怎样添加正方形中的辅助线 (1)
初中数学辅助线添加技巧：轴对称
初中数学辅助线添加技巧：轴对称方法总结1．图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．在近年来全国各地的中考题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点模型．思路：图形的折叠问题分为两类题型：一是考察图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；二是考察图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹角．2．轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或将分散条件集中起来，从而达到解题目的．那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？以下给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形．（1）线段或角度存在2倍关系时，可考虑对称；（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称；（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称；（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解．所以最短路径问题，需要考虑轴对称．几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下所示．3．轴对称的基本模型（1）（2）（3）（4）典例精析例1．如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，交BC边上的高AE于点G，求证：EG=EC．GFED CBA证明：连接AD．21GFEDCBA∵点D 为AB 垂直平分线上一点， ∴DA DB =，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， 又AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴DE AE =， ∵DF AC ⊥ ∴290C ∠+∠=︒， 又∵190C ∠+∠=︒， ∴12∠=∠， ∴AEC DEG △≌△， ∴EG GC =．点拨：本题用到了基本模型（4），线段的垂直平分线“模型”是典型的轴对称基本模型． 例2．（1）如图1，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B'处，点A 落在点A'处．若AE =a ，AB =b ，BF =c ，请写出a ，b ，c 之间的一个等量关系 ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，，将其折叠，使点A 落在边CB 上A'处，折痕为CD ，则∠A'DB =（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°（3）如图3，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在A'处，且点A'在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．（4）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）图4图3图2图1N MABCDE ABCDEF ABCDA解（1）222c a b =+（提示B'E =BF =FB =c ） （2）D ；（3）3；（4（n ≥2，且n 为整数）． 点拨：本例中几个题都是折叠问题，折叠与轴对称是密不可分的，对于折叠问题，我们的思路通常是确定对应边、对应角及折痕，折叠前后的图形全等，且折痕是对应点连线的垂直平分线，求线段长通常确定一个直角三角形或两个相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质求解．例3．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，求折痕MN 的长度．NM A BCDEF解：方法一：过点M 作MHAD 交CD 于点H ，连接DE ．H NM A BCD EF∵正方形ABCD ，MN 是折痕，∴,MN DE MH AD ⊥=， ∵E 是BC 中点， ∴4BE CE ==， 易证MHN DCE △≌△， ∴MN DE =，在Rt DCE △中，CD =8，EC =4，∴DE ==，∴MN =．方法二：延长NE 交AB 的延长线于点H ，由题意可知EN =DN ，CE =4．K HN M A B CDEF在Rt NEC △中，设DN =x ， ∵222EN EC CN =+， ∴()22248x x =+- ∴5x =，∴5,3DN CN ==．易证,5,10NEC HEB HE NE HN ===△≌△， ∵ABCD ，∴DNM HMN ∠=∠． ∵DNM HNM ∠=∠， ∴HMN HNM ∠=∠． ∴10MH NH ==． 作NK AB ⊥于K ，∴3KB NC BH ===． ∴4MK =． ∵8KN =，∴MN ==点拨：本例是一道典型的考查折痕的问题，方法一应用了折痕垂直平分对应点所连线段，再用正方形中一个经典模型：并将MN 转化；方法运用了折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形．例4．在四边形ABCD 中，AB =30，AD =48，BC =14，CD =40，90ABD BDC ∠+∠=︒，求四边形ABCD 的面积．40144830A B CD解：作BD 的垂直平分线l ，以l 为对称轴，作ABD △关于l 的轴对称图形A'DB △．l A'40144830A B CD∴,30,48,ABD A'DB S S A'D AB A'B AD A'DB ABD =====∠=∠△△． ∴90A'DC A'DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒． ∴A'DC △是直角三角形．∴50A'C ，在A'BC △中，50,48,14A'C A'B AD BC ====． 而22222214481962304250050BC A'B A'C +=+=+===， ∴由勾股定理逆定理可知90A'BC =∠︒． ∴A'BC A'DC ABCD A'BCD S S S S ==+△△四边形四边形 1111481430403366009362222A'B BC A'D CD =+=⨯⨯+⨯⨯=+=． 点拨：题目给出两角互余，考虑直接将两角挪在一起，构成直角，进而得到特殊三角形，特殊图形具有特殊性质，便于我们做题．而此题我们利用轴对称达到这一目的．应用了基本模型（1），因此说互余、互补关系的图形与轴对称有着很奇妙的关系，也是轴对称的应用．例5．在四边形ABCD 中，连接AC ，BC =CD ，60BAC ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥．ABCD证明：以AC 所在直线为对称轴将ADC △翻折到AD'C △的位置，连接BD'．D'ABCD则,CD'CD BC ACD ACD'==∠=∠．∵60BCD'BAC ACD'BAC ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， ∴D'BC △为等边三角形．∴AD CD AD'D'B AB +=+≥，等号成立时AC 平分BAD ∠．点拨：本题中出现角度差为特殊角60°，提示我们可以进行对称变换“构造”出60°角．例6．问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.ABC解：（1）图形补全如下图所示，ABCD①当∠BAC =90°时， ∵∠BAC =2∠ACB ， ∴∠ACB =45°，在△ABC 中，∠ABC =180°－∠ACB －∠BAC =45°， ∴∠ACB =∠ABC ， ∴AB =AC （等角对等边）； ②当∠DAC =15°时， ∠DAB =90°－15°=75°，∵BD =BA ，∴∠BAD =∠BDA =75°， ∴∠DBA =180°－75°－75°=30°，∴∠DBC =45°－30°=15°，即∠DBC =15°， ∴∠DBC 的度数为15°； ③∵∠DBC =15°，∠ABC =45°， ∴∠DBC =15°：∠ABC =45°=1：3， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图，作∠KCA =∠BAC ，过B 点作BK ∥AC 交CK 于点K ，连接DK ．654321l K ABCD E∴四边形ABKC 是等腰梯形， ∴CK =AB ， ∵DC =DA ， ∴∠DCA =∠DAC ， ∵∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCD =∠3， ∴△KCD ≌△BAD ， ∴∠2=∠4，KD =BD ， ∴KD =BD =BA =KC ． ∵BK ∥AC ， ∴∠ACB =∠6，∵∠BAC =2∠ACB ，且∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCA =2∠ACB ， ∴∠5=∠ACB ，∴∠5=∠6， ∴KC =KB ， ∴KD =BD =KB ， ∴∠KBD =60°，∵∠ACB =∠6=60°－∠1， ∴∠BAC =2∠ACB =120°－2∠1，∵∠1+（60°－∠1）+（120°－2∠1）+∠2=180°， ∴∠2=2∠1，∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．点拨：本题出现倍角关系，又有轴对称的基本模型（2）、（3），所以很容易想到用对称解决问题．本题的难点在于轴对称的选择．例7．（1）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，2CM =，点P 是BD 上一动点，则PM PC +的最小值是 ．（2）若将（1）中的正方形换成菱形且60ABC ∠=︒，其它条件不变，则PM PC +的最小值是 ．(2)(1)M CDPAB PABCDM解：（1）2）点拨：求线段和最小时，可以利用对称性求解． 例8．阅读下列材料：问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=︒，试判断AB ＋CD 与AD 之间的大小关系。
(完整word版)8种辅助线做法
(完满word版)8种辅助线做法全等三角形问题中常有的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一〞法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角均分线在三种添辅助线4.垂直均分线联系线段两端5.用“截长法〞或“补短法〞：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特别直角三角形，尔后计算边的长度与角的度数，这样可以获取在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创立边、角之间的相等条件。
常有辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞解题，思想模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转〞法构造全等三角形．3)遇到角均分线在三种添辅助线的方法，〔1〕可以自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折〞〔 2〕可以在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。
〔 3〕可以在该角的两边上，距离角的极点相等长度的地址上截取二点，尔后从这两点再向角均分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的均分线，构造全等三角形，思想模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞5)截长法与补短法，详尽做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)某线段的垂直均分线，那么可以在垂直均分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 截长补短法.doc
八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 截长补短法一、截长补短法：题目中出现线段之间的和差倍分时，考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。
二、典型例题：例题1、如图，在△ABC 中，∠1 = ∠2 ，∠B = 2∠C ，求证：AC = AB + BD图1证明：（截长法）如图，在线段AC 上截取AE = AB ，连接DE图2∵AB = AE , ∠1 = ∠2 ，AD = AD∴△ABD ≌△AED∴BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE∵∠B = 2∠C ∴∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C∴∠EDC = ∠C ∴ED = EC （等角对等边）∵AC = AE + EC∴AC = AB + BD （等量代换）例题2、如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF = 45°，连接EF 。
求证：EF = BF + DE 。
图3证明：（补短法）如图，将DE 补在FB 的延长线上，使BG = DE , 连接AG图4∵在正方形ABCD 中有AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90°，DE = BG∴△ADE ≌△ABG ∴∠1 = ∠2 ，AE = AG∵∠EAF = 45°∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF∵AE = AG , ∠EAF = ∠GAF ，AF = AF∴△EAF ≌△GAF ∴EF = GF∵GF = BF + BG = BF + DE∴EF = BF + DE例题3、如图，在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ，CE⊥BD 交BD 的延长线于点E 。
求证：CE = 1/2 BD 。
图5证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于点F图6∵CE⊥BE ∴∠BEC = ∠BEF = 90°∵BD 平分∠ABC ∴∠1 = ∠2∴△BEC ≌△BEF ∴EC = EF∵∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC ，∠ADB = ∠EDC （对顶角相等）∴∠1 = ∠3∵AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90°，∠1 = ∠3∴△ABD ≌△ACF ∴BD = CF = 2 CE即CE = 1/2 BD三、拓展提高（作业题）例题4、如图，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线。
初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常用辅助线添加技巧人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况：1 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧3-等形分割(三角形面积、正方形面积、圆的面积等图形问题)
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法3、等形分割（三）等形分割例1 如图1，ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，四边形ADEF 为正方形，求它的面积。
练习1 如图1-1，在等腰直角三角形ABC 中，ADEF 为正方形，它的面积是24平方厘米，求△ABC 的面积。
练习2 如图1-2，将三角形ABC 的边AB 、AC 都延长到原来长度的2倍处，它的面积将增加几倍？练习3 把边长是10厘米的正方形卡片按图的方法重叠起来。
3张这样的卡片重叠以后组成的图形的面积是多少平方厘米？AB C EF DAB CEF DABC B 'C'图1-1图1-2图1-3图1例2 如图2，△ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，DEFG 为正方形，求它的面积。
练习1 如图2-1，EFGH 是等腰直角三角形ABC 内的一个正方形，已知这个正方形的面积是60平方厘米，求三角形ABC 的面积。
练习2 如图2-2，正方形ABCD 和正方形EFGH 分别内接于同一个等腰三角形（这里的“内接”指正方形的四个顶点全部落在三角形的边上）。
已知正方形ABCD 的面积是72平方厘米，求正方形EFGH 的面积。
练习3 如图2-3，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，四边形EFGH 是正方形，求△ABC 和△DEC 的面积之比。
ABCEFDGA BE FDG H ABCEF DG H图2图2-1图2-2图2-3ABC FGH例3 如图3，三角形ABC 为等边三角形，D 为AB 边上的中点，DE 与BC 垂直，已知三角形BDE 的面积为5.6平方厘米，求等边三角形ABC 的面积。
练习1 如图3-1，D 为等腰直角三角形ABC 的腰AB 的中点， DE 与BC 垂直，已知三角形ABC 的面积为48平方厘米，求三角形BDE 的面积。
练习2 如图3-2，把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮，做成一个无盖的正方体盒子。
2023年中考数学冲刺复习知识点：辅助线添加法
2023年中考数学冲刺复习知识点：辅助线添加法 一、三角形中常见辅助线的添加 1.与角平分线有关的 （1）可向两边作垂线. （2）可作平行线，构造等腰三角形. （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. 2.与线段长度相关的 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可. （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可. （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形. （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一. 3.与等腰等边三角形相关的 （1）考虑三线合一.（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°.二、四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 1.和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形. （2）利用两组对边平行构造平行四边形. （3）利用对角线互相平分构造平行四边形. 2.与矩形有辅助线作法 （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题. （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 3.和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题. （1）作菱形的高. （2）连结菱形的对角线. 4.与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 5.与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形. （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形. （3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形. （4）延长两腰构成三角形. （5）作两腰的平行线等.三、圆中常见辅助线的添加 1.遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径. 作用： ①利用垂径定理. ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2.遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形 常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径 4.遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点 作用： ①可得等腰三角形 ②据圆周角的性质可得相等的圆周角 5.遇到有切线时 常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形 常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理. 6.遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段. 作用：若OA=r，则l为切线 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OA⊥l，则l为切线 （3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点 作用：据切线长及其它性质，可得到 ①角、线段的等量关系 ②垂直关系 ③全等、相似三角形 8.遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段 作用：利用内心的性质，可得 ①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 ②内心到三角形三条边的距离相等 连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等 10.遇到两圆外离时 （解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线 作用： ①利用切线的性质； ②利用解直角三角形的有关知识 11.遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等 作用： ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识 ②利用圆内接四边形的性质 ③利用两圆公共的圆周的性质 ④垂径定理 12.遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线 作用： ①利用连心线性质 ②切线性质等 13.遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线 作用：可利用连心线性质 14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时 常常添加辅助圆.。
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
初中数学九年级上册几何添加辅助线规律整理(共99条)
九年级数学上册几何添加辅助线规律整理（一）【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。
【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
【规律】5有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。
【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。
【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
【规律】13在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。
（2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
（二）【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
初中几何添加辅助线的99条规律
初中几何添加辅助线的99条规律规律1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
规律2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。
规律3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
规律4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
规律5有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。
规律6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n －1）个。
规律7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
规律8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
规律9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
规律10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
规律11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
规律12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
规律13在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。
（2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
规律14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
规律15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
略谈添加辅助线的原理和技巧
略谈辅助线的添加原理与技巧几何问题是困扰学生的一大难题，尤其是需要添加辅助线的几何问题．科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅助线的神秘面纱，攻克几何难题．1．把握基本图形是科学添加辅助线的前提（1）把握基本图形的特征.初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来．学生只有熟悉了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线．一个定理、概念就有一个基本图形．在概念和定理的教学中教师不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感．教师还可以给基本图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基本图形的特征．图1 图2 图3（2）关注基本图形的变形.几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有的共同的性质．组成这些图形的线条和基本条件相同，但线条的位置和长度却千变万化．在概念和定理教学中，图4 图5教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练．如遇到涉及角的图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度大小、几何元素间的相互位置，对一个基本图形作翻折、旋转等变化，让学生从各个角度去认识图形，提高学生对图形的欣赏、鉴别能力．如图4就是三合一图的三种不同形状，各种形状还可以变化出各种不同位置的图形．（3）学会几何图形的分解.几何图形由若干基本图形组成．把一个几何图形分解为基本图形是解决几何问题的关键．在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来，如图5可分解为角平分线图（图6（1））、等腰三角形图（图6（2））、双垂图（图6（3））三个基本图形．（1）（2）（3）图62．捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点学生添加辅助线往往是盲目的、试探性的．究竟从哪里入手添加辅助线才既快捷又准确？（1）从题设入手添加辅助线题设是添加辅助线的第一信号来源．为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何元素归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形．例1 如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长．图7 图8分析：本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD，自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点N．这条辅助线的思维起点就是题目中的题设条件．从题设出发添加辅助线的情况很多，如在梯形中已知两腰的关系，可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等．（2）从结论入手添加辅助线结论是添加辅助线的第二信号来源．通过添加辅助线可以把结论涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来．例2 如图8，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD 为BC 边上的高，点E 为BC 的中点，求证：12D E A B =．（1） （2）图9 分析：本题常用的辅助线有两种：取AC 的中点G 点，连结EG 、DG （如图9（1））；取AB 的中点F ，连结EF 、DF （如图9（2）），添加这两种辅助线的出发点都来自题目的结论．例3 如图10，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°,求证：EF =BE +DF ．图10 图11 分析：本题的常规辅助线是延长CB 到点G ，使BG =FD ，这样添加的出发点就是题目的结论：EF =BE +DF ．根据题目结论涉及的线段或角寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般的思考模式．（3）两者兼顾，才是科学的选择.从题设入手添加辅助线方便进行综合推理，但不一定就能完成推理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析，但不一定就能完成证明．二者兼顾，才是科学的选择．例4 如图11，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证:()12M N A B C D =- ．（1） （2） （3）图12分析：本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD 和BC ，构建直角三角形（如图12（1）），可是这样对处理()12M N A B C D =-是不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集中聚拢∠A 和∠B ，也形成了A B C D -，可是此方案没有联系题目中的中点条件．所以需要同时平移梯形的腰AD 、BC （如图12（3）），这样既能考虑题设条件，也能兼顾结论．例5 如图13，M 为正方形A B C D 边A B 的中点，E 是A B 延长线上的一点，M N D M ⊥，且交C B E ∠的平分线于N ．求证：M D M N =．图13分析：在本题的解答过程中，大部分学生过点N 作N F B E ⊥，然后证明△DAM ≌△MFN ，最终没能成功．原因是这条辅助线没有利用题设中的中点条件．如果取AD 的中点G ，连接MG ，这样就能两者兼顾，从而顺利解决问题．3. 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据（1）难点优先添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的式子，可以将其抽象出基本图形．例6 如图14（1），△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =60°，1902A D B B D C ∠=︒-∠，求证：AB =BD +CD ．图14（1） 图14（2） 图15（1） 图15（2） 分析：本题添加辅助线有两个难点：一是1902A D B B D C ∠=︒-∠，二是AB=BD+CD．基于“难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：延长AD和延长BD至点E，使DE=CD这样的辅助线（如图14（2））．（2）结论优先添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论，故通常优先考虑根据结论添加辅助线．例7如图15（1），BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是 B F的中点，AD⊥BC垂足为D，与BF相交于点E．求证：BE·BF＝BD·BC．分析：本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC并不能出现与结论有关的线段．考虑到构造与结论BE·BF＝BD·BC有关的线段比例关系，我们可选择连结FC（如图15（2））．（3）能不分就不分有些辅助线添加后，会把图中的线段或角分割成几部分，这样对线段或角的处理就比较麻烦，一般的原则是“能不分就不分”．再谈前面例3的辅助线作法，一些学生会试作AG⊥EF（如图16），然后试图证明BE=EG,DF=GF．看上去这是个不错的选择，可是难以证明．这是因为辅助线AG把∠EAF 分成了两部分，不便于应用条件∠EAF=45°．图16 图17 图18再看例4中图12（2）的辅助线，正是因为把线段MN分成了两条线段，而这两条线段又不能独立处理，所以证明就难以进行．（4）能“天然”不“人为”辅助线具有构造图形的功能，常见的有构造线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等．这些构造有些是人为得，有些是通过作平行线、作垂线或直接延长相交而得（姑且称之为“天然”）．通常情况下，我们能“天然”不“人为”．例8如图17，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB和腰CD的中点，求证：EF ∥BC ，()12E F B C A D =+．分析：本题的难点是对B C A D +的处理，若延长BC 到点G ，使得CG =AD ， “人为”形成B C A D +，也是可以证明的．但这时候必须证明A 、F 、G 三点共线，学生要么不会证明，要么就不证明．所以本题还是延长AF 、BC 相交于点G ，“天然”形成B C A D +，比较易于问题的解决．4. 吃透辅助线的灵魂实质，应对千变万化的几何问题例9 如图18，△ABC 的角平分线AD 交BC 边于D ，E 为BC 上一点，且DE =DC ，过E 点作EF ∥AB 交AD 于点F ,求证：EF =AC ．本题辅助线的作法：延长AD 到点G ，使DG =AD ，连结EG ； 或延长AD 到点H ，使DH =DF ，连结CH ．图19 图20 图21例10 如图19，M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 和AB 的中点，连结CM 、DN 相交于点P ，连结BP ，求证：BP =BC ．本题辅助线的作法：延长DN ，交CB 的延长线于点Q ．例11 如图20，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别为对角线AC 、BD 的中点，求证：EF ∥BC ，()12E F B C A D =-．本题辅助线的作法：连结DF 并延长，与BC 相交于G 点．这几个问题的图形各不相同，添加的线条和添加的方式也不一样，研究发现所构建的基本图形一样（如图21）．从本质上来说属于“倍长中线”．“倍长中线”是一种较为常见的添加辅助线的方法，其作法是遇到中线就延长．可是这几个问题中，没有涉及中线，甚至没有三角形，学生根本想不到“倍长中线”．其实，“倍长中线”的实质是利用中点构建全等三角形．这几个几何图形中都应用了中点条件构建全等三角形，只是添加的部位或添加的方式不同．学生掌握了“倍长中线”的实质，就能正确添加辅助线．任何一种辅助线不可能是单一的，添加的部位和叙述方式也许不一样，但构建基本图形的实质是一致的．几何问题和几何图形是千变万化的，所以怎样添加辅助线也就成为了一道难题．辅助线最科学的添加方法既要与各个原则不发生冲突，又要考虑图形的合理性，也就是美感．只有合理的才是最美的．。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线
1
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， = ，MN= 3，求⊙O的半径；
4
（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长
【详解】
(3) 作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD
∵∠BNC=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBP=36°
∴∠BFC=72°即∠BAF=∠ABF、
∠BFC=∠ACB
∴BC=BF=AF
∵∠CBF=∠BAC,∠C=∠C
∴△CBF∽△CAB
∴BC²=CF·AC
设BC=x则AF=x
∴CF=2-x
∴x²=2（2-x）解得：x=± 5 − 1
∴BC= 5 − 1
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
1
∴CD=BD= BC
【分析】①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计
算求出最大值，进而进行判断
试炼场：
从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
3
1
（2）连接OM，先求出MG= ，得出OG= OM，最后用勾股定理求解，即可得
2
2
出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成
BC= 5 − 1，连接AD，再求出CD=
例式求解，即可得出结论
5−1
，再判断出△DEC∽△ADC，得出比
(完整版)初中数学添加辅助线的方法汇总
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧9-分割组合(有关长方形正方形、圆等基本图形)
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法9、分割组合例1 如图1，一块正方形的地，一边减少8米，另一边减少5米，剩下的长方形地的面积比原来正方形地的面积小415平方米。
求原来正方形地的边长。
练习1 如图1-1，公园里有一个正方形的水池，四周有2米宽的水泥路。
如果水泥路的总面积是144平方米，那么中间水池的面积是多少平方米？练习2 如图1-2，一个正方形，一边增加5厘米，另一边增加3厘米，所得新的长方形的面积比原正方形的面积大95平方厘米。
求原来正方形的边长。
练习3 如图1-3，一块正方形玻璃，一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下长方形玻璃的面积比原来减少1750平方厘米，求原来正方形玻璃的边长。
582米531015图1-1图1-2图1-3图1例2 如图2，一个长方形的周长是24分米，如果它的长和宽各增加3分米，得到的新长方形比原长方形的面积大多少平方分米？练习1 如图2-1，一个长方形的周长是20厘米，如果它的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形比原长方形的面积小多少平方厘米？练习2 如图2-2，一个长方形的周长是28分米，如果它的长和宽各增加4分米，得到的新长方形比原长方形的面积大多少平方分米？练习3 如图2-3，在一长比宽多4米的长方形的场地上，建宽为2米的跑道（阴影部分），已知阴影部分的面积与空白部分面积相等，则长方形场地的长宽之和为多少米？ 332244图2图2-1图2-2图2-3例3 如图3，大圆直径为2厘米，求阴影部分的面积。
练习1 如图3-1，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习2 如图3-2，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习3 如图3-3，大正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积。
222图3图3-1图3-2图3-3例4 如图4，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习1 如图4-1，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习2 如图4-2，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习3 如图4-3，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
正方形中的辅助线
（1）求证：AE=EF
线段相等的证法2：
两条线段放在一个三角形中，
利用等角对等边.
利用A、E、C、F四点共圆
例6.四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点，∠AEF=900，且
EF交正方形外角平分线于点F．
（2）若将上述条件中的“E为边BC的中点”改为“点E是边BC
上任
意一点”，其余条件不变，则结论“AE=EF”仍然成立,请你证明
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线 段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
线段相等的证法1：△≌法. 把两条线段放在在两个三角形中,证△≌
方法１.以△AEB为标准造≌△EF?
利用△ＡEB与△EFM相似创造条件
M
例6.四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点，∠AEF=900，且
EF交正方形外角平分线于点F．
（2）若将上述条件中的“E为边BC的中点”改为“点E是边BC
上任
造≌△的原因：等线段等角无法使用．
造≌△的方法：以等线段等角为线索．
方法３：
Ｆ
两条线段放在一个三角形中，
利用等边对等角.
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板， 一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于 Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足 的数量关系，并加以证明； （2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与 PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
初中几何辅助线大全(潜心整理)
初中几何辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线作辅助线的方法一、中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二、垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三、边边若相等，旋转做实验。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为 AB = CD = AH, BE =
1 2
A
B,
18
数理化学习 ( 初中版 )
所以 BE = 14HB.
所以 S BEG =
1 4
S
BGH
=
1 4
16 5
=
45 .
五、将正方形的边所在的三角形绕顶点旋
转 90
例 5 (第 11届 希
望杯 邀请赛试题 ) 如图 5, 正 方 形 ABCD 中, AB
2009年第 5期
P4 的坐标 ). 当 POB 为直角时, 点 P 在 x 轴上, 不符
合要求. 综合以上可得, 符合条件的点有四个, 分别
是: P 1 ( 3,
3 3
),
P2
(
1,
3), P3 (
34 ,
3
3 4
),
P4
(
3 4
,
43). 评注: 本题作为中考的压轴题是一道极具
典型意义的试题, 表面上来看很简单, 就是根据
CFD = H FA,
所以 CDF HAF ( ASA ), 所以 CF = FH, CD = AH.
因为 CDF HAF, 所以 S BCH = S正ABCD = 2 2 = 4. 因为 CF = FH, 3CG = 2GF,
所以 H G = 45CH,
所以 S BGH =
4 5
S
BCH
=
4 5
4 = 156.
35 = 55 . 故选 ( B ).
注: 例 3也可以按 作平行线 的方法 做: 过点 B 作 BG MN 交 AD 于点 G; 例 2也
可以按 作垂线 的方法做: 作 EX BC 于点
X, 作 CY CD 于点 Y. 四、若一点是正方形一边的中点, 则常将正
方形的一顶点与中点连接起来并延长, 与另一
= 3, 点 E、F分别在 BC、 CD 上, 且 BAE = 30 ,
DAF = 15 , 求 AEF 的面积.
解: 如图 5, 将 ADF 绕点 A 顺时 针旋转
90 得 ABG, 则 ABG
AD F.
所以 AG = AF, BAG = DAF = 15 ,
所以 GAE = BAG + BAE = 45 . 又 FAE = 90 - BAE - DAF = 45 ,
EF 的值. GH
解: 如图 2, 作 AM EF 交 BC 于点 M, 作
DN GH 交 AB 于点 N, 则 AM = EF, DN = GH.
因为 EF GH, AM EF, DN GH,
所以 AM DN,
所以 AM B = 90 - BAM = AND.
又 AB = AD, ABM = DAN = 90 ,
所以 GAE = 所以 GEA 所以 EF = EG,
FAE, FEA ( SAS), AEF = AEG = 90 -
BAE = 60 .
在 R t ABE 中, tan BAE = BA EB,
所以 BE = AB tan BAE = 3 tan30 = 1,
所以 CE = BC - BE = 3 - 1. 在 R t EFC 中, CEF = 180 - AEF -
BC 于 点 F, 则 四 边 形 NFCD 为矩形.
所以 NF = CD.
因 为 ABC = NFM
= 90 , CE = MN, BC = CD
= NF,
所以 R t BEC R t FMN (H L ),
所以 MNF = MCE = 35 . 又 ANF = 90 ,
所以 ANM = ANF - MNF = 90 -
若 EAF = 50 , 则 CME
+ CNF = . 解: 如图 1, 连接 AC.
因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD = CD, ADN = CDN = 45 .
又 DN = DN,
所以 ADN
CDN ( SAS).
所以 AN = CN, 所以 NAC =
N CA,
所 以 CNF = NAC + NCA =
AEG = 60 , cos CEF = CEEF,
所以 EF =
CE cos CEF
=
3- 1 co s60
=
2(
3-
1) = EG.
故 S AEF = S AEG =
1 2
EG
AB
=
1 2
2( 3 - 1)
3 = 3- 3.
注: 例 5也可以按添下列辅助线来做: 延长
CB 至 G, 使 BG = DF, 连接 A G.
所以 ABM
DAN (AAS),
所以 AM = DN, 所以 EF = GH,
所以
EF GH
=
1.
CD 中, CE = MN,
MCE = 35 , 那么 ANM 是 ( )
( A ) 45 ( B ) 55 ( C ) 65 ( D) 75
17
解: 如图 3, 过点 N 作 NF
(初三 )
怎样添加正方形中的辅助线
湖北省浠水县实验中学 ( 438200) 周东庭 梅迎春
正方形是几何中的重要内容. 有些正方形
问题, 若不添加适当的辅助线, 则难以解决. 怎 样添加正方形中的辅助线呢?
一、作对角线
例 1 如图 1, 已知 E、 F 分别是正方形 ABCD 的边
BC、CD上的点, AE、AF分别 与对角线 BD 相交于 M、N,
边的延长线相交
例 4 ( 2006 年青 少年数 学 国际 城市 邀
请赛试题 ) 如图 4, 正
方 形的 边 长 为 2, E、F
分别为边 AB、AD 的中 点, G 是 CF 上的一点, 使得 3CG = 2GF. 则 BEG 的面积是 .
解: 如图 4, 延长 CF交 BA 的延长线于点H.
因 为 D = HAF = 90 , DF = A F,
(初二 )
边和角的对应关系分类讨论, 但仔细推敲就会 发现, 本题实际上有一定的难度, 问题中蕴含着 (二次 ) 分类的智慧, 分类的情况比较复杂. 解 这类问题时, 要求学生要多读试题, 首先确定分 类的方向, 理好解题思路, 寻求变化的规律, 然 后再层层递进, 一环扣一环, 探究出符合问题要 求的全部解. 这类问题较好地考查了学生分析 问题、应用数学模型解决问题的能力, 充分体现 出分类讨论思想在解决数学上问题的优越性.
2 NA C.
同 理, CME = MA C + MCA =
2 MA C. 所 以 CM E + CNF = 2( MAC +
NAC ) = 2 EAF = 2 50 = 100 .
二、作平行线
例 2 ( 2008年嘉兴市 中考试题 ) 如图 2, 正方形 ABCD 中, 点 E、F 分 别 在 AD、BC 上, 点 G、H 分 别在 AB、CD 上, 且 EF GH, 求