中考经典几何题讲义系列：旋转、翻折问题

450
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝ ＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。
2
设 AB＝x，则 AE＝EF＝ 2 x，
∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB 2x+x 2 1。故选 B。 AB x
4. （广东河 源 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【 】
∴BC=CM。
设 CF=x，D′F=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= DF y 3 ，∴ x 3-1 y 。
FM 2x y 3
2
∴ CF x 3-1 。故选 A。 FD y 2
3. （江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5° 角的正切值是【 】
A．150º
B．210º
C．105º
D．75º
【答案】A。
【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得
∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。
（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则 CD=
；
（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则 CD=
；
（3）如图 3，当∠ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠
A F
D
B
E
C
⑵ 关系式 DE 2 BD2 EC 2 仍然成立 证明：将 ADB 沿直线 AD 对折，得 AFD ，连 FE ∴ AFD ≌ ABD ∴ AF AB ， FD DB FAD BAD ， AFD ABD 又∵ AB AC ，∴ AF AC ∵ FAE FAD DAE FAD 45
中考经典几何题系列：旋转、翻折问题 【模型讲解+解题技巧】 【旋转问题】 一、旋转：
纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些 解题技巧。
旋转模型： 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。
2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：
故选 A。
5. （福建南平 4 分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、AD 分别和 AE、 AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为【 】
A． 3 2
【答案】B。
B． 5 2
C． 9 4
D．3
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
A．150° B．210° C．105° D．75° 【答案】A。 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。 故选 A。 2. （江苏南京 2 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A’、D’处，且 A’D’
在 Rt△BEF 中，∠B=900，EF＝5，BF＝3，∴根据勾股定理，得 BE EF2 BF2 52 32 4 。 ∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9。故选 C。 7. （湖北黄石 3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿 EF 对折，使得 点 C 与点 A 重合，则 AF 长为【 】
∴DF= 3 ，EF=1＋ 3 = 5 。故选 B。
2
22
6. （湖北武汉 3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A
恰好落在边 BC 的点 F 处．若 AE＝5，BF＝3，则 CD 的长是【 】
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C。 【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。 【分析】根据折叠的性质，EF=AE＝5；根据矩形的性质，∠B=900。
【分析】∵正方形纸片 ABCD 的边长为 3，∴∠C=90°，BC=CD=3。
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设 DF=x，则 EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。
在 Rt△EFC 中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得： x 3 。 2
证明：根据 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABE
∴ AEC ≌ ABE
∴ BE EC ， AE AE ， C ABE ，
EAC EAB
A
在 RtABC 中
∵ AB AC
E'
B
D
C E
∴ ABC ACB 45 ∴ ABC ABE 90 即 EBD 90 ∴ EB2 BD2 ED2 又∵ DAE 45 ∴ BAD EAC 45 ∴ EAB BAD 45 即 EAD 45 ∴ AED ≌ AED ∴ DE DE ∴ DE 2 BD2 EC 2
(1) BE+DF=EF； (2) S△ABE+S△ADF=S△AEF； (3) AH=AB； (4) C△ECF=2AB； (5) BM2+DN2=MN2； (6) △DNF∽△ANM∽△AEF∽△BEM；相似比为 1： 2 (由△AMN 与△AEF 的高之比 AO： AH=AO：AB=1： 2 而得到)； (7) S△AMN=S 四边形 MNFE； (8) △AOM∽△ADF，△AON∽△ABE； (9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN=45°.(1. ∠EAF=45°；2.AE：AN=1： 2 )
⑴ 猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条件不变，⑴ 中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
A
A
[解析]
B
D
C E
D
B
E
C
图1
图2
⑴ DE 2 BD2 EC 2
2.遇 90°。旋 90°，造垂直； 例：请阅读下列材料：
已知：如图 1 在 RtABC 中， BAC 90 ， AB AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若 DAE 45 ．探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连结 ED ， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
A． 3 ＋1 B． 2 ＋1 C．2.5 D． 5
【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函 数定义，勾股定理。 【分析】∵将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，
∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°， ∵还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，
当点 E、A、C 不在一条直线上时，有 CD=CE<AE+AC=a+b； 当点 E、A、C 在一条直线上时， CD 有最大值，CD=CE=a+b； 此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’ 因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是 a+b. 4.遇等腰，旋顶角。 综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。 图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。
3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转 180°)
(2) 等腰直角三角形(旋转 90°)
(3) 等边三角形旋转(旋转 60°)
(4) 正方形旋转(旋转 90°)
4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足∠EAF=45°， AE、AF 分别与对角线 BD 交于点 M、N.求证：
经过 B，EF 为折痕，当 D’F CD 时， CF 的值为【 】 FD
3 1
A.
2
3
B.
6
2 3 1
C.
6
3 1
D.
8
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函
数值。
【分析】延长 DC 与 A′D′，交于点 M，
∵在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，
【翻折问题】 一、知识梳理
1、轴对称基本要素：对称轴。 2、基本性质： （1）对应线段、对应角相等 （2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等
3、应用 翻折问题、最值问题等
二、经典例题考点讲解
一、选择题 1. （广东梅州 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】
解题技巧： 1.遇中点，旋 180°，构造中心对称
例：如图，在等腰 △ ABC 中， AB AC ，ABC ，在四边形 BDEC 中， DB DE ，BDE 2 ， M 为 CE 的中点，连接 AM ， DM ．
⑴ 在图中画出 △DEM 关于点 M 成中心对称的图形； ⑵ 求证： AM DM ； ⑶ 当 ___________时， AM DM ．
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得
∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。
EAC BAC BAE 90 DAE DAB 45 DAB
∴ FAE EAC 又∵ AE AE ∴ AFE ≌ ACE ∴ FE EC ， AFE ACE 45
AFD ABD 180 ABC 135
∴ DFE AFD AFE 135 45 90 ∴在 RtDFE 中 DF2 FE2 DE2 即 DE 2 BD2 EC 2 3.遇 60°，旋 60°，造等边； 例：已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
ACB 的度数.
图1
图…………………………1’
（2） 3 6 3 2 ； …………………………………………2’ （3）以点 D 为中心，将△DBC 逆时针旋转 60°，则点 B 落在点 A，点 C 落在点 E.联结 AE,CE，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CE=CD. …………………………………………4’
[解析]⑴ 如图所示； ⑵ 在⑴的基础上，连接 AD ，AF 由⑴中的中心对称可知， △DEM ≌△FCM ， ∴ DE FC BD ， DM FM ， DEM FCM ， ∵ ABD ABC CBD 360 BDE DEM BCE 360 DEM BCE ， ACF 360 ACE FCM 360 BCE FCM ， ∴ ABD ACF ， ∴ △ABD ≌△ACF ，∴ AD AF ， ∵ DM FM ，∴ AM DM ． ⑶ 45 ．