《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第四章 4.1

也还可以定义为： n 阶矩阵 A 为正交阵的充
分必要条件是： A 的列向量组是两两正交的单位
向量组．
由于 AT A E 与 AAT E 是等价的，因
此，上面的第三种定义还可叙述为： A 的行向量
组是两两正交的单位向量组．
例 4.4 判别矩阵 A 是否是正交阵：
1
6
2 6
1
6
A
1 2
0
1
2
个实数．且易验证，此内积满足下列三条性质：
（1）对称性： ( x, y) ( y, x) ；
（2）线性：
(x y, z) (x, z) ( y, z), z Rn ，
(kx, y) k(x, y), k Rn ； （3）正定性： (x, x) 0 ，
(x, x) 0 x 0 ．
利用内积的正定性，我们可以定义向量长度．
2
此时，称向量 x 与向量 y 正交，也记作 x y ．
当 x 0 时，它与任何向量皆正交．
二、正交向量组与规范正交基 当一组向量两两正交，就称为正交向量组．通 常，我们所讨论的正交向量组里的向量，皆为非
零向量．在 n 维向量空间中，正交向量组有些什
么性质？
定理 4.1 若 n 维向量 α1, , αr 是一组两两正
在向量空间V 中，使用规范正交基有何优点呢？
设 dim(V ) r, l1, , lr 是它的一组规范正交
基，即有
1, j i, (li , l j ) 0, j i,
则 α, β V ， α x1l1
xrlr (l1,
x1
,
lr
)
，
xr
β y1l1
yrlr (l1,
(li , l j )
ij
1, 0,
j i, j i.
, ln ，即有
把 l1, , ln 排成矩阵 A ，即 A (l1, l2, , ln ) ，则有
AT
A
l1T l2T
(l1
,
l2
,
,
ln
)
l1T l1 l2T l1
l1T l2 l2T l2
lnT
lnTl1 lnTl2
显见
1 1 1
3 3
3
解法一 因 A 的列向量组是两两正交的单位
向量组，因此 A 是正交阵．
解法二 因 AT A E ，故 A 是正交阵．
例 4.5 求上例中矩阵 A 的逆阵 A1 ．
解 由上面已知 A 是正交阵，故
1
6
A1
=
AT
2 6
1
6
1 2 0
1 2
1
3
1 3
．
1
3
正交阵的性质：
范正交基．
例 4.2 已知 R4 中的一组基：
1 1 1 1
α1
1 0
,
α2
0 1
,
α3
0 0
,
α4
1
1
，
0
0
1
1
求 R 4 的一组规范正交基．
解取
1
β1
α1
1 0
，
0
1
2
β2
α2
( β1, α2 ) ( β1, β1)
β1
1 2 1
交的非零向量，则 α1, , αr 线性无关．
证明 设 1α1 rαr 0 ．
用 α1 与等式两边分别作内积：
(α1, 1α1 rαr ) (α1, 0) ，
即得 1(α1, α1) 0 ．
由 α1 0 1 0 ． 类似可证得 2
线性无关．
r 0 ，所以 α1, , αr
它的基础解系为
1 4
ξ1
1
,
ξ
2
0
．
0
1
由于 ξ1, ξ2 不正交，故可利用施密特正交化方法，
取
1
α2
ξ1
1
，
0
2
α3
ξ2
(ξ1, ξ2 ) (ξ1, ξ1)
ξ1
2 1
，
则 α1, α2 ,α3 两两正交化．
三、正交矩阵
设在 R n 中有一组规范正交基 l1,
1 1 1
．
再令
l1
β1 2
, l2
β2 3
, l3
β3 4
, l4
β4 2
，
2
3
则 l1, l2, l3, l4 就是 R 4 的一组规范正交基．
1
例
4.3
已知 α1
1
，求一组非零向量
4
α2 ,α3 ，使 α1, α2 ,α3 两两正交．
解
α2
,α3
应满足：
αT 1
x
0
，即
x1 x2 4x3 0 ．
（3）正交变换是保模变换．即对于正交变换
y = Ax ，有 y x ．
证明
y ( y, y) yT y ( Ax)T Ax xT AT Ax xTx x .
即
α1T α2T
α3
0
．
即求解齐次线性方程组：
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
1 1 1 1 2 1
1 0 1
0
1
0
，
即
x1 x2
x3 0,
,
1
则 α3
0
即为所求．
1
定义 4.4 若向量空间V 的一组基是两两正交
的单位向量组，则称其为V 的一个规范正交基．
定义 4.2 定义 x (x, x) ．称 x 为向 量 x 的范数，也称向量 x 的长度．也称为向量 x 的模．特别，当 x 1 时，称 x 为单位向量．
向量范数具有如下性质：
（1）非负性： x 0 ，
x 0 x0；
（2）齐次性： x | | x ， 是数；
（3） | (x, y) | x y ； （4） x y x y ．
由此不等式，易证得
x y x y ．读者可以作为练习．
根据性质（3），知， x 0, y 0 时，
(x, y) 1． xy
我们可以定义两个向量的夹角．
定义 4.3 cos ( x, y)
xy
(0 ) ，
其中 就称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 显见： ( x, y) 0 ．
，
0
1 3
β3
α3
( β1, α3 ) ( β1, β1)
β1
( β2 , α3 ) ( β2, β2 )
β2
1 3 1
，
3
1
1
β4
α4
( β1, α4 ) ( β1, β1)
β1
( β2, α4 ) ( β2, β2 )
β2
( β3, α4 ) ( β3, β3)
β3
使 α1, , αr , βr1 两两正交．
依此类推，必有 n 个向量
α1, , αr , βr1, , βn 构成正交向量组．
1
1
例
4.1
已知 α1
1 ， α2
2
是正交的，
1
1
试求 α3 ，使 α1, α2 , α3 两两正交． 解 要求的α3 应满足：
αα12TT
α3 α3
0, 0,
即 (x, y)2 (x, x)( y, y) x 2 y 2 ， 即有 | (x, y) | x y ．
性质（4）的证明
x y 2 (x y, x y) ( x, x) 2( x, y) ( y, y) x 2 2 x y y 2 ( x y )2.
便得到 x y x y ．
定理 4.2 在 n 维向量空间中，任一正交向量
组 α1, , αr (r n) ，必可扩充为一组正交向量组
α1, , αr ：
α1T
x
0，
αrT
上式可记为 Arn xn1 0 ．由于 R(A) r n ，
故此方程组必有非零解，即必有非零向量 βr1 ，
（1）若 A, B 皆为正交阵，则 AB 也是正交阵．
证明 因
(AB)T AB BT AT AB BTEB BTB E ，
所以， AB 是正交阵．
（2）若 A 是正交阵，则 A 1或 A 1．
证明 由 AT A E 有， AT A E 1 ，即 A 2 1，则 A 1或 1．
定义 4.6 若 A 是正交阵，则线性变换 y = Ax 称为正交变换．
§1 向量内积与正交矩阵
本节要点
一、 二、 三、
向量内积 正交向量组与规范正交基 正交矩阵
一、向量内积
定义 4.1 设有 n 维向量
x1
y1
x
，
y
Rn ．
xn
yn
定义：
(x, y) xT y x1y1 xn yn ．
称其为向量 x 与 y 的内积．
由此定义可知，两个 n 维实向量之内积是一
l1T l n l2T l n
E
lnTln
AT A E (li , l j ) ij ,i, j 1, , n ．
定义 4.5 若 n 阶矩阵 A 满足 AT A E ，则
称 A 为正交矩阵．
显见，正交矩阵的定义还可以叙述为：若 n 阶
矩阵 A 满足： AT A1 ，则 A 为正交阵．
β1
( βr1, αr ) ( βr1, βr1)
βr 1.
则 β1, , βr 两两正交，且与 α1, , αr 等价． 证明 对 r 作归纳法即可证，从略．
在依上式得到 β1, , βr 后，再把它们单位
化，即取
li
βi βi
,i 1,
,r
就得到了一组规范正交向量组．当 α1, , αr 是向 量空间V 的一组基时， l1, , lr 就是V 的一组规
y1
,
lr
)
，
yr
r
r
(α, β) ( xili , y jl j )
i 1
j 1
rr
xi y j (li , l j )
i1 j1
r
xi y j , i 1
即此时 α 与 β 的内积只要考虑它们的坐标的运
算即可．
还可以举出其他运算上的方便之处．因此， 在向量空间取基时，我们经常取规范正交基．例 如在平面或三维空间中，我们常用的是直角坐标系．
性质（1），（2）可直接由定义 4.2 证明．
性质（3）的证明 设k 为任意实数， z x ky ，则
(z, z) ( x ky, x ky) ( x, x) 2k( x, y) k 2 ( y, y) 0
故这个关于 k 的二次三项式的判别法：
[2(x, y)]2 4(x, x)( y, y) 0 ，
若 dim(V ) r ，如何在V 中找一组规范正交
基呢？ 定理 4.3 （Gram-Schmidt 正交化过程）
设在向量空间V 中有一组线性无关的向量 α1, , αr ，取
β1 α1,
β2
α2
( β1, α2 ) ( β1, β1)
β1,
βr
αr
( β1, αr ) ( β1, β1)