昌平区初三二模数学试卷及答案

昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数
学 试 卷 2013．6
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟。

2．在答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考试编号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将答题卡交回。

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的相反数是
A ．13-
B ．1
3
C ．3-
D ．3
2．中国公安部副部长3月6日表示，中国户籍制度改革的步伐已经明显加快，力度明显加大.2010年至2012 年，中国共办理户口“农转非”2 500多万人. 请将 2 500 用科学记数法表示为 A ．25010⨯ B ．2
2510⨯ C ．3
2.510⨯ D ．4
0.2510⨯
3. 在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（右图），则它的主视图是
A B C D
4．如右图所示，已知AB ∥CD ，EF 平分∠CEG ， ∠1＝80°， 则∠2的度数为 A ．80°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
5．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是
A. 1.40, 1.40
B. 1.45, 1.40
C. 1.425, 1.40
D. 1.40, 1.45
6．将抛物线y =3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为
成绩（m ）
1.30
1.35 1.40 1.45
1.47 1.50
人数
1
2
4
3
3
2
实物图 1 2
G
B
D
C
A
F E
A
B
C
P
A. 23(2)3y x =++
B.2
3(2)3y x =-+ C. 2
3(2)3y x =+- D.2
3(2)3y x =--
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =6，D ，E 分别在 AB ，AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A. 1错误！未找到引用源。

B.6
C. 4
D. 2
8．正三角形ABC 的边长为2，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的 速度，沿A →B →C →A 的方向运动，到达点A 时停止．设运动时间为x 秒， y ＝PC 2
，则y 关于x 的函数的图象大致为
y
x
x
y
3
41246
O 3
41246
O x
y
3
41246
O y
x
O 3
4
1246
A B C D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若分式
24
02
x x -=+，则x 的值为 .
10．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小
林和小明两人中新手是 ．
11．如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，
CD =2DE .若△DEF 的面积为1，则□ABCD 的面积为 ．
12．如图，从原点A 开始，以AB =1为直径画半圆，记为第1个半
圆；以
A'
E D A
B
C
A
E
B
C
D
F
小林
小明
环数
次数
1048
2
6
628410
BC =2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD =4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE =8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为 ，第n 个半圆的面积为 ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13.计算： ()1
01124sin 6013π-⎛⎫
-︒-+- ⎪⎝⎭
．
14. 解分式方程：
23
13162
x x -=
--．
15. 已知2
5140m m --=，求()()()2
12111m m m ---++的值．
16. 如图，AC //FE ,点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF .
求证：AB=DE .
17. 已知：如图，一次函数33
y x m =
+与反比例函数3y x
=
的图象在
第一象限
的交点为(1)A n ，． （1）求m 与n 的值；
（2）设一次函数的图象与x 轴交于点B ，求ABO ∠的度数．
18. 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，∠DAB =∠ABC =90°，BE ⊥BD 且BE =BD ，连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°，求∠DAC 的度数.
A
B
C
D
E
F
A
D
F E
O
B
A
x
y
19. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.
4个班征集到的作品数量分布统计图
4个班征集到的作品数量统计图150°
D
C
B
A
12345A
B
C
D
2
5
2
班级
作品（件）
图1 图2
（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共 件，并把图1补充完整；
（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为 ；
（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.
20. 如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°， CD 是⊙O 的直径，P 是CD
延长线上的点，且AP =AC . （1）求证：AP 是⊙O 的切线；
（2）若AC =3，求PD 的长.
21. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝15，AD ＝
20，∠C ＝30°．点M 、N 同时以相同的速度分别从点A 、点D 开
始在AB 、DA 上向点B 、点A 运动．
(1)设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离；
P
O
D
C
B
A
N
M
D
C B
A
(2)当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．
22. （1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站分别向A 、B 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
解决问题：请你在所给图中画出泵站P 的位置，并保留作图痕迹；
（2）【问题拓展】已知a >0，b >0，且a +b =2，写出22
14m a b =+++的最小值；
（3）【问题延伸】已知a >0，b >0，写出以2
2
a b +、2
2
4a b +、2
2
4a b +为边长的三角形的面积.
B
A
l
五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分） 23. 已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物
线
2
112
2
y x x =
-
上.
（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；
（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出
一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.
24．（1）如图1，以AC 为斜边的Rt △ABC 和矩形HEFG 摆放在直线l 上（点B 、C 、E 、F 在直线l 上），已知BC =EF =1，AB =HE =2. △ABC 沿着直线l 向右平移，设CE =x ，△ABC 与矩形HEFG 重叠部分的面积为y （y ≠0）. 当x =35
时，求出y 的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt △ABC 绕AC 的中点旋转180°后与Rt △ABC 形成一个新的矩形ABCD ，
-1-1
11
x
O
y
当点C 在点E 的左侧，且x =2时，将矩形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将矩形HEFG 绕着点E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG ，求点D 到AG 的距离；
（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD 与GH 交于点M ，CD 与HE 交于点N ，求证：四边形MHND 为正方形.
M N
图3
H
G l
F
E
C
B A D
l
A
B
C
E
F
G
H
图1图2D G
l
F
E
C
B
A
(H )
25. 如图，已知半径为1的1O e 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O e 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2
y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM 的函数解析式；
（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形
与
1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不
存在，请说
明理由．
昌平区2013年初三年级第二次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2013．6
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
A
B
O 1
y
x
M
O
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
C
B
A
D
A
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
答 案
2
小林
12
32π, 252n π-（各2分）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：原式=3234312
-⨯
-+ …………………………………………………………… 4分
= -2． ……………………………………………………………………… 5分 14．解：方程两边同时乘以2（3x ﹣1），得
4﹣2（3x ﹣1）=3. ……………………………………………………………………… 2分 化简，得﹣6x=﹣3. ……………………………………………………………………… 3分
解得 x=． …………………………………………………………………………… 4分 检验：x=时，2（3x ﹣1）=2×（3×﹣1）≠ 0． ………………………………………… 5分 所以，x=是原方程的解． 15．解：()()()2
12111m m m ---++
=22
221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………………………………………2分 =22
221211m m m m m --+---+ …………………………………………………… 3分 =2
51m m -+． …………………………………………………………………………… 4分 当2
514m m -=时，
原式=2
(5)114115m m -+=+=. …………………………………………………………… 5分
16．证明：∵ AC //EF ，
∴ ACB DFE ∠=∠．…………………………………………………………… 1分
在△ABC 和△DEF 中， ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC ∴ △ABC ≌△DEF ．…………………………………… 4分
∴ AB=DE ． …………………………………………… 5分 17．解：（1）∵点(1,)A n 在双曲线3
y x
=
上， A
B
C
D
E
F
∴3n =. …………………………………………………………………………1分
又∵(1,3)A 在直线3
3
y x m =
+上， ∴ 23
3
m =
. ………………………………………………………………………2分 （2）过点A 作AM ⊥x 轴于点M .
∵ 直线3
3233+=
x y 与x 轴交于点B ， ∴ 点B 的坐标为-20（，）
. ∴ 2=OB .…………………………………………3分 ∵点A 的坐标为(1,3)， ∴1,3==
OM AM .
∴ 3.BM = ………………………………………………………………………………… 4分 在Rt △BAM 中，∠90AMB =°, ∵tan ∠3
3
AM ABM BM =
=， ∴∠30ABM =°. ……………………………………………………………………5分
18．解：∵∠DAB = ∠ABC = 90°，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°,∠3 + ∠F AD = 90°. ∴ AD ∥BC ..
∴ ∠ADF = ∠BCF ． ………………………………… 1分 ∵∠AFC = 90°，
∴ ∠F AD + ∠ADF = 90°.
∴ ∠3 = ∠ADF = ∠BCF . ① …………………… 2分 ∵BE ⊥BD , ∴ ∠EBD =90°.
∴ ∠1 = ∠2. ② ………………………………………………………………… 3分 ∵BE =BD ，③
∴ △ABE ≌△CBD . ……………………………………………………………… 4分 ∴ AB = BC .
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°.
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 45°. …………………………………………… 5分
3E
F D
C
B
A
2
12
–1
–2
2
–1–2y
x
A
B
O M
P
O
D
C B
A
四、解答题（共４道小题，每小题各5分，共20分）
19．解：(1) 12. …………………………………………………………………………… 1分
如图所示. ………………………………………………………………… 2分
4个班征集到的作品数量统计图作品（件）班级
2
3
5
2D
C
B
A
543210
(2)42. …………………………………………………………………………3分
（3）列表如下: …………………………………………………………………4分
共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，
∴ P （一男生一女生）＝
123
205 . …………………………………………………5分 即恰好抽中一男生一女生的概率为3
5
.
20．解：（1）证明:如图， 连接OA.
∵∠B=600，
∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1分 ∵OA=OC,
∴∠ACP=∠CAO=300. ∴∠AOP =600. 又∵AP=AC ， ∴∠P=∠ACP=300. ∴∠OAP=900.
即OA ⊥AP. …………………………………………………………………………… 2分
男1 男2
男3
女1
女2
男1
男1男2 男1男3 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2男3 男2女1 男2女2
男3 男3男1 男3男2
男3女1 男3女2
女1 女1男1 女1男2 女1男3
女1女2
女2
女2男1 女2男2 女2男3 女2女1
A '
P l A
B
∵ 点O 在⊙O 上，
∴AP 是⊙O 的切线. ………………………………………………………………… 3分 (2) 解：连接AD. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=900.
∴AD=AC ∙tan300=3.…………………………………………………………………4分 ∵∠ADC=∠B=600， ∴∠PAD=∠ADC-∠P=300. ∴∠P=∠PAD.
∴PD=AD=3.…………………………5分
21．解：(1)过点N 作BA 的垂线NP ，交BA 的延长线于点P ．
由已知得，AM ＝x ，AN ＝20-x.
∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝BC ， ∴∠D ＝∠C ＝30°.
∴∠PAN ＝∠D ＝30°．………………………………………1分
在Rt △APN 中，1
sin (20)2
PN AN PAN x =∠=-. ………………………2分
即点N 到AB 的距离为
1
(20)2x -． (2)根据(1)，2111
(20)5244
AMN
S AM NP x x x x ==-=-+△．…………………3分 ∵1
04
-
<， ∴ 当x ＝10时，AMN S △有最大值．…………………………………………………4分 又∵AMN BCDNM S S S =-△五边形梯形，且S 梯形为定值，
∴当x ＝10时，五边形BCDNM 面积最小.此时，ND ＝AM ＝10，AN ＝AD-ND ＝10， ∴AM ＝AN ．
∴当五边形BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形．……………………………5分
22．解：（1）如图所示. ……………………………………… 1分 （2）13. …………………………………………… 2分
（3）
3
2
ab ． ………………………………………… 5分 五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分） 23．解：（1）由211
22
y x x =
-=0，得01=x ，21x =． P N M
D
C
B
A
y
x
F
E O
C B
A ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（1，0）． ································ 2分 （2）当a =1时，得A （1，0）、
B （2，1）、
C （3，3）， ······························· 3分
分别过点B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则有
ABC S ∆=AFC S △ - AEB S △ - BEFC S 梯形
=
1
2
（个单位面积）…………………………………4分 （3）如：
)(3123y y y -=．
∵22111112222y a a a a =
⨯-⨯=-，()()2
221122222y a a a a =⨯-⨯=-， ()()2
231193332222
y a a a a =⨯-⨯=-，
又∵3（12y y -）=()()22111
13222
222a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
293
22
a a -．·
···················································· 5分 ∴)(3123y y y -=． ·································································· 6分
24．（1）解：如图1，当x =
3
5
时，设AC 与HE 交与点P . 由已知易得∠ABC =∠HEC =90°. ∴tan ∠PCE = tan ∠ACB . ∴
2PE AB
EC BC
==. ∴PE= 6
5. …………………………………… 1分
∴ 11639
225525
y EP CE =⋅⋅=⨯⨯=. …………… 2分
（2）如图2，作DK ⊥AG 于点K.
∵CD=CE=DE=2，
∴△CDE 是等边三角形. ………………………… 3分 ∴∠CDE=60°.
∴∠ADG=360°- 2错误！未找到引用源。

90°- 60°=120°. ∵AD=DG=1，
∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4分
∴DK=错误！未找到引用源。

DG=错误！未找到引用源。

. ∴点D 到AG 的距离为
1
2
. ……………………………………………………5分 （3）如图3，
∵α=45°，
K 图2
D G
l
F
E
C
B
A
(H )
M
H
G F
A
D
P
图1
H
G
F
E C B A l
∴∠NCE=∠NEC=45°. ∴∠CNE=90°. ∴∠DNH=90°. ∵∠D=∠H=90°，
∴四边形MHND 是矩形. ………………6分 ∵CN=NE ，CD ＝HE. ∴DN=NH.
∴矩形MHND 是正方形. ……………………………………………………… 7分
25．解：（1）
圆心1O 的坐标为(20)，，
1O 半径为1，
(10)A ∴，，(30)B ， . …………………………………………………………1分
二次函数2
y x bx c =-++的图象经过点A B ，，
∴可得方程组10930
b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得：4
3b c =⎧⎨=-⎩ .
∴二次函数解析式为243y x x =-+- ··············································· 2分
（2）如图，过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ．
OM 是1O 的切线，M 为切点，
1O M OM ∴⊥．
在1Rt OO M △中，1111
sin 2O M O OM OO ∠==，
1O OM ∠为锐角，
130O OM ∴∠= ············································ 4分
13
cos30232
OM OO ∴==⨯
=， 在Rt MOF △中，33cos30322OF OM ==⨯
=， 13sin 30322
MF OM ==⨯
=． ∴点M 坐标为3322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， ····································································· 5分
设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知
33
22
k =， O
M
x
y
O 1B A
F
33
k ∴=
. ∴切线OM 的函数解析式为33
y x =
··················································· 6分 （3）存在．
①如图，过点A 作1AP x ⊥轴于A ，与OM 交于点1P ． 可得11Rt Rt APO MO O △∽△.
11
3tan tan 303
P A OA AOP =∠==， 1313P ⎛⎫
∴ ⎪ ⎪⎝⎭
，. ·
················································································ 7分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt AP O O MO △∽△. 在2Rt OP A △中，1OA =，
23
cos302
OP OA ∴==
. 在2Rt OP H △中，22333cos 224OH OP AOP =∠=
⨯=， 222313sin 224
P H OP AOP =∠=
⨯=， 23344P ⎛⎫
∴ ⎪ ⎪⎝⎭
，. ················································································ 9分
综上所述，符合条件的P 点坐标有313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3344⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
P 2O
M
x
y
O 1B A P 1
H。