平面向量的数量及运算律

如图，已知两个非零向量 和 ，作 a ，则∠AOB=q(00≤q≤1800)叫做向量
b
OA
a
O与B 的夹b角。 ab
B
❖ 当q =00时， 与 同向；当q a b =1800时，
b
q
O
a
与 反向。
❖ 如果 与 夹角为900时，我们说 a b 与
垂直，记作 ⊥。
a b
A
a b
ab
||
b
|
c cos
B1
q2
C
c (a b) c a c b
返回
1.
已知|
a|
3,
|
b
|
5,
且a
b
12,
在向b 量 上的投影A 为( )
12
(A) 5
(B)3
(C)4
2. 下列各式正确的是( )
D
(A)
(B) (C) (D)
|a (a
b ||
b)2
aa|2|bb|2
(a b) c a (b c)
若a
(b
c)， 则a
b
a
c
则a向 量 (D)5
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重要性质
同的设单a、位b向都量是，a非q是零e向与量，e
是与b 方向相 的夹角，则：
(1)e
a
a
e|a
|
cosq
(2)a b a b 0
(3)当
反向时，
与a同向时b，
a；当b与|
a
||
b|
a
b
a b | a || b | .
特别地， a a | a|2 或 | a| a a
教学方法：启发式与讨论式。
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设置情景
• 回顾物理课中学过的功的概念
– 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s
， 算W那 ：么| F力F|| s|
对该物体所作的功W可 用下式计
cosq
Fs
。F
，F其中q是 与 的夹角
q
s
➢数学上将这种功的计算抽象为向量的数量积。
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讲授新课
• 向量的夹角：
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小结
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作业布置
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教学体会
• 目标达成：
– 认知： – 能力： – 情感： – 重点难点：
• 经验教训：
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运算律验证
(a
b)
c
a
c
b
c
A
∵ 在
向a上的(即投b影之)在和。O方向B上的投影c等于
、
a
ab c
q1
bq2 B
a
b
|
a
| c||
q
O
A1
ba|cbos|qcos|qa| c| cos||qa1 | c|obsq| c1os|qc2
(4)cosq
a
b
(5)
|
a•
b
|≤
|
a ||
b
|
| a || b |
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运算律
• 已知向量a、b、c 和l，则向量的数量积
满足下列运算律：
(1)a
b
b
a(交换律)
(2)(la)
b
l
(a
b)
a
(lb )
(3)(a
b)
c
a
c
b
c
下一页 运算律验证
例题分析
例2
求证：
(1()a
b)2
(2)(a b)
a2
(a b)
2aa 2bbb22
例3 已知
|
a
|
6与, |
b的|夹角4为, a600，求b：
(a 2b) (a 3b)
| 例4 已知 互相垂直？
a |
3,|与b|不共4线, ()且，a当a且k仅b当b与k为a何值时k，b向量
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随堂练习
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重点概念
• 平已量知面与两个向的非数零量量向的积量(或|数和a内|积量|，b)。它积|记们c作ao：的s夹q角，为b即q，：我们把数量a
a b
a b | a || b | cosq
并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.
叫做向
b
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重点概念
• 平已量知面与两个向的非数零量量向的积量(或|数和a内|积量|，b)。它积|记们c作ao：的s夹q角，为b即q，：我们把数量a
a b
a b | a || b | cosq
并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.
叫做向
b
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概念分析
a
b
|
a ||
b|
cosq
• 两个向量的数量积是一个数，而不是向量；
• 两个向量的数量积与向量的长度及其夹角有关；
• 两个向量的数量积的符号与夹角的余弦值有关：
– 两个夹角是锐角，数量积大于0；
5.6.1 平向量面的向夹量角 的数量积及运算
向量的数量积及其律运
算律
教案导航
向量数量积的重要性 质
教学设想 教学过程
教学体会
教学导航
教学设想 教学过程 教学体会
设置情景 讲授新课 小结作业
EXIT
过程1 过程2 过程3
教学设想
教学目的：
– 认知目标：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意 义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
(C)钝角三角形 (DC)等腰三角形
(2)若
，则 =
.
| a || b || a b | 3
aLeabharlann Baidu
b
3 2
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几何意义
•
向 如量图|ab方的，|向c上o投O的s叫Aq投影做影向：.量a,
在
OB
b b
，过点B作
BB1⊥OA，垂足为B1，则：
q ObB在1 a|方b向| c上os的q投影
– 两个夹角是钝角，数量积小于0；
– 两个夹角是直角，数量积等于0.
•
物理中力所做的功，即为
F
s
。
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概念应用
例q1=已a12知b0.|0a，|
5,
|
b
|
4,
a
b与
的夹角
求
练习：
(1)在DABC中， 则DABC是( ) (A)锐角三角形
(B)A直角B三角a形,
BC
b,
且a
b
0,
– 能力目标：根据数量积的重要性质处理有关长度、角 度和垂直问题；并掌握向量垂直的条件。
– 情感目标：从学生熟知的功的概念出发，引出了平面 向量数量积的概念，使学生领悟到数学来源于实践，
又反过来服务于实践。
重点难点：
– 重点：平面向量的数量积的重要性质及运算律。
– 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面 向量数量积的应用。
锐角
正值
钝角
负值
900
0
00
| b|
1800
|b|
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几何意义
•
向 如量图|ab方的，|向c上o投O的s叫Aq投影做影向：.量a,
在
OB
b b
，过点B作
BB1⊥OA，垂足为B1，则： OB1 | b | cosq
❖ 数投a的量影长积的b度几何意等与a义于：在b 方向上的 a 的乘积。| a | b a | b | cosq