可降阶的微分方程

，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f (x ，y) 型
y f (x ，y) 型方程的特点是等式右端未明显包含变量 y ．如果令
y P(x) ，则 y dP ，代回原方程，得 dP f (x ，P) ，
dx
dx
这是一个关于变量 P ， x 的一阶微分方程，可按一阶微分方程的解法求
高等数学
可降阶的微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程． 求解高阶微分方程的方法之一就是降阶，若高阶微分方程可降为一阶微分方程，那 么就可以应用前面所介绍的方法去求解． 设二阶微分方程
y f (x ，y ，y) ， 其中 f 为含有 x ，y ，y 三个变量的函数．
本节中主要介绍三类可降阶的二阶微分方程的解法．
5.3.1 y f (x) 型
y f (x) 型方程的特点是等式右端只是 x 的函数，不出现 y 及 y ．
令 y P(x) ，则 y dP ．于是原方程可降为一阶微分方程 dx
dP f (x) ， dx
等式两边积分可得
dy dx
P(x)
f
(x)dx
C1
，
再积分一次，可得原方程的通解为
y P(x)dx C2 f (x)dx C1 dx C2 ，
yP dP P2 0 ． dy
当 y 0 ， P 0 时，变量分离可得 dP dy ， Py

两边积分得
ln | P | ln | y | C0 ，
整理得 即
P C1y (C1 eC0 ) ，
dy dx
C1
y
，
5.3.2 y f ( y ，y) 型
例 3 求微分方程 yy y2 0 的通解．
P
(
y
，C1 )
，即
dy dx
(y
，C1 )
，
则可分离变量得
dy
( y ，C1)
dx
，
两边积分，可得原方程的通解
dy
( y ，C1)
x
C2
，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f ( y ，y) 型
例 3 求微分方程 yy y2 0 的通解．
解 方程不明显包含自变量 x ，故设 y P(y)，则 y P dP ，代入原方程，得 dy
解．设其求得的通解为 P(x) (x ，C1) ，
即
dy dx
(x ，C1)
，
等式两边积分一次，即可求得原方程的通解
y (x ，C1)dx C2 ，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f (x ，y) 型
例 2 求微分方程 y y ． 1 2x
解 原方程中不显含 y ，故设 y P(x) ，则 y P 代入原方程，得
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.1 y f (x) 型
例 1 求微分方程 y sin x x 的通解．
解 对原方程两边关于 x 积分一次，可得
y
(sin
x
x)dx
cos
x
1 2
x2
C1
，
再积分一次，得原方程的通解
y
cos
x
1 2
x2
C1
dx
sin
x
1 6
x3
C1x
C2
y f (y ，y) 型方程的特点是等式右端不明显包含自变量 x ．同样采用变量替换的方法，
令 y P( y) ，由复合函数求导法则有 y d ( y) dP dy P dP ，
dx
dy dx dy
代入原方程得
P dP f ( y ，P) ． dy
这是一个关于
y
，P
的一阶微分方程，若能求出其通解
dP P ． dx 1 2x
这是一阶微分方程，分离变量可得 dP dx ， P 1 2x
等式两端积分，解得
1
P C0 (1 2x)2 ，
1
即
y C0 (1 2x)2 ，
再将上式两边积分得
y
C1(1
3
2x)2
C2
C1
1 3 C0
，
其中 C ，C 为任意常数．
5.3.2 y f ( y ，y) 型
再次分离变量并积分解得
整理得
ln | y | C1x C2 ，
y C2eC1x (C2 eC2 ) ． 显然， y 0 是原方程的解，便可得通解
y C2eC1x ( C1 ，C2 为任意常数)．
高等数学