2023-2024学年上海建平中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)

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建平中学2023学年第一学期高一数学期末
2024.1
一、填空题(每题3分,满分36分)
1.已知扇形的面积是4,半径为2,则扇形的圆心角为________弧度.
2.已知α是第二象限角,且3
5
sin α=,则tan α=________.
3.若函数()()23(0a f x log x a =−−>且1)a ≠的图像恒过定点A ,则A 的坐标是______.
4.已知02,π
α∈−
,若728cos α=,则sin α=________.
5.
方程)20sin x
x =≤≤π的解集为________. 6.函数(
)2f x x =+的值域是________. 7.已知α为锐角,167cos π
α+=
,则cos α=________.
8.已知函数()9999999f x ax bx x =+−+,且()210f −=,则()2f =________. 9.若存在x R ∈,使34cosx sinx k =+成立,则实数k 的取值范围是________.
10.已知函数(
)(2x f x ln x =+,若()2561f m m +−<,则实数m 的取值范围是_____.
11.已知函数()()242,1
,23,1
x
x f x g x x ax x x −< ==++ −≥ ,若函数()()y g f x =有6个零点,则
实数a 的取值范围是________.
12.若存在实数,a b ,对任意实数[]01x ,∈,不等式32x m ax b x −≤+≤恒成立,则实数m 的取值范围是________.
二、选择题（每题3分,满分12分) 13.“1sinx =”是“0cosx =”
的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2
14.已知实数,a b 满足a b >,则下列不等式恒成立的是( )
A.11a b −−>;
B.22a b >;
C.33a b >;
D.a b >.
15.对于ABC ∆,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,有如下判断：(1)若cosA cosB =,则ABC ∆为等腰三角形;(2)若A B >,则sin sinA B >;(3)若8,10,60a c B === ,则符合条件的ABC ∆有两个;(4)若sinAsinB cosAcosB <,则ABC ∆是钝角三角形.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.已知集合S 是由某些正整数组成的集合,且满足:若a S ∈,则当且仅当(a m n =+其中正整数,m n S ∈,且)m n ≠或(a p q =+其中正整数,p q S ∉,且)p q ≠.现有如下两个命题:(1)5S ∈;(2)集合{}
*3x
x n,n N S =∈⊆∣.则下列判断正确的是( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题. B.(1)是真命题,(2)是假命题. C.(1)是假命题，(2)是真命题. D.(1)是假命题,(2)是假命题. 三、解答题（本题共有5大题,满分52分) 17.已知角α的终边经过点()12M ,−, (1)求
()
23sin cos cos sin α+π−αα−α
的值.
(2)求24tan π
α+
的值.
18.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,
且2sin B =. (1)求角B 的大小.
(2)若ABC ∆的面积为6,4a =,求b 的长.
3
19.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现，某水果的产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()()2217,02
8
50,251
x x W x x x +≤≤
=
−
<≤−,且施用肥料及其它成本总投入为20x 元.已知这种水果的市场售价大约10元/千克,且生产的水果都能售出.记该水果利润为()f x (单位:元)（利润=销售额-成本）
(1)写出利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式.
(2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？
20.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点. (1)已知函数()23f x x x =−−,求函数()f x 的不动点.
(2)若对于任意的b R ∈,二次函数()()()2180f x ax b x b a =+−+−≠恒有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.
(3)若函数()()211f x mx m x m =−+++在区间()02,上有唯一的不动点,求实数m 的取值范围.
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21.若函数()f x 满足:对任意正数,s t ,都有()()()f s f t f s t +<+,则称函数()f x 为“H 函数”. (1)试判断函数()21f x x =与()()21f x ln x =+是否为“H 函数”,并说明理由. (2)若函数33x y x a =+−是“H 函数”,求实数a 的取值范围.
(3)若函数()f x 为“H 函数”,()11f =,对任意正数,s t ,都有()()0,0f s f t >>,求证:对任意(
)()122k k x ,k N +∈∈,都有()12
2x f x f x x −>−
.
5
参考答案
一、填空题 1.2 ; 2. 34−
3.()33,−
4.14−;
5.388,ππ ;
6.54,
⋅−∞
; 8.8; 9.[]55,⋅−; 10.()61,−；
11.(3,⋅−− 12.14,
+∞
二、选择题
13.A 14. C 15. C 16.A 三．解答题
17.【答案】（1）-1 (2)-7
【解析】（1）由已知得2tan α=−,()
2221
1333sin cos sin cos tan cos sin cos sin tan α+π−αα−αα−∴
===−α−αα−α−α
;
(2)2tan α=− ,2
24231tan tan tan α∴α==−α,则2127412tan tan tan πα+
α+==− −α
. 18.【答案】（1）4B π
=
(2)b = 【解析】（1
）因为2sin B =
，所以2sinBcosB =. 因为0sinB ≠,
所以cosB =,又,0B <<π,所以4B π=.
(2)
因为114622ABC S acsinB c ∆=
=××=,
所以c =由余弦定理可得
222216182410b a c accosB +−+−××,
所以b =. 19.【答案】(1)()22020340,0280
50020,251x x x f x x x x −+≤≤
= −−<≤
−
(2)肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元
【解析】(1)由已知()()1020f x W x x =−,又()()2217,02
8
50,251x x W x x x +≤≤
= −
<≤ −
,
6
所以()()2201720,028050020,251x x x f x x x x +−≤≤
= −−<≤ − ,整理得()22020340,02
8050020,251x x x f x x x x −+≤≤ = −−<≤
− . （2）当02x ≤≤时,()2
2
12020340203352f x x x x
−+−+
，
∴当02x ≤≤时,()()2380f x f ≤=
,当25x <≤时,()80
500201
f x x x =−−−, ()80500201201x x =−+−+ − ()
804802014804001x x
−+−≤− −
当且仅当()80
2011
x x =−−,即3x =时等号成立,()400max f x =,
因为380400<综上,所以()f x 的最大值为400.
故当施用肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元. 20．【答案】(1)1,3− (2)()
06,
(3)11m −<≤
或m =
【解析】(1)设0x 为不动点,因此2
0003x x x −−=,解得01x =−或03x =,
所以1,3−为函数()f x 的不动点.
(2)方程()f x x =，即()218ax b x b x +−+−=，有()22800ax b x b a +−+−=≠，， 于是得方程()2280ax b x b +−+−=有两个不等实根, 即()()()22(2)480414810Δb a b b a b a =−−−>⇔−+++>, 依题意,对于任意的b R ∈,不等式()()2414810b a b a −+++>恒成立, 则()216(1)16810,Δa a ′=+−+<整理得260a a −<,解得06a <<, 所以实数a 的取值范围是()06,.
(3)由于函数()f x 有且只有一个不动点在()02,上所以()211mx m x m x −+++=， 即()2210mx m x m −+++=在()02,上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =−+++
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①()()020g g ⋅<,则()()110m m +−<,解得11m −<<;
②()00g =即1m =−时，方程可化为20x x −−=,另一个根为-1,不符合题意,舍去; ③()20g =即1m =时，方程可化为2320x x −+=,另一个根为1,满足; ④0∆=,即()()2
2410m m m +−+=,
解得m =(I)
当m =
时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,满足; （II
）当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,不符合题意,舍去; 综上,m 的取值范围是11m −<≤
或m =
. 21．【答案】（1）不是 （2）1
3
a ≥
（3）见解析
【解析】(1)对于任意()()()()()
2
22111,0,,s t ,f s f t s t f s t s t ∈+∞+=++=
+,
()()()()222
111()20f s t f s f t s t s t st ∴+−+=+−+=> ,
即()()()111f s f t f s t +<+成立;故()21f x x =是“H 函数”.
对于()()21f x ln x =+，取1s t ==,则()()()22222,3f s f t ln f s t ln +=+=. 因为22ln 3ln >,故()()21f x ln x =+不是“H 函数”.
(2)因为函数33x y x a =+−是“H 函数”,故对于任意的(),0s t ,∈+∞有 ()333333s t s t s t a s a t a +++−>+−++−恒成立,
即3333s t s t a +−−>−恒成立所以()()
313113s t a −−>−恒成立.
又(),0s t ,∈+∞,故()3,31s t ,∈+∞,则()()
()31310s t ,−−∈+∞则130a −≤,即1
3
a ≥. (3)由函数()f x 为“H 函数”,可知对于任意正数,s t , 都有()()0,0f s f t >>,且()()()f s f t f s t +<+,
8
令s t =,可知()()22f s f s >,即
()()
22f s f s >,
故对于自然数k 与正数s ,都有()()
()()()()()()111
1
22222,22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s +++−=⋅>
对任意(
)()1
22k k x ,k N +∈∈,可得1
1
11
2
2k k
,
x +
∈
,又()11f =, 所以()()()()()122222122k k
k
k
k
x
f x f x f f f +>−+>≥=>,
同理()11111111
22222222k k k k k k f f f f f x x x + <−−<≤==< ,
故()12
2x f x f x x
−>− .。