高考数学复习10.2双曲线及其性质
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2
1 y1 y 2 (k 0) ， k2
弦长公式
x1 x 2
x1 x2 2 4 x1 x2
，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ” a
的一元二次方程的“ x 2 ”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于 F1 F2 的弦）是同支中的最短弦，其长为
2b 2 a
双曲线上一点 P ( x 0 , y 0 ) 与两焦点 F1 , F2 构成的 PF1 F2 成为焦点三角形，
F2 x
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a b 离心率 等轴双曲 线
e 2 两渐近线互相垂直 渐近线方程为 y x 方程可设为
x 2 y 2 ( 0) .
题型归纳及思路提示
题型 139 双曲线的定义与ຫໍສະໝຸດ Baidu准方程
x0 x y 0 y 2 1, ( x0 , y0 ) 为切点 a2 b
y2 x2 1(a 2 k b 2 ) 2 2 a k b k y2 x2 ( 0) a2 b2
y 0 y x0 x 2 1, ( x0 , y 0 ) 为切点 a2 b
对于双曲线上一点 ( x0 , y 0 ) 所在的切线方程， 只需将双曲线方程中 x 2 换为 x0 x ， 切线方程
y r1 O
焦点三角形中一般要用到的关系是
PF1 PF2 2a (2a 2c) 1 F1 S PF1F2 PF1 PF2 sin F1 PF2 2 2 2 2 F1 F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1 PF2
P(x0,y0) r2
2 2
1, 点( x 0 , y 0 )在双曲线内 （含焦点部分） y x 2 2 a b 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线上 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线外
2 2
x2 y2 1(a 2 k b 2 ) 2 2 a k b k x2 y2 ( 0) a2 b2
令
渐近线方 程
令
x2 y2 b 2 0 y x， 2 a a b
焦点到渐近线的距离为 b
y2 x2 a 2 0 y x， 2 b a b
焦点到渐近线的距离为 b
点和双曲 线 的位置关 系 共焦点的 双曲线方 程 共渐近线 的双曲线 方程 切线方程
1, 点( x0 , y 0 )在双曲线内 （含焦点部分） x y 2 2 a b 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线上 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线外
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2
y B2
b y x a
y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2
y F 1 B1 A1 B2 A2 x F2
y a x b y a x b
图形
A1 F1 B1
A2 F2 x
y b x a
焦点坐标 对称性 顶点坐标 范围 实轴、 虚轴 离心率
F1 (c,0) ， F2 (c,0)
F1 (0,c) ， F2 (0, c)
关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
A1 (a,0) ， A2 (a,0)
x a
A1 (0, a ) ， A2 (0, a )
y a
实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
e
c b2 1 2 (e 1) a a
y 2 换成 y 0 y 便得.
x0 x y 0 y 2 1, ( x0 , y0 ) 为双曲线外一 a2 b
点
切点弦所 在直线方 程
y 0 y x0 x 2 1, ( x0 , y 0 ) 为双曲线外一 a2 b
点
点 ( x0 , y 0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， k AB k . 则弦长 AB 1 k x1 x 2 1
高考数学复习-第二节
双曲线及其性质
考纲解读 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 命题趋势探究 1.从内容上看，新课标高考主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识， 侧重考查基本量的计算. 2.从形式上看，以选做题和填空题为主，难度不大. 3.从能力上看，主要考查学生的运算和数形结合能力. 总体来看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，预测 2015 年高考出现解答题的可能 性不大，建议复习时把精力主要集中在选做题和填空题上即可. 知识点精讲 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值 等于常数（大于零且小于 F1 F2 ）的点 ．．．．． 的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
M
MF1 MF2 2a(0 2a F1 F2 )
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当 2a F1 F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a 0 时，点的 轨迹是线段 F1 F2 的垂直平分线. （3） 2a F1 F2 时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“ F1 F2 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上） ，再定量（确定 a 2 ， ，注意 a 2 b 2 c 2 的应用. b 2 的值） 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质如表 10-2 所示. 表 10-2 标准方程
2b 2 ， 设 F1 PF2 ， PF1 r1 ， PF2 r2 ，则 cos 1 r1 r2
焦点三角 形
S PF1F2
c y , 焦点在x轴上 1 sin b2 r1 r2 sin b2 0 ， c x0 , 焦点在y轴上 1 cos 2 tan 2
1 y1 y 2 (k 0) ， k2
弦长公式
x1 x 2
x1 x2 2 4 x1 x2
，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ” a
的一元二次方程的“ x 2 ”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于 F1 F2 的弦）是同支中的最短弦，其长为
2b 2 a
双曲线上一点 P ( x 0 , y 0 ) 与两焦点 F1 , F2 构成的 PF1 F2 成为焦点三角形，
F2 x
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a b 离心率 等轴双曲 线
e 2 两渐近线互相垂直 渐近线方程为 y x 方程可设为
x 2 y 2 ( 0) .
题型归纳及思路提示
题型 139 双曲线的定义与ຫໍສະໝຸດ Baidu准方程
x0 x y 0 y 2 1, ( x0 , y0 ) 为切点 a2 b
y2 x2 1(a 2 k b 2 ) 2 2 a k b k y2 x2 ( 0) a2 b2
y 0 y x0 x 2 1, ( x0 , y 0 ) 为切点 a2 b
对于双曲线上一点 ( x0 , y 0 ) 所在的切线方程， 只需将双曲线方程中 x 2 换为 x0 x ， 切线方程
y r1 O
焦点三角形中一般要用到的关系是
PF1 PF2 2a (2a 2c) 1 F1 S PF1F2 PF1 PF2 sin F1 PF2 2 2 2 2 F1 F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1 PF2
P(x0,y0) r2
2 2
1, 点( x 0 , y 0 )在双曲线内 （含焦点部分） y x 2 2 a b 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线上 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线外
2 2
x2 y2 1(a 2 k b 2 ) 2 2 a k b k x2 y2 ( 0) a2 b2
令
渐近线方 程
令
x2 y2 b 2 0 y x， 2 a a b
焦点到渐近线的距离为 b
y2 x2 a 2 0 y x， 2 b a b
焦点到渐近线的距离为 b
点和双曲 线 的位置关 系 共焦点的 双曲线方 程 共渐近线 的双曲线 方程 切线方程
1, 点( x0 , y 0 )在双曲线内 （含焦点部分） x y 2 2 a b 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线上 1, 点( x0 , y 0 )在双曲线外
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2
y B2
b y x a
y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2
y F 1 B1 A1 B2 A2 x F2
y a x b y a x b
图形
A1 F1 B1
A2 F2 x
y b x a
焦点坐标 对称性 顶点坐标 范围 实轴、 虚轴 离心率
F1 (c,0) ， F2 (c,0)
F1 (0,c) ， F2 (0, c)
关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
A1 (a,0) ， A2 (a,0)
x a
A1 (0, a ) ， A2 (0, a )
y a
实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
e
c b2 1 2 (e 1) a a
y 2 换成 y 0 y 便得.
x0 x y 0 y 2 1, ( x0 , y0 ) 为双曲线外一 a2 b
点
切点弦所 在直线方 程
y 0 y x0 x 2 1, ( x0 , y 0 ) 为双曲线外一 a2 b
点
点 ( x0 , y 0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， k AB k . 则弦长 AB 1 k x1 x 2 1
高考数学复习-第二节
双曲线及其性质
考纲解读 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 命题趋势探究 1.从内容上看，新课标高考主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识， 侧重考查基本量的计算. 2.从形式上看，以选做题和填空题为主，难度不大. 3.从能力上看，主要考查学生的运算和数形结合能力. 总体来看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，预测 2015 年高考出现解答题的可能 性不大，建议复习时把精力主要集中在选做题和填空题上即可. 知识点精讲 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值 等于常数（大于零且小于 F1 F2 ）的点 ．．．．． 的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
M
MF1 MF2 2a(0 2a F1 F2 )
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当 2a F1 F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a 0 时，点的 轨迹是线段 F1 F2 的垂直平分线. （3） 2a F1 F2 时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“ F1 F2 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上） ，再定量（确定 a 2 ， ，注意 a 2 b 2 c 2 的应用. b 2 的值） 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质如表 10-2 所示. 表 10-2 标准方程
2b 2 ， 设 F1 PF2 ， PF1 r1 ， PF2 r2 ，则 cos 1 r1 r2
焦点三角 形
S PF1F2
c y , 焦点在x轴上 1 sin b2 r1 r2 sin b2 0 ， c x0 , 焦点在y轴上 1 cos 2 tan 2