第23课相似多边形(学生版)-九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)

第23课相似多边形
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学习目标
1.1.了解相似多边形的概念和性质.
2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.
3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.
知识精讲
知识点01 相似多边形的概念
1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.
知识点02 相似多边形的性质
1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.
能力拓展
考点01 相似多边形的概念
【典例1】下列多边形一定相似的是（）
A．两个矩形B．两个五边形C．两个正方形D．两个等腰三角形
【即学即练1】在如图所示的三个矩形中，相似的是（）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
考点02 相似多边形的性质
【典例2】如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′．
（1）∠B＝．
（2）求边x、y的长．
【即学即练2】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（）
A．B．C．D．
2. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
3. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面
积是（）
A．100cm2B．180cm2C．75cm2D．30cm2
4. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
5. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）
A．a＝2B．m＝2n C．x＝2 D．∠α＝60°
6. 如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（）
A．6 B．C．D．4
7. 如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）
A．120°B．87°C．75°D．60°
8如图所示，长为10，宽为8的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分）．如果剩下矩形与原矩形相似，那么截去短形的面积是（）
A．B．C．D．
9. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是．
10.两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为．
11.在一张比例尺为1：30000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际
周长为km，面积为km2．
12.已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长
为；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是．
13.如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
14.如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
15.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．
（1）试说明四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH与▱ABCD相似吗？说明理由．
题组B 能力提升练
16. 如图，选项中与它相似的是（）
A．B． C．D．
17. 把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得
到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加（）
cm B．5cm C．7cm D．10cm
18. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿
MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）
A．B．C．D．
19. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，
则DF：AD的值为．
20.如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
21. 如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
题组C 培优拔尖练
22. 小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图所示，关于
两个矩形，下列说法正确的是（）
A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似
C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似
23 如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个
图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）
A．B．C．D．
24. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于
三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形；（填“相似”或“不相似”
或“相似性无法确定”．不要求证明）
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形；（填“相似”或“不相似”
或“相似性无法确定”．不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ 相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是＝．（不妨设AD＝a，BC＝b，AB＝c，CD＝d．不要求证明）
25．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．。