11.1.2三角形的高、中线与角平分线

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
编制：
一、知识要点：
1、三角形的高：（1）定义（2）三角形三条高的位置
2、三角形的中线：（1）定义（2）三角形的重心
3、三角形角平分线
4、三角形具有稳定性
二. 典例和变式
知识点1：三角形的高
例1：如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E，那么:
(1)△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为；
(2)若AE=5，DE=2，CD=1.8 ，则AB= .
【变式练习1】
1.△ABC，∠C=90°AB=5,BC=4,AC=3,求AB边上的高。

2.如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，高BD＝2.5，试作出BC边上的高AE，并求出AE 的长．
3.已知△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，AB,AC,BC边上的高分别为h1，h2，h3，
则h1：h2：h3= 。

4.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝72°，∠CAD＝21°，则∠BAC的度数是。

知识点2：三角形的中线
例2：(1)在△ABC中,AD为BC边的中线,若△ABD与△ACD的周长差为3,AB=8,则AC= 。

(2)如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则图中阴影部分的面积是 .
【变式练习2】
1.如图,在△ABC中,已知点D, E, F分别为BC, AD, CE的中点,且S△ABC=8cm2,则S 阴影等于。

2.已知如图S△ODA=3,S△ODC=4,S△OBC=5，则S△OAB= .
（例5）（变式练习1）（变式练习2）3.已知一个等腰三角形一腰上的中线将该三角形的周长分成8和10两部分，试求该三角形的三边是多少？
3、三角形的角平分线
例题3：如下图所示，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABE的角平分
线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是。

【变式练习3】
如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数。

4、三角形具有稳定性。

例4：如图, 一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的何原理是____ ______。

三. 分层达标阶梯训练
【A基础训练】
1.如图小明做了一个方形框架,发现很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案（）
2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
3.一个三角形的三条角平分线的交点在( )
A. 三角形内
B. 三角形外
C. 三角形的某边上
D. 以上三种情形都有可能
4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是( )
A.中线
B.高
C.角平分线
D.以上三种情况都正确
5.如图,AC⊥BC, CD⊥AB, DE⊥BC,下列说法中,错误的是( )
A. △ABC中,AC是BC边上的高
B. △BCD中,DE是BC边上的高
C. △ABE中,DE是BE边上的高
D. △ACD中,AD是CD边上的高
6.如图△ABC中,D点是BC上的点,E是AD的中点, △BCE的面积是1,则△ABC的面积是。

7.如图在△ABC中,BD平分∠ABC，BD⊥AC，DE∥BC，∠ABC=45°，则∠ADE= 。

8.如图AD是△ABC的高，BD=2DE，CE=BE，若△ABC的面积为a，则△ACD的面积为：。

(6题) (7题) (8题)
9.如图，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到点D 、E 、F ，使AB ＝BD ，BC ＝CE ， CA ＝AF ，连接DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积 .
10.如图所示，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分面积是 。

11.如图,点D,E 分别是△ABC 的边AC,AB 上的点,直线BD 与CE 交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF 的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD 的面积是 。

12.如图所示，D,E,F 分别是△ABC 的中点，且AD,BE,CF 相交于P 点，则图中面积相等的三角形有 个。

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（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
【B 能力提升】
13.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、BC 上的点，AD=2BD ，BE=CE ，设△ADF 的面积为1S ，的面积为2S ，若ABC S =6，求的值
【C 巅峰突破】
14.如图所示, ∠MON=90°,点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动, △AOB 的角平分线AC 与BD 交于点P,问随着点A 、B 的位置的变化, ∠APB 的大小是否变化?若保持不变,请说明理由,若发生变化,求出变化的范围.。