大学物理学答案 (第3版-修订版) 上册 北京邮电大学(完全版)

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zz 大学物理习题及解答

习题一

1.6 |r ∆|与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v

有无不同?其不同在哪里?试举例说明. 解:(1)r ∆是位移的模,∆r 是位矢的模的增量,即

r ∆12r r -=,12r r r -=∆; (2)t d d r 是速度的模,即t d d r ==v t s d d .

t r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ˆr =(式中r ˆ叫做单位矢),则t ˆr ˆt

r t d d d d d d r r r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量, ∴

t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图

(3)t d d v 表示加速度的模,即t v a d d =,t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢),所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv

就是加速度的切向分量. (t t

r d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) 1.7 设质点的运动方程为x =x (t ),y =y (t ),在计算质点的速度和加速度时,有人先求

出r =2

2y x +,然后根据v =t r

d d ,及a =22d d t r 而求得结果;又有人先计算速度和加速度

的分量,再合成求得结果,即

v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =2

22222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在? 解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有j y i x r

+=,

j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴

故它们的模即为

2

22222222

222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x

而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二,可能是将22d d d d t r t

r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,22d d t r

也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r 在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r 及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1.8 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为

x =3t +5, y =21t 2+3t -4.

式中t 以 s 计,x ,y 以m 计.(1)以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t =1 s 时刻和t =2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t =0 s 时刻到t =4s 时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t =4 s 时质点的速度;(5)计算t =0s 到t =4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t =4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式). 解:(1)

j t t i t r )4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r 5.081-= m j j r 4112+=m j j r r r 5.4312+=-=∆m (3)∵ j i r j j r 1617,4540+=-= ∴ 1

04s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v (4) 1

s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v

则 j i v 734+= 1s m -⋅ (5)∵ j i v j i v 73,3340

+=+= 2

04s m 1444-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2

s m 1d d -⋅==j t v a

这说明该点只有y 方向的加速度,且为恒量。

1.9 质点沿x 轴运动,其加速度和位置的关系为 a =2+62x ,a 的单位为2s m -⋅,x 的单位为 m. 质点在x =0处,速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值.

解: ∵ x v

v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量: x x adx d )62(d 2+==υυ

两边积分得 c

x x v ++=322221

由题知,0=x 时,100=v ,∴50=c

∴ 13s m 252-⋅++=x x v

1.10 已知一质点作直线运动,其加速度为 a =4+3t 2s m -⋅,开始运动时,x =5 m ,v =0,

求该质点在t =10s 时的速度和位置.

解:∵ t t v a 34d d +==

分离变量,得 t t v d )34(d +=

积分,得 12234c

t t v ++=

由题知,0=t ,00=v ,∴01=c

故 2

234t t v +=

又因为 2

234d d t t t x v +==

分离变量, t

t t x d

)234(d 2+=

积分得 23

2212c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c

故 5

21

232++=t t x

所以s 10=t 时

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