰（B ） 2选择题
（1） 若X 的概率函数为
(),0,1,2,a ....k
D P X k a k k A B C e e λλ
λλ
λ-===-则的值为（D ）
！
（2） 设在区间[],a b 上，X 的密度函数()sin f x x =，而在[],a b 之外，
()0f x =，则区间[],a b 等于：(A) []
3.0,.0,.,0.0,222A B C D ππππ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
（3） 若(),()()X P m P X m λ~==当时最大？(A)
[]
[]
..1
..B C D A λλλλλ
-或
三解答题
（1） 已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放
回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。

解：不放回抽样，次品数(4,6,20)X H ~
6416
6
20
(),0,1,2,3,4.k k
C C P X k k C -=== 放回抽样，次品数4(6,
)20
X B ~ 6614()()(),0,1,2,3,4
20.55
k k k
P X k C k -=== （2） 设X 的分布律是11(1),(1),2
2
P X P X =-===求它的分布函数。

解：
1,()0,()0;
1
11,()()(1);
2
1,()()(1)(1)1;0,0;1(),11
21, 1.
x P X x F x x F x P X x P X x F x P X x P X P X x F x x x <-<==-≤<=≤==-=≤=≤==-+==<⎧⎪⎪
=-≤<⎨⎪≥⎪⎩
（3） 设连续型随机变量X 的分布函数为
0,0,()sin ,0,21,2
x F x A x x x ππ⎧
⎪<⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
⎪>⎪⎩求（1）常数A 的值
（2）()6
P x π
<（3）X 的密度函数
解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有
2
lim ()(),1sin , 1.22x F x F A A πππ
+
→
===所以所以
1()()()()sin 0.6
6
66662
P X P X F F π
π
π
πππ<
=-
<<
=--=-= cos ,0,()()20,.
x x f x F x π⎧
≤≤⎪
'==⎨⎪⎩其它
4设随机变量X 的概率密度函数为,12,
()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩
其他，求（1）常数A
（2）3
(1)2
P X -<< （3）X 的分布函数。

解：由密度函数性质有
2
2
21
1
21,21,.2
23
x A Axdx A
A A ==-
=∴=⎰
33
3
12
2221
-1-11321
5(1)()0.233
12
P X f x dx dx xdx x -<<==+==
⎰⎰⎰ 分布函数为：
221
-1
1()()0;
211112()()().33
33
2,() 1.
x
x x
x F x P X x x F x P X x f t dt tdt t x x F x ∞≤=<=<<=<====-≥=⎰⎰
当时，当时，当时 5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

解：443004
1300(4)0.010.99
0.1689P x C -===，3000.013np λ==⨯=。

43
23(4)0.16804!
P x e -===
121
-0.53%P P R P ∣ ∣ =
=
第三章 随机变量的数字特征
练习 1判断正误：
（1）只要是随机变量，都能计算期望和方差。

（B ）
（2）期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。

（A ）
（3）方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。

（A ） （4）方差的实质是随机变量函数的期望。

（A ）
（5）对于任意的X,Y ，都有,()EXY EXEY D X Y DX DY =-=-成立。

（B ） （6）若,EX EY =则X Y =。

（B ） 2选择题
(1) 对于X 与Y ，若EXY=EXEY ，则下列结论不正确的是（A ） A. X 与Y 相互独立 B. X 与Y 必不相关
C. D(X+Y)=DX+DY
D. cov(X,Y)=0 (2) ~(,), 2.4, 1.44,X B n p EX DX ==则,n p 的值为（B ）
(3) 两个独立随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X-2Y 的方差是（D ）
A. 8
B. 16
C. 28
D. 44 (4) 若EX ，DX 存在，则E(DX)，D(EX)的值分别为（C ）
A. X, X
B. DX, EX
C. DX, 0
D. EX, DX 3解答题
（1）X 与Y 相互独立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求2
E(X-Y)。

解：
222()()()()110 2.E X Y D X Y E X Y DX DY EX EY -=-+-=++-=++=
（2）设X 与Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2,2U X Y V X Y =+=-
求U 与V 的相关系数ρ。

解：cov(,).U V EUV EUEV =-
22222()(2)(2)(4)4()()3().
E UV E X Y X Y E X Y DX E X DY E Y λλ=+-=-=+-+=+2(2)(2)(2)(2)3.EUEV E X Y E X Y λλλλλ=+-=+-= 22cov(,)3()33.U V EUV EUEV λλλλ=-=+-=
(2)45;(2)45.DU D X Y DX DY DV D X Y DX DY λλ=-=+==-=+=
3
.5
ρ=
==
（3）
1,0
~(1,2),0,0
1,0X X U Y X X -<⎧⎪
-==⎨⎪>⎩
求EY 及DY 。

解：1(1)0(0)1(1)1(0)1(0)EY P Y P Y P Y P X P X =-⨯=-+⨯=+⨯==-⨯<+⨯>
12111.333
=-⨯
+⨯= 2222218
(1)(0)1(0)().39
DY EY E Y P X P X =-=-⨯<+⨯>-=
（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设X 表示出故障的次数，Y 表示利润。

10,05,1~(5,0.2),0,22,35
X X X B Y X X =⎧⎪=⎪
=⎨
=⎪⎪-≤≤⎩ 10(0)5(1)(2)[(3)(4)(5)]EY P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+-=+=++
0051143324415
5055555100.20.850.20.8(2)[0.20.80.20.80.20.8]EY C C C C C =⨯+⨯+-++
化简即可。

（5）汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望。

解：设X 表示乘客的到达时间，则Y 表示等候时间，
10,01030,1030~[0,60],55,305570,5560
X X X X X U Y X X X X -≤≤⎧⎪-<≤⎪
=⎨
-<≤⎪⎪-<≤⎩ 10
305560010305511115(10)(30)(55)(70)10
6060606012
EY x dx x dx x dx x dx =-⋅
+-⋅+-⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰第四章 正态分布
练习题： 1． 判断题： （1） 若2(,),X
N μσ则2μσ，称为正态分布的两个参数，且
200.μσ≥>，（B ）
（2） 正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于y 轴对称。

（B ） （3） 正态分布密度函数的图象对称轴由μ决定，平坦度由2
σ决定。

（A ）
（4）
()()();P a X b b a <≤=Φ-Φ（B ） （5） 若(5,1),(5,1),X
N Y
N -则(0,2).X Y N +（B ）
2． 选择题：
（1）若两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和
(1,1)N ，则（ B ）。

1
1.(0);.(1);221
1.(0);.(1);2
2A P X Y B P X Y C P X Y B P X Y +≤=+≤=
-≤=-≤=
（2）已知2(,)X
N μσ，则随σ的增大，()P X μσ-<的值（ C ）。

.....A B C D 单调增加；单调减少；保持不变；
非单调变化
（3）在本门课程中，习惯上用u α表示标准正态分布的上侧α分位数，则()()u B αΦ=
.;
.1;
.1;.2
A B C D α
αα--
无法确定。

（4）若(0,1),X
N 且
(),P X u αα>=则()().P X u B α>=
..2.
.12
2A B C D α
α
α
α
-
3解答题 （1） 已知2(8,0.5),X
N 求
(9),(7.510),(81),(90.5).
P X P X P X P X ≤≤≤-≤-<
解：
98
(9)(9)(
)(2)0.9772,0.5
1087.58
(7.510)(10)(7.5)()()
0.50.5
(4)(1)(1)0.8413,8
1
(81)()2(2)10.9544,
0.50.5
(90.5)(0.590.5)(8.59.5)9.588.(
)(0.5P X F P X F F X P X P P X P X P X -≤==Φ=Φ=--≤≤=-=Φ-Φ=Φ-Φ-≈Φ=--≤=≤=Φ-=-<=-<-<=<<-=Φ-Φ58
)10.84130.1587.0.5
-≈-=
（2） 某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从
正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在6084分之间的概率。

解：设X 表示考生的英语成绩，则2
(72,)X N σ~，由已知有
(96)0.023,P X >=则(96)10.0230.977,P X ≤=-=
即72
9672
24
(
)(
)0.977,X P σ
σ
σ
--≤
=Φ=查正态分布表知
24
2,σ
=所以2.1σ=要求
6072728472
(6084)(
)(1)(1)2(1)10.68261212.12
X P X P ---<<=<<=Φ-Φ-=Φ-= 第五章
1. 判断正误。

（1） 总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布
完全相同。

（A ）
（2） 样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立
的。

（B ）
（3） 统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越
准确。

（A ）
（4） 统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。

（B ）
（5） 样本均值与EX 是相等的。

（B ） 2. 选择题。

（1）
12
,n
X X X 为来自总体
2
(,)N μσ的一个样本，μ已知，2σ未知，则以下是统计量的是（A ）
2
1
.()n
i i A X X =-∑
2
1
2
().
n
i i X X B σ=-∑
21
2
.
n
i
i X
C σ
=∑
1
2
()
.
n
i
i X
X D σ=-∑
（2）
12
,n
X X X 为来自总体N （0，1）的一个样本，2
,X S 分别为
样本均值和样本方差，则以下不正确的是（ B ）
221.(0,);.
(1)1
.()
.(0,)
n
i i X
A nX N n
B t n S
C X n
D X N n
χ=~~-~~∑ （3） 下列统计量服从2()n χ分布的是：（D ）
2
2
1
2
2
2
2
22
1
11
2
2
1
()(1).
.
()(1)1.
,().
n
i
i n
i
n
i i i X
X n S
A B X
n S C S X X D n σ
σμσ
σ===----=-∑∑∑
（4）12
10
,X X X 和12
9
,X X X 是分别来自总体(1,4)N 和(2,9)N 的样
本，2212,S S 分别是它们的样本方差，则常数()a C =时，统计量
2
12
2aS S 服从(9,8)F 分布。

394..2
..2
4
9A B C D
（5）若2(),X n χ~则2()()E X C =
22.3.2.2.A n B n C n n
D n n ++
（6）
12
,n
X X X 为来自总体
2
(,)N μσ的一个样本，X 为样本均值，则()()P X C μσ-<
.. C.n D.A B σμ与有关；
与有关；
与有关；
为一常数
（7）设22(6),(5),X Y χχ~~且,X Y 相互独立，则
5()6X
D Y
~ 1
1..(5,6)
..(6,5)
(5,6)
(6,5)
A B F C D F F F
（8）设
21()(1),,
X t n n Y X >=
则（C ）
22.().(1)
.(,1)
.(1,)AY n B Y n C Y F n D Y F n χχ~~-~~
（9）设(0,1),(0,1),X N Y N ~~则必有（C ）
2222222
2...A X Y B X Y C X Y X F Y
χχ++服从正态分布服从分布与都服从分布D.服从分布。

第六章 参数估计
1. 判断题
(1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。

A 2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。

B 3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。

B 4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。

A 5同一参数的矩估计量往往不唯一。

A 6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。

B 2．选择题。

（1）若1，1，1，0，1，1是来自总体(1,)B p 的观察值，则p 的矩估计量是（D ）
3215 (5)
5
2
6
A B C D （2）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，且2DX σ=，2,X S 分
别是样本均值和样本方差，则必有（ D ）
2
22
....A S B S C X S D ES σσσ
=是的无偏估计量是的极大似然估计量与相互独立
（3）正态总体X 的方差2σ已知，为使总体均值的置信度为1α-的置信区间长度不大于L ，则样本容量n 应取（ D ）
22
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
44....u u u u A n B n C n D n L L L
L
αααασσσ
σ≥
≥
≤
≥
（4） 总体X 服从(0,)θ上的均匀分布，0θ>未知，12
,n X X X 是来
自总体X 的一个样本，则θ的矩估计量为：（B ）
12
12
..2.min{,}
.max{,}n n A X
B X
C X X X
D X X X
（5） 总体X 的分布律为(),0,1,2
!
x e P X x x x λ
λ-==
=，而1，2，5，7，
8是来自X 的观察值，则λ的最大似然估计值为（ C ）
23
.4
.5
..35
A B C D
（6）123,,X X X 是来自总体X 的一个样本，2DX σ=，则以下无偏估计量中（ B ）最有效。

123
123123
123
3121
..()5553
111111..632
442
A X X X
B X X X
C X X X
D X X X ++++++++
（1）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，其中总体有密度
2
2
(),0,
(,)0,x x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他
（i ）求未知参数的矩估计量 （ii ）判断矩估计量的无偏性 （iii ）计算估计量的方差
解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望
2
3
22
220
2
2
2
22().23
3==33
x x EX x x dx x dx x xdx EX X X X θ
θ
θ
θθθ
θθθθ
θθθθ
θ=⋅
-=⋅
-⋅=⋅-⋅=
=⎰⎰⎰令即，得。

（ii ）(3)3()3()33
E E X E X E X θ
θθ====⋅=，
所以该估计量是无偏估计量。

（iii ）估计量的方差
2
22
2
2
2
2
2()();
318
()(3)9()9.
2DX EX E X x x dx DX D D X D X n n
θ
θ
θθθθ
θ=-=⋅
--====⋅=⎰ （2）设总体X 的概率密度为(1),01;
()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他
其中-1θ>是未知
参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ得估计量。

解：矩估计法求解，先求总体期望
2
1
1
1
1
001
(1)(1)(1),2
2121
=21x EX x x dx x dx X EX X X X
θθ
θθθθθθθθθθ+++=⋅+=+=+⋅
=
+++-==+-⎰⎰令即，得。

极大似然估计法：先写似然函数
1
1
11
1
1
1
()(1),01,()(1)(),
ln ()[ln(1)()]ln(1)ln()ln(1)ln 0
ln ()ln 0,1= 1.
ln n n
n
i i i i i n
n
n
n
i i i i n
i
i n
i i n i
i L x x L x L x x n x d L n
x d n
X θ
θθθ
θθθθθθθθθθθθθ========+<<=+=+=++=++=+=+--∏∏∏∏∑∑∑化简求对数似然函数
求导并令导数为解得
（3）证明：在所有的无偏估计量1
1
(1)n n
i i i i i C X C μΛ
====∑∑其中中，样本
均值是最有效的。

（此题不用掌握） 证明：利用柯西-许瓦兹不等式有
2
2
2
2
2
21
1
1
1
1
1
222211
1
1()(1)1,11
,()(),
n
n
n
n
n
n
i i i i i i i i i i i n n
i i i i i C C C n C C n
DX D C X C n n
X σσσ====
======⨯<⋅=>
=⋅=>⋅∑∑∑∑∑∑∑∑即而所以最有效。

（4）设1DX =，根据来自总体X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

解：显然此题是在已知总体X 的方差条件下求总体期望的95%置信区间。

00.050.0252
2
=1===1.96100,
1.96 1.96
55(4.804,5.196).
1010
X X u u u n αμσμ∈-
+
=∈-+（,其中，，所以（,）=
《概率论与数理统计》习题（一）
一、单项选择题
1．已知2
1)(=
B P ，=)(B A P 32
，若事件A 与B 相互独立，则=)(A P （ C ）
A ．91
B ．61
C ．31
D ．2
1
因为A 与B 独立，所以)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= ，即)(2
1
21)(32A P A P -+=，
可得3
1
)(=A P ．
2．对于事件A 与B ，下列命题正确的是（ D ）
A ．如果A ,
B 互不相容，则B ,A 也互不相容 B ．如果B A ⊂，则B A ⊂
C ．如果B A ⊃，则B A ⊃
D ．如果A ,B 对立，则B ,A 也对立
如果A 与B 对立，则B A =且A B =，所以A 与B 对立（就是B 与A 对立）．
3．每次试验成功率为p （10<<p ），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为（ B ） A ．3)1(p - B ．31p -
C ．)1(3p -
D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-
设X 是试验成功的次数，则X ～),3(p B ，所求概率为
303331)1(1}3{1}3{p p p C X P X P -=--==-=<．
4．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示：
则下列概率计算结果正确的是（ A ）
A ．0}3{==X P
B ．0}0{==X P
C ．1}1{=->X P
D ．1}4{=<X P
5．已知连续型随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，则=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P （ B ）
A ．0
B ．3
1
C ．
3
2 D ．1
X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-=其他
,0,1
)(b x a a b x f ，注意到b b a a <+<32，
3
1311)(323
232=-⋅-=-=
=
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+<⎰
⎰
++∞
-a b a b dx a b dx x f b a X P b a a
b
a 6．设),(Y X 的概率分布如下表所示，当X 与Y 相互独立时，),(q p =（ C ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛151,51
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛51,151
C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛152,101
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛101,152
2110351}2{=+=
=X P ，154}1{+=-=q Y P ，2
1}1{+==p Y P ． 由}1{}2{}1,2{=====Y P X P Y X P ，即
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121103p ，可得101
=p ； 由}1{}2{}1,2{-===-==Y P X P Y X P ，即
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1542151q ，可得15
2
=q ． 7．设),(Y X 的联合概率密度为⎩
⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,
10,20,)(),(其他y x y x k y x f 则=k （ A ）
A ．3
1
B ．
2
1 C ．1
D ．3
由2
22
0201
022
01022212)(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞
+∞-x x k dx x k dx y xy k dx dy y x k dxdy y x f 13==k ，得3
1
=k ．
8．已知随机变量X ～)1,0(N ，则随机变量12-=X Y 的方差为（ D ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
414)(4)(=⨯==X D Y D ．
9．设X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计≤≥-}3|2{|X P （ A ）
A ．9
4 B ．31
C ．21
D ．1
25.01
)(==X E ，45.01)(2
==
X D ，3=ε，由切比雪夫不等式有2)(}|)({|ε
εX D X E X P ≤≥-，即94
}3|2{|≤≥-X P ．
10．321,,X X X 为X 的样本，3216
1
21kX X X T ++=是)(X E 的无偏估计，
则=k （ B ） A ．61 B ．31 C ．94 D ．2
1
由)()(X E T E =，即)()()(61)(21X E X kE X E X E =++，得16121=++k ，3
1
=k ．
二、填空题
1．设7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ________．
由)()()(AB P A P B A P -=-，即)(7.03.0AB P -=，得4.0)(=AB P ，所以
6.04.01)(1)(=-=-=AB P AB P ．
2．袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为________．
14
1
4
83
3
15=
C C C ． 3．在时间],0[T 内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知
}3{3}4{===X P X P ，则在时间],0[T 内至少有一辆汽车通过的概率为_________．
由}3{3}4{===X P X P ，即
λλ
λλ--⋅
=e e
!
33!
43
4
，得12=λ，所求概率为
121}0{1}1{--==-=≥e X P X P ．
4．某地一年内发生旱灾的概率为31
，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为
__________．
设X 为今后连续四年内发生旱灾的年数，则X ～⎪⎭⎫
⎝⎛31,4B ，所求概率为
816532132311}0{1}1{4
4004=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
==-=≥C X P X P ． 5．设随机变量),(Y X 的概率分布为
则==}{Y X P ________．
8
38141}1,1{}0,0{}{=+=
==+====Y X P Y X P Y X P ． 6．设),(Y X 的联合分布函数为⎩
⎨⎧>>--=--其他,00
,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x ，则),(Y X 关于
X 的边缘概率密度=)(x f X ________．
⎩⎨
⎧≤>-=+∞=-0,00,1),()(3x x e x F x F x X ，='=)()(x F x f X X ⎩
⎨⎧≤>=-0,00,33x x e x ． 7．设X ，Y 的期望和方差分别为5.0)(=X E ，5.0)(-=Y E ，75.0)()(==Y D X D ，
0)(=XY E ，则X ，Y 的相关系数=XY ρ________．
3
1
75
.075.0)5.0(5.00)
()()
()()(=
⨯-⨯-=
-=
Y D X D Y E X E XY E XY ρ． 8．n X X X ,,,21 是正态总体)4,3(N 的样本，则2
123∑=⎪⎭⎫
⎝
⎛-n
i i X ～________．
（标明参数） 因为23-i X 独立同分布于)1,0(N ，所以2
123∑=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n
i i X ～)(2n χ．
9．设某个假设检验的拒绝域为W ，当原假设0H 成立时，样本),,,(21n x x x 落入W 的
概率是0.1，则犯第一类错误的概率为________．
1.0=α．
10．已知一元线性回归方程为x y 1ˆ3ˆβ+=，且1=x ，6=y ，则=1ˆβ________． 已知3ˆ0=β，由x y 10ˆˆββ-=，即1ˆ63β-=，得3ˆ1
=β． 三、计算题
1．100张彩票中有7张有奖，现有甲先乙后各买了一张彩票，试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同．
解：设A 表示“甲中奖”，B 表示“乙中奖”，则100
7
)(=
A P ， 100
7
997100939961007)|()()|()()(=
⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ， 甲、乙两人中奖中概率相同．
2．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x f ，试求)(X E 及)(X D ．
解：注意到⎩⎨⎧<≤--=其他,01
1|,|1)(x x x f ，0|)|1()()(1
1
=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，
61432)(2)1(2|)|1()()(1
0431
3
210211222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-==⎰⎰⎰⎰-∞+∞-x x dx x x dx x x dx x x dx x f x X E ，
6
1
)()()(22=
-=X E X E X D ． 四、综合题
1．设袋中有依次标着3,3,2,1,1,2--数字的6个球，现从中任取一球，记随机变量X 为取得的球标有的数字，求：（1）X 的分布函数；（2）2X Y =的概率分布． 解：（1）X 的分布律为
X
2- 1- 1 2 3
P
1/6 1/6 1/6 1/6 1/3
X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=3
,132,3/221,2/11
1,3/112,6/12
,0)(x x x x x x x F ；
（2）2X Y =的概率分布为
Y
1 4 9 P
1/3
1/3
1/3
2．设随机变量X ，Y 相互独立，X ～)1,0(N ，Y ～)4,0(N ，Y X U +=，Y X V -=． 求：（1）)(XY E ；（2）)(U D ，)(V D ；（3）),cov(V U ． 解：（1）000)()()(=⨯==Y E X E XY E ；
（2）541)()()(=+=+=Y D X D U D ，541)()()(=+=+=Y D X D V D ； （3）
341)]()([)]()([)()()()(222222-=-=+-+=-=-=Y E Y D X E X D Y E X E Y X E UV E ，
000)()()()(=+=+=+=Y E X E Y X E U E ，
000)()()()(=-=-=-=Y E X E Y X E V E ， 3003)()()(),cov(-=⨯--=-=V E U E UV E V U ．
五、应用题
按照质量要求，某果汁中的维生素含量应该超过50（单位：毫克），现随机抽取9件同型号的产品进行测量，得到结果如下：
45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4
根据长期经验和质量要求，该产品维生素含量服从正态分布)5.1,(2μN ，在01.0=α下检验该产品维生素含量是否显著低于质量要求?（32.201.0=u ，58.205.0=u ）
解：0H :50≥μ,1H :50<μ．选用统计量n
x u /00
σμ-=
．
已知500=μ，5.10=σ，9=n ，01.0=α，32.201.0==u u α，算得6.47=x
ασμu n
x u -=-<-=-=
-=
32.28.49
/5.1506.47/00
，
拒绝0H ，该产品维生素含量显著低于质量要求．
《概率论与数理统计》习题（二）
一、单项选择题
1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ A ） A ．0)|(=B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0 D ．P （A ∪B ）=1 2．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（ D ） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A|B ）
D ．1
3．设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2<X<3}=（ C ） A ．P{3.5<X<4.5} B ．P{1.5<X<2.5} C ．P{2.5<X<3.5} D ．P{4.5<X<5.5} 4．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≤>,
1,0;1,
2
x x x c
则常数c 等于（ D ）
A ．-1
B ．2
1
-
C ．21
D ．1
5．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则P{X=Y}=（ A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ） A ．E （X ）=，D （X ）=0.25 B ．E （X ）=2，D （X ）=2 C ．E （X ）=，D （X ）=
D ．
E （X ）=2，D （X ）=4
7．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31
），且X ，Y 相互独立，
则D （X-3Y-4）=（ C ）
A ．-13
B ．15
C ．19
D ．23
8．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ B ） A ．6 B ．22 C ．30
D ．46
9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ C ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率
10．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θ
ˆ=（ B ） A ．x 2 B ．x C ．2
x
D ．
x
21
二、填空题
1．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=，P （B ）=0.3，则P （B A ⋃）= .
2．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为 18/35 .
3．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，，
则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .
4．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为 0.9 .
5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}= 31/32 .
6．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E （X ）=1，则x= 10/7 . 7．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D （2X+1）= 4/9 . 8．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f (x, y)=⎩⎨
⎧≤≤≤≤,
,
0;10,10,
1其他y x
则P{X ≤
2
1
}= . 9．设二维随机变量（X ，Y ）~N （μ1，μ2；2
221,σσ；ρ），且X 与Y 相互独立，则ρ= 0 .
10．设总体X~N （μ,σ2
）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2
4
1
2
4
1
)(,4
1σ∑∑==-=
i i
i i x x
x x 则
服从自由度为 3 的2χ分布. 三、计算题
1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？
解：
因为对一切i,j 有}{}P{},P{j i j i Y Y P X X Y Y X X =⋅==== 所以X ，Y 独立。

2．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为70分？（附：t ） 解： 设700==μμ，
n
s/x μ-～t(n-1),
n=25, 0639.2)24()1(025.02
==-t n t α
0639.23325
/157061s/x >=-=-=
-n
μ,
拒绝该假设，不可以认为全体考生的数学平均成绩为70分。

四、综合题
1．司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数为λ=5
1
的指数分布. （1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；
（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y ≥1}.
解： (1)f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0
,00
,e 51x 51
x x
P{X>10}=
210
10
51
51
5
1-∞
+∞+--==⎰
e e dx e x x
(2) P{Y ≥1}=1-)0(P 2=1-42
2202022)1()(-----=-e e e e C
2．设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=.
,0;20,
2
)(其他x x x f
试求：（1）E （X ），D （X ）；（2）D （2-3X ）；（3）P{0<X<1}.
解： (1)E(X)=
⎰
+∞
∞
-dx x xf )(=⎰⋅
2
02
x x dx=34
)(E 2X =⎰+∞
∞-dx x f x )(2=⎰⋅
2
022
x
x dx=2
∴D(X)=)(E 2X -2)]([X E =2-2)34(=92
（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9⨯9
2
=2
(3)P{0<x<1}=⎰⎰==101041
2)(dx x dx x f
五、应用题
一台自动车床加工的零件长度X （单位：cm ）服从正态分布N （μ,σ2
），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差15
2
2=s ，试求：总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.
（附：484.0)4(,143.11)4(,216.0)3(,348.9)3(2
975.02025.02975.02025.0====χχχχ）
解：α=0.05,2
α=0.025,n=4,2
s =152,
置信区间：
]216.0152
3,348.91523[])
3()1(,)3()1([])1()1(,)1()1([2975.02
2025.02
22
12
22
2
⨯
⨯
=--=-----
χχχχααs n s n n s n n s n
=[0.0429，1.8519]。